Hình học 10: Bài toán tổng, hiệu các véc tơ

Toán 10H.1 Chuyên đề Véc tơ T.Trường 17/11/19 521 0
  1. Hình học 10: Bài toán tổng, hiệu các véc tơ
    Câu 1.

    Cho ba điểm $ A,B,C$ phân biệt thẳng hàng. Câu nào sau đây đúng?
    A. Nếu $ B$ là trung điểm của $ AC$ thì $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}. $
    B. Nếu điểm $ B$ nằm giữa $ A$ và $ C$ thì $ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}$ ngược hướng.
    C. Nếu $ \left| \overrightarrow{AB} \right|> \left| \overrightarrow{AB} \right|$ thì B nằm trên đoạn$ AC$ .
    D. $ \left| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB} \right|=\left| \overrightarrow{CA} \right|+\left| \overrightarrow{AB} \right|. $
    HD B nằm giữa $ A,C$ thì hai điểm $ A,C$ nằm hai phía so với $ B$ nên thì $ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}$ ngược hướng. Chọn đáp án B.
    Câu 2.
    Mệnh đề nào sau đây là sai.
    A. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}\Rightarrow B\equiv C. $
    B. Với mọi điểm $ A,B,C$ bất kì ta luôn có. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. $
    C. \[\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\] khi và chỉ khi B là trung điểm $ AC$ .
    D. Tứ giác \[ABCD\]là hình bình hành khi và chỉ khi $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}. $ `
    HD Tứ giác \[ABCD\]là hình bình hành suy ra $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ Chọn đáp án D.
    Câu 3.
    Cho tam giác $ ABC$ có trực tâm $ H$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $ O$ . $ {B}'$ là điểm đối xứng của $ B$ qua $ O$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
    A. $ \overrightarrow{AH},\overrightarrow{{B}'C}$ cùng phương.
    B. $ \overrightarrow{CH},\overrightarrow{{B}'A}$ cùng phương.
    C. \[AHC{B}'\] là hình bình hành.
    D. $ \overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HC}. $
    [​IMG]
    HD Vì $ \text{H}$ là trực tâm của tam giác \[\text{ABC}\] nên tứ giác \[\text{AHC{B}'}~\] là hình bình hành. Do đó, các câu A, B, C đúng. $ \overrightarrow{H{B}'}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HC}$ nên câu D sai. Chọn đáp án D.
    Câu 4.
    Cho tam giác $ ABC$ câu nào sau đây là đúng?
    A. $ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}. $
    B. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}. $
    C. $ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}. $
    D. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}> \overrightarrow{BC}. $
    HD $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB} \right)+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ Chọn đáp án B.
    Câu 5.
    Cho tam giác $ ABC$ cân tại đỉnh $ A$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
    A. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$
    B. \[\left| \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right|=\left| \overrightarrow{BC} \right|\]
    C. \[\left| \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB} \right|=\left| \overrightarrow{AB} \right|\]
    D. $ \left| \overrightarrow{AB} \right|=\left| \overrightarrow{AC} \right|$
    HD $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ là hai vectơ không cùng phương nên $ \overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}$ . Chọn đáp án A.
    Câu 6.
    Cho tam giác $ ABC$ đều cạnh a. Khi đó $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|$ bằng.
    A. $ a\sqrt{3}. $
    B. $ \dfrac{a\sqrt{3}}{2}. $
    C. $ 2a. $
    D. Một đáp án khác.
    [​IMG]
    HD Gọi \[H\] là trung điểm của $ BC$ , $ \Rightarrow AH\bot BC. $ Suy ra. $ AH=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ . Ta lại có. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\left| 2\overrightarrow{AH} \right|=2. \dfrac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ Chọn đáp án A.
    Câu 7.
    Cho tam giác đều $ ABC$ cạnh a. Khi đó $ \left| \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right|$ bằng.
    A. $ 0. $
    B. $ \dfrac{a}{2}. $
    C. $ a. $
    D. $ a\sqrt{3}. $
    HD $ \left| \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right|=\left| \overrightarrow{CB} \right|=a$ Chọn đáp án C.
    Câu 8.
    Cho bốn vectơ $ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}$ bất kì. Câu nào sau đây sai ?
