Đại số 10: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Toán 1DĐ.4 Bất đẳng thức, bất phương trình T.Trường 17/11/19 860 0
  1. Đại số 10: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
    Câu 1.
    Nếu $a> b$ và $c> d. $ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
    A. $ac> bd. $
    B. $a-c> b-d. $
    C. $a-d> b-c. $
    D. $-ac> -bd. $
    Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
    a> b \\
    c> d
    \end{array} \right. \Rightarrow a+c> b+d\Leftrightarrow a-d> b-c. $ Chọn đáp án C.
    Câu 2.
    Nếu $m> 0$, $n< 0$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
    A. $m> -n. $
    B. \[n+m< 0. \]
    C. \[m> n. \]
    D. \[m-n< 0. \]
    Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
    m> 0 \\
    0> n
    \end{array} \right. \Rightarrow m> n\Leftrightarrow n-m< 0. $ Chọn đáp án C.
    Câu 3.
    Nếu $a,b$ và $c$ là các số bất kì và $a> b$ thì bất đẳng nào sau đây đúng?
    A. $ac> bc. $
    B. ${{a}^{2}}< {{b}^{2}}. $
    C. $a+c> b+c. $
    D. $c-a> c-b. $
    $a> b\Leftrightarrow a+c> b+c,\forall c. $ Chọn đáp án C.
    Câu 4.
    Nếu $a> b$ và $c> d$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
    A. $\dfrac{a}{c}> \dfrac{b}{d}. $
    B. $a-c> b-d. $
    C. $ac> bd. $
    D. $a+c> b+d. $
    $\left\{ \begin{array}{l}
    a> b \\
    c> d
    \end{array} \right. \Rightarrow a+c> b+d. $ Chọn đáp án D.
    Câu 5.
    Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a?
    A. $6a> 3a. $
    B. $3a> 6a. $
    C. $6-3a> 3-6a. $
    D. $6+a> 3+a. $
    Ta có: \[6> 3\Rightarrow 6+a> 3+a,\forall a. \] Chọn đáp án D.
    Câu 6.
    Nếu $a,b,c$ là các số bất kì và $a< b$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
    A. $3a+2c< 3b+2c. $
    B. ${{a}^{2}}< {{b}^{2}}. $
    C. $ac> bc. $
    D. $ac< bc. $
    $a< b\Leftrightarrow 3a< 3b\Leftrightarrow 3a+2c< 3b+2c. $ Chọn đáp án A.
    Câu 7.
    Nếu $a> b> 0$, $c> d> 0$ thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
    A. $ac> bc. $
    B. $a-c> b-d. $
    C. ${{a}^{2}}> {{b}^{2}}. $
    D. $ac> bd. $
    Chọn: $\left\{ \begin{array}{l}
    a=10 \\
    b=8 \\
    c=6 \\
    d=1
    \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a-c=4 \\
    b-d=7
    \end{array} \right. \Rightarrow a-c< b-d. $ Chọn đáp án B.
    Câu 8.
    Nếu $a> b> 0$, $c> d> 0. $ thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
    A. $a+c> b+d. $
    B. $ac> bd. $
    C. $\dfrac{a}{c}> \dfrac{b}{d}. $
    D. $\dfrac{a}{b}> \dfrac{d}{c}. $
    $\left\{ \begin{array}{l}
    a=10 \\
    b=8 \\
    c=6 \\
    d=1
    \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \dfrac{a}{c}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3} \\
    \dfrac{b}{d}=8
    \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{a}{c}< \dfrac{b}{d}. $
    Câu 9.
    Nếu $a+2c> b+2c$ thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
    A. $-3a> -3b. $
    B. ${{a}^{2}}> {{b}^{2}}. $
    C. $2a> 2b. $
    D. $\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}. $
    $a+2c> b+2c\Leftrightarrow a> b\Leftrightarrow 2a> 2b. $ Chọn đáp án C.
    Câu 10.
