Đại số 10: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức Câu 1. Nếu $a> b$ và $c> d. $ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. $ac> bd. $ B. $a-c> b-d. $ C. $a-d> b-c. $ D. $-ac> -bd. $ Hướng dẫn Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} a> b \\ c> d \end{array} \right. \Rightarrow a+c> b+d\Leftrightarrow a-d> b-c. $ Chọn đáp án C. Câu 2. Nếu $m> 0$, $n< 0$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. $m> -n. $ B. \[n+m< 0. \] C. \[m> n. \] D. \[m-n< 0. \] Hướng dẫn Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} m> 0 \\ 0> n \end{array} \right. \Rightarrow m> n\Leftrightarrow n-m< 0. $ Chọn đáp án C. Câu 3. Nếu $a,b$ và $c$ là các số bất kì và $a> b$ thì bất đẳng nào sau đây đúng? A. $ac> bc. $ B. ${{a}^{2}}< {{b}^{2}}. $ C. $a+c> b+c. $ D. $c-a> c-b. $ Hướng dẫn $a> b\Leftrightarrow a+c> b+c,\forall c. $ Chọn đáp án C. Câu 4. Nếu $a> b$ và $c> d$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. $\dfrac{a}{c}> \dfrac{b}{d}. $ B. $a-c> b-d. $ C. $ac> bd. $ D. $a+c> b+d. $ Hướng dẫn $\left\{ \begin{array}{l} a> b \\ c> d \end{array} \right. \Rightarrow a+c> b+d. $ Chọn đáp án D. Câu 5. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a? A. $6a> 3a. $ B. $3a> 6a. $ C. $6-3a> 3-6a. $ D. $6+a> 3+a. $ Hướng dẫn Ta có: \[6> 3\Rightarrow 6+a> 3+a,\forall a. \] Chọn đáp án D. Câu 6. Nếu $a,b,c$ là các số bất kì và $a< b$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. $3a+2c< 3b+2c. $ B. ${{a}^{2}}< {{b}^{2}}. $ C. $ac> bc. $ D. $ac< bc. $ Hướng dẫn $a< b\Leftrightarrow 3a< 3b\Leftrightarrow 3a+2c< 3b+2c. $ Chọn đáp án A. Câu 7. Nếu $a> b> 0$, $c> d> 0$ thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng? A. $ac> bc. $ B. $a-c> b-d. $ C. ${{a}^{2}}> {{b}^{2}}. $ D. $ac> bd. $ Hướng dẫn Chọn: $\left\{ \begin{array}{l} a=10 \\ b=8 \\ c=6 \\ d=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a-c=4 \\ b-d=7 \end{array} \right. \Rightarrow a-c< b-d. $ Chọn đáp án B. Câu 8. Nếu $a> b> 0$, $c> d> 0. $ thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng? A. $a+c> b+d. $ B. $ac> bd. $ C. $\dfrac{a}{c}> \dfrac{b}{d}. $ D. $\dfrac{a}{b}> \dfrac{d}{c}. $ Hướng dẫn $\left\{ \begin{array}{l} a=10 \\ b=8 \\ c=6 \\ d=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{a}{c}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3} \\ \dfrac{b}{d}=8 \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{a}{c}< \dfrac{b}{d}. $ Câu 9. Nếu $a+2c> b+2c$ thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. $-3a> -3b. $ B. ${{a}^{2}}> {{b}^{2}}. $ C. $2a> 2b. $ D. $\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}. $ Hướng dẫn $a+2c> b+2c\Leftrightarrow a> b\Leftrightarrow 2a> 2b. $ Chọn đáp án C. Câu 10. Nếu $2a> 2b$ và $-3b< -3c$ thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. $a< c$ B. $a> c$ C. $-3a> -3c$ D. ${{a}^{2}}> {{c}^{2}}$ Hướng dẫn $\left\{ \begin{array}{l} 2a> 2b \\ -3b< -3c \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a> b \\ b> c \end{array} \right. \Rightarrow a> c. $ Chọn đáp án B. Câu 11. Một tam giác có độ dài các cạnh là $1,\,\,2,\,\,x$ trong đó $x$ là số nguyên. Khi đó, $x$ bằng A. $0. $ B. $1. $ C. $2. $ D. $4. $ Hướng dẫn Trong tam giác ta luôn có: Tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh thứ $3. $ Hiệu hai cạnh bất kì luôn nhỏ hơn cạnh thứ $3. $ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| 2-1 \right|< x \\ x< 2+1 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1< x< 3. $ Vì $x$ nguyên $\Rightarrow x=2. $ Chọn đáp án C. Câu 12. Với số thực $a$ bất kì, biểu thức nào sau đây có thể nhận giá trị âm? A. ${{a}^{2}}+2a+1$ B. ${{a}^{2}}+a+1$ C. ${{a}^{2}}-2a+1$ D. ${{a}^{2}}+2a-1$ Hướng dẫn Cho $a=-1\Rightarrow {{a}^{2}}+2a-1=-2< 0. $ Chọn đáp án D. Câu 13. Cho hai số thực $a,b$ sao cho $a> b$. Bất đẳng thức nào sau đây không đúng? A. ${{a}^{4}}> {{b}^{4}}$ B. $-2a+1< -2b+1$. C. $b-a< 0$ D. $a-2> b-2$ Hướng dẫn Cho $\left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=-2 \end{array} \right. \Rightarrow a> b$ nhưng ${{a}^{4}}=1< {{b}^{4}}=16. $ Chọn đáp án A. Câu 14. Nếu $0< a< 1$ thì bất đẳng thức nào sau đây đúng ? A. $\dfrac{1}{a}> \sqrt{a}$ B. $a> \dfrac{1}{a}$ C. $a> \sqrt{a}$ D. ${{a}^{3}}> {{a}^{2}}$ Hướng dẫn Cho $a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a}=2\Rightarrow $ B sai. Cho $a=\dfrac{1}{4}\Rightarrow a=\dfrac{1}{4}< \sqrt{a}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow $ C sai. Cho $a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{a}^{3}}=\dfrac{1}{8}< {{a}^{2}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow $ D sai. Chọn đáp án A. Câu 15. Cho $a,b,c,d$ là các số thực trong đó$a,c\ne 0$. Nghiệm của phương trình $ax+b=0$ nhỏ hơn nghiệm của phương trình $cx+d=0$ khi và chỉ khi A. $\dfrac{b}{a}< \dfrac{c}{d}$ B. $\dfrac{b}{a}> \dfrac{c}{d}$ C. $\dfrac{b}{d}> \dfrac{a}{c}$ D. $\dfrac{b}{a}> \dfrac{d}{c}$ Hướng dẫn $ax+b=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{a}. $ $cx+d=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{d}{c}$ $\Rightarrow -\dfrac{b}{a}< -\dfrac{d}{c}\Leftrightarrow \dfrac{b}{a}> \dfrac{d}{c}. $ Chọn đáp án D. Câu 16. Cho $a,b> 0$ và $ab> a+b$. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. $a+b=4. $ B. $a+b> 4. $ C. $a+b< 4. $ D. $a+b\le 4. $ Hướng dẫn Ta có: $a+b\ge 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}$ Mà $ab> a+b\Rightarrow {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}> a+b\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}> 4\left( a+b \right)$ $\Leftrightarrow a+b> 4. $ Chọn đáp án B. Câu 17. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực $x$? A. $\left| x \right|> x$. B. $\left| x \right|> -x$. C. ${{\left| x \right|}^{2}}> {{x}^{2}}$. D. $\left| x \right|\ge x$. Hướng dẫn Chọn đáp án D. Câu 18. Hai số $a,b$ thoả bất đẳng thức $\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\le {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}$ thì A. $a< b$. B. $a> b$. C. $a=b$. D. $a\ne b$. Hướng dẫn $\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\le {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\le \dfrac{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}}{4}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}}{4}\le 0\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{4}\le 0\Leftrightarrow a=b. $ Chọn đáp án C. Câu 19. Cho \[a\] là số thực bất kì, $P=\dfrac{2a}{{{a}^{2}}+1}$. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi $a?$ A. $P> -1. $ B. $P> 1. $ C. $P< -1. $ D. $P\le 1. $ Hướng dẫn Ta có : ${{a}^{2}}+1\ge 2\sqrt{{{a}^{2}}}=2\left| a \right|$ $\Rightarrow P=\dfrac{2a}{{{a}^{2}}+1}\le \dfrac{2a}{2\left| a \right|}\le \dfrac{a}{\left| a \right|}=1. $ Chọn đáp án D. Câu 20. Cho $x,y$ là hai số thực bất kỳ thỏa và $xy=2$. Giá trị nhỏ nhất của $A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ A. $2. $ B. $1. $ C. $0. $ D. $4. $ Hướng dẫn $A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy=2. 2=4. $Chọn đáp án D. Câu 21. Nếu $a,~b$ là những số thực và $\left| a \right|\le \left| b \right|$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. ${{a}^{2}}\le {{b}^{2}}. $ B. $\dfrac{1}{\left| a \right|}\le \dfrac{1}{\left| b \right|}$ với $ab\ne 0. $ C. $-b\le a\le b. $ D. $a\le b. $ Hướng dẫn Chọn đáp án A. Câu 22. Cho hai số $x,y$ dương thoả $x+y=12$, bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. \[\sqrt{xy}\le 6. \] B. \[xy< {{\left( \dfrac{x+y}{2} \right)}^{2}}=36. \] C. $2xy< {{x}^{2}}+{{y}^{2}}. $ D. \[\sqrt{xy}\ge 6. \] Hướng dẫn Chọn đáp án C. Câu 23. Với hai số $x,y$ dương thoả $xy=36$, bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. $x+y\ge 2\sqrt{xy}=12. $ B. $x+y\ge 2xy=72. $ C. $4xy\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}. $ D. $2xy< {{x}^{2}}+{{y}^{2}}. $ Hướng dẫn Chọn đáp án A. Câu 24. Cho $a\ge 1,b\ge 1$. Bất đẳng thức nào sau đây không đúng ? A. $a\ge 2\sqrt{a-1}. $ B. $ab\ge 2a\sqrt{b-1}. $ C. $ab< 2b\sqrt{a-1}. $ D. $2\sqrt{b-1}\le b. $ Hướng dẫn $a=a-1+1\ge 2\sqrt{a-1},\forall a\ge 1. $ $ab=a(b-1)+a\ge 2\sqrt{a(b-1). a}=2a\sqrt{b-1},\forall a,b\ge 1. $ $b=b-1+1\ge 2\sqrt{b-1},\forall b\ge 1. $ Chọn đáp án C. Câu 25. Cho các bất đẳng thức: (I)$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2$ (II) $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3$ (III) $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{9}{a+b+c}$ (với a, b, c > 0). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng? A. chỉ I đúng. B. chỉ II đúng. C. chỉ III đúng. D. I, II, III đều đúng. Hướng dẫn $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b}. \dfrac{b}{a}}=2$ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}. \dfrac{b}{c}. \dfrac{c}{a}}=3. $ $\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)\left( a+b+c \right)\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}. \dfrac{1}{b}\dfrac{1}{c}}. 3\sqrt[3]{abc}=9. $Chọn đáp án D. Xem thêm: Tổng hợp chuyên đề Đại số 10: Bất đẳng thức và bất phương trình