    A. $ \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)+\left( \overrightarrow{c}+\overrightarrow{d} \right)=\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{d} \right)+\left( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right). $
    B. $ \left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=\pm \,\,\,\overrightarrow{b}. $
    C. $ \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\Rightarrow \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}. $
    D. $ \overrightarrow{a}+\left( -\overrightarrow{a} \right)=\overrightarrow{0}. $
    HD Đáp án$ B$ sai. Ví dụ. khi tam giác $ ABC$ cân tại đỉnh $ A$ ta có $ \left| \overrightarrow{AB} \right|=\left| \overrightarrow{AC} \right|$ nhưng $ \overrightarrow{AB}\ne \pm \overrightarrow{AC}$ . Chọn đáp án B.
    Câu 9.
    Cho tam giác $ ABC$ vuông cân tại $ A$ có $ AB=6$ . Độ dài của vectơ $ \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$ bằng.
    A. $ 6\sqrt{2}. $
    B. $ 6. $
    C. $ 3\sqrt{2}. $
    D. $ 3. $
    HD $ \left| \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} \right|=\left| \overrightarrow{AC} \right|=6$ . Chọn đáp án B.
    Câu 10.
    Cho hình bình hành $ ABCD$ . Vectơ $ \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}$ bằng vectơ.
    A. $ \overrightarrow{AC}. $
    B. $ \overrightarrow{DB}. $
    C. $ \overrightarrow{BD}. $
    D. $ \overrightarrow{CA}. $
    HD $ \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$ . Chọn đáp án C.
    Câu 11.
    Cho hình chữ nhật $ ABCD$ . Biểu thức $ \overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$ bằng.
    A. $ \overrightarrow{AB}. $
    B. $ \overrightarrow{AC}. $
    C. $ \overrightarrow{DB}. $
    D. $ \overrightarrow{0}. $
    HD $ \overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$ . Chọn đáp án D.
    Câu 12.
    Cho hình bình hành\[ABCD\]. Gọi O là điểm bất kỳ trên đường chéo BD sao cho $ OB> OD. $ Tìm mệnh đề đúng.
    A. $ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}. $
    B. $ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}. $
    C. $ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}. $
    D. $ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{0}. $
    [​IMG]
    HD $ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (đúng)
    $ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\Leftrightarrow \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ sai.
    $ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\Leftrightarrow \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}$ sai.
    $ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{0}. $ $ \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}. $
    $ \Leftrightarrow \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\vec{0}$ sai. Chọn đáp án A.
    Câu 13.
    Cho $ \Delta ABC$ có G là trọng tâm. Tìm mệnh đề đúng.
    A. $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GC}. $
    B. $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GB}. $
    C. $ \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AG}. $
    D. $ \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}. $
    [​IMG]
    HD Gọi $ H$ là trung điểm của $ BC. $ Gọi \[N\] là điểm để $ BGCN$ là hình bình hành. $ \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GN}. $
    Ta có. $ GN=2GH=AG\Rightarrow \overrightarrow{GN}=\overrightarrow{AG}$ $ \Rightarrow $ $ \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AG}. $ Chọn đáp án C.
    Câu 14.
    Cho lục giác ABCDEF. Tìm mệnh đề đúng
    A. $ \overrightarrow{AF}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}. $
    B. $ \overrightarrow{BE}-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}. $
    C. $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}. $
    D. \[\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{EA}. \]
    [​IMG]
    HD $ \overrightarrow{AF}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow $
    $ \left( \overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC} \right)+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}. $
    $ \Leftrightarrow \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$ sai $ \Rightarrow A$ sai.
    $ \overrightarrow{BE}-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$
    $ \Leftrightarrow \overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\vec{0}$
    $ \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ đúng. Chọn đáp án B.
    Câu 15.
    Nếu $ \Delta ABC$ có $ \left| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right|=\left| \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB} \right|$ thì $ \Delta ABC$ là.
    A. Tam giác vuông tại A.
    B. Tam giác cân tại A.
    C. Tam giác vuông tại
    D. Tam giác đều.
    [​IMG]
    HD Gọi $ D$ là điểm để tứ giác $ ACBD$ là hình bình hành. $ \left| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right|=\left| \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB} \right|\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{CD} \right|=\left| \overrightarrow{BA} \right|\Leftrightarrow CD=AB$
    $ \Rightarrow $ hình bình hành $ ACBD$ có hai đường chéo bằng nhau. $ \Rightarrow $ $ ACBD$ là hình chữ nhật. $ \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $ C. $ Chọn đáp án C.