    Nếu $2a> 2b$ và $-3b< -3c$ thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
    A. $a< c$
    B. $a> c$
    C. $-3a> -3c$
    D. ${{a}^{2}}> {{c}^{2}}$
    $\left\{ \begin{array}{l}
    2a> 2b \\
    -3b< -3c
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a> b \\
    b> c
    \end{array} \right. \Rightarrow a> c. $ Chọn đáp án B.
    Câu 11.
    Một tam giác có độ dài các cạnh là $1,\,\,2,\,\,x$ trong đó $x$ là số nguyên. Khi đó, $x$ bằng
    A. $0. $
    B. $1. $
    C. $2. $
    D. $4. $
    Trong tam giác ta luôn có: Tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh thứ $3. $ Hiệu hai cạnh bất kì luôn nhỏ hơn cạnh thứ $3. $
    $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \left| 2-1 \right|< x \\
    x< 2+1
    \end{array} \right. \Leftrightarrow 1< x< 3. $ Vì $x$ nguyên $\Rightarrow x=2. $ Chọn đáp án C.
    Câu 12.
    Với số thực $a$ bất kì, biểu thức nào sau đây có thể nhận giá trị âm?
    A. ${{a}^{2}}+2a+1$
    B. ${{a}^{2}}+a+1$
    C. ${{a}^{2}}-2a+1$
    D. ${{a}^{2}}+2a-1$
    Cho $a=-1\Rightarrow {{a}^{2}}+2a-1=-2< 0. $ Chọn đáp án D.
    Câu 13.
    Cho hai số thực $a,b$ sao cho $a> b$. Bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
    A. ${{a}^{4}}> {{b}^{4}}$
    B. $-2a+1< -2b+1$.
    C. $b-a< 0$
    D. $a-2> b-2$
    Cho $\left\{ \begin{array}{l}
    a=1 \\
    b=-2
    \end{array} \right. \Rightarrow a> b$ nhưng ${{a}^{4}}=1< {{b}^{4}}=16. $ Chọn đáp án A.
    Câu 14.
    Nếu $0< a< 1$ thì bất đẳng thức nào sau đây đúng ?
    A. $\dfrac{1}{a}> \sqrt{a}$
    B. $a> \dfrac{1}{a}$
    C. $a> \sqrt{a}$
    D. ${{a}^{3}}> {{a}^{2}}$
    Cho $a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a}=2\Rightarrow $ B sai.
    Cho $a=\dfrac{1}{4}\Rightarrow a=\dfrac{1}{4}< \sqrt{a}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow $ C sai.
    Cho $a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{a}^{3}}=\dfrac{1}{8}< {{a}^{2}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow $ D sai. Chọn đáp án A.
    Câu 15.
    Cho $a,b,c,d$ là các số thực trong đó$a,c\ne 0$. Nghiệm của phương trình $ax+b=0$ nhỏ hơn nghiệm của phương trình $cx+d=0$ khi và chỉ khi
    A. $\dfrac{b}{a}< \dfrac{c}{d}$
    B. $\dfrac{b}{a}> \dfrac{c}{d}$
    C. $\dfrac{b}{d}> \dfrac{a}{c}$
    D. $\dfrac{b}{a}> \dfrac{d}{c}$
    $ax+b=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{a}. $
    $cx+d=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{d}{c}$
    $\Rightarrow -\dfrac{b}{a}< -\dfrac{d}{c}\Leftrightarrow \dfrac{b}{a}> \dfrac{d}{c}. $ Chọn đáp án D.
    Câu 16.
    Cho $a,b> 0$ và $ab> a+b$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
    A. $a+b=4. $
    B. $a+b> 4. $
    C. $a+b< 4. $
    D. $a+b\le 4. $
    Ta có: $a+b\ge 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}$
    Mà $ab> a+b\Rightarrow {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}> a+b\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}> 4\left( a+b \right)$ $\Leftrightarrow a+b> 4. $ Chọn đáp án B.
    Câu 17.
    Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực $x$?
    A. $\left| x \right|> x$.
    B. $\left| x \right|> -x$.
    C. ${{\left| x \right|}^{2}}> {{x}^{2}}$.
    D. $\left| x \right|\ge x$.
    Chọn đáp án D.
    Câu 18.
    Hai số $a,b$ thoả bất đẳng thức $\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\le {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}$ thì
    A. $a< b$.
    B. $a> b$.
    C. $a=b$.
    D. $a\ne b$.
    $\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\le {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\le \dfrac{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}}{4}$
    $\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}}{4}\le 0\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{4}\le 0\Leftrightarrow a=b. $ Chọn đáp án C.
    Câu 19.
    Cho \[a\] là số thực bất kì, $P=\dfrac{2a}{{{a}^{2}}+1}$. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi $a?$
    A. $P> -1. $
    B. $P> 1. $
    C. $P< -1. $
    D. $P\le 1. $
    Ta có : ${{a}^{2}}+1\ge 2\sqrt{{{a}^{2}}}=2\left| a \right|$ $\Rightarrow P=\dfrac{2a}{{{a}^{2}}+1}\le \dfrac{2a}{2\left| a \right|}\le \dfrac{a}{\left| a \right|}=1. $ Chọn đáp án D.
    Câu 20.
    Cho $x,y$ là hai số thực bất kỳ thỏa và $xy=2$. Giá trị nhỏ nhất của $A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$
    A. $2. $
    B. $1. $
    C. $0. $
    D. $4. $
    $A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy=2. 2=4. $Chọn đáp án D.
    Câu 21.
    Nếu $a,~b$ là những số thực và $\left| a \right|\le \left| b \right|$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
    A. ${{a}^{2}}\le {{b}^{2}}. $
    B. $\dfrac{1}{\left| a \right|}\le \dfrac{1}{\left| b \right|}$ với $ab\ne 0. $
    C. $-b\le a\le b. $
    D. $a\le b. $
    Chọn đáp án A.
    Câu 22.
    Cho hai số $x,y$ dương thoả
    $x+y=12$, bất đẳng thức nào sau đây đúng?
    A. \[\sqrt{xy}\le 6. \]
    B. \[xy< {{\left( \dfrac{x+y}{2} \right)}^{2}}=36. \]
    C. $2xy< {{x}^{2}}+{{y}^{2}}. $
    D. \[\sqrt{xy}\ge 6. \]
    Chọn đáp án C.
    Câu 23.
    Với hai số $x,y$ dương thoả $xy=36$, bất đẳng thức nào sau đây đúng?
    A. $x+y\ge 2\sqrt{xy}=12. $
    B. $x+y\ge 2xy=72. $
    C. $4xy\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}. $
    D. $2xy< {{x}^{2}}+{{y}^{2}}. $
    Chọn đáp án A.
    Câu 24.
    Cho $a\ge 1,b\ge 1$. Bất đẳng thức nào sau đây không đúng ?
    A. $a\ge 2\sqrt{a-1}. $
    B. $ab\ge 2a\sqrt{b-1}. $
    C. $ab< 2b\sqrt{a-1}. $
    D. $2\sqrt{b-1}\le b. $
    $a=a-1+1\ge 2\sqrt{a-1},\forall a\ge 1. $
    $ab=a(b-1)+a\ge 2\sqrt{a(b-1). a}=2a\sqrt{b-1},\forall a,b\ge 1. $
    $b=b-1+1\ge 2\sqrt{b-1},\forall b\ge 1. $ Chọn đáp án C.
    Câu 25.
    Cho các bất đẳng thức:
    (I)$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2$ (II) $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3$
    (III) $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{9}{a+b+c}$ (với a, b, c > 0). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?
    A. chỉ I đúng.
    B. chỉ II đúng.
    C. chỉ III đúng.
    D. I, II, III đều đúng.
    $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b}. \dfrac{b}{a}}=2$
    $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}. \dfrac{b}{c}. \dfrac{c}{a}}=3. $
    $\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)\left( a+b+c \right)\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}. \dfrac{1}{b}\dfrac{1}{c}}. 3\sqrt[3]{abc}=9. $Chọn đáp án D.
Share Share