    Câu 16.
    Cho hai vectơ $ \vec{a}$ và $ \vec{b}$ khác $ \vec{a}$ và $ \vec{b}$ khác $ \overrightarrow{0}$ sao cho $ \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{0}$ .
    Dựng $ \overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ . Tìm mệnh đề đúng
    A. $ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}. $
    B. O là trung điểm AB.
    C. $ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}. $
    D. $ A\equiv B. $
    HD $ \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{0}$ $ \Rightarrow \vec{a},\vec{b}$ là hai vectơ đối nhau. $ \Rightarrow O$ là trung điểm của $ AB. $ Chọn đáp án B.
    Câu 17.
    Cho đều cạnh bằng 5cm. Gọi H là trung điểm BC. Tìm mệnh đề sai.
    A. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=5\sqrt{3}. $
    B. $ \left| \overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HB} \right|=5. $
    C. $ \left| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH} \right|=14. $
    D. $ \left| \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HC} \right|=5. $
    [​IMG]
    HD Gọi $ D,E,F$ lần lượt là các điểm để các tứ giác $ ACHD,ACEB,AHCF$ là hình bình hành. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\left| \overrightarrow{AE} \right|=AE=2AH=2. \dfrac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\Rightarrow A$ đúng.
    $ \left| \overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HB} \right|=\left| \overrightarrow{BA} \right|=BA=5\Rightarrow B$ đúng.
    $ \left| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH} \right|=\left| \overrightarrow{CD} \right|=CD< CA+AD=5+\dfrac{5}{2}< 14\Rightarrow C$ sai.
    $ \left| \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HC} \right|=\left| \overrightarrow{HF} \right|=HF=AC=5\Rightarrow D$ đúng. Chọn đáp án C.
    Câu 18.
    Cho $ \Delta ABC$ có trung tuyến CI. Gọi M, N lần lượt nằm trên BC sao cho $ BM=MN=NC. $ AN cắt IC tại E. Tìm mệnh đề đúng.
    A. $ \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}. $
    B. $ \overrightarrow{EI}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}. $
    C. $ \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EN}=\vec{0}. $
    D. $ \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MC}. $
    [​IMG]
    HD IM là đường trung bình $ \Delta BAN$ $ \Rightarrow IM//EN$ $ \Delta CMI$ có N là trung điểm MC, NE // IM
    $ \Rightarrow $ E là trung điểm IC $ \Rightarrow $ $ \overrightarrow{EI}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}$ Chọn đáp án B.
    Câu 19.
    Cho $ \Delta ABC$ đều cạnh 2cm. Gọi H là trung điểm cạnh BC. Tìm các mệnh đề sai.
    A. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=2\sqrt{3}. $
    B. $ \left| \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HA} \right|=2. $
    C. $ \left| \overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HC} \right|=2. $
    D. $ \left| \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AC} \right|=10. $
    [​IMG]
    HD Gọi $ D,E,F$ lần lượt là các điểm để $ AHDC,ABEC,AHBF$ là các hình bình hành. Ta có. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\left| \overrightarrow{AE} \right|=AE=2AH=2. \dfrac{2. \sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\Rightarrow A$ đúng.
    $ \left| \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HA} \right|=HF$ mà $ AHBF$ là hình chữ nhật $ \Rightarrow HF=AB=2\Rightarrow B$ đúng.
    $ \left| \overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HC} \right|=CA=2\Rightarrow C$ đúng.
    $ \left| \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AC} \right|=\left| \overrightarrow{AD} \right|=AD< AC+CD=2+\sqrt{3}< 10$ $ \Rightarrow D$ sai. Chọn đáp án D.
    Câu 20.
    Cho tam giác đều $ ABC$ cạnh $ a$ . Tập hợp các điểm $ M$ sao cho $ \left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|=\overrightarrow{MC}$ là.
    A. Một đường thẳng.
    B. Một đường tròn tâm $ B. $
    C. Một đường tròn tâm $ C. $
    D. Một đường tròn tâm $ A. $
    HD \[\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MC} \right|\Leftrightarrow CM=BA=a\] không đổi.
    Tập hợp các điểm $ M$ là đường tròn tâm $ C$ , bán kính a. Chọn đáp án C.
Share Share