Hình học 10: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ

Toán 10H.2 Tích vô hướng, ứng dụng T.Trường 17/11/19 292 0
  1. Hình học 10: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ
    Câu 1.

    Giá trị của \[\sin {{60}^{0}}+\cos {{30}^{0}}\] bằng bao nhiêu?
    A. \[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\].
    B. \[\sqrt{3}\].
    C. \[\dfrac{\sqrt{3}}{3}\].
    D. $ 1. $
    Hướng dẫn giải:
    \[\sin {{60}^{0}}+\cos {{30}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}. \] Chọn đáp án B.
    Câu 2.
    Giá trị của \[\tan {{30}^{0}}+\cot {{30}^{0}}\] bằng bao nhiêu?
    A. \[\dfrac{4}{\sqrt{3}}\].
    B. \[\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}\].
    C. \[\dfrac{2}{\sqrt{3}}\].
    D. $ 2. $
    Hướng dẫn giải:
    \[\tan {{30}^{0}}+\cot {{30}^{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}. \]Chọn đáp án A.
    Câu 3.
    Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
    A. \[\sin {{150}^{0}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\].
    B. \[\cos {{150}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\].
    C. \[\tan {{150}^{0}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\].
    D. \[\cot {{150}^{0}}=\sqrt{3}\].
    Hướng dẫn giải:
    Chọn đáp án C.
    Câu 4.
    Cho \[\alpha \] và \[\beta \] là hai góc bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
    A. \[\sin \alpha =\sin \beta \].
    B. \[\cos \alpha =-\cos \beta \].
    C. \[\tan \alpha =-\tan \beta \].
    D. \[\cot \alpha =\cot \beta \].
    Hướng dẫn giải:
    \[\alpha \] và \[\beta \] là hai góc bù nhau $ \Rightarrow \cot \alpha =-\cot \beta . $ Chọn đáp án D.
    Câu 5.
    Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
    A. \[\sin ({{180}^{0}}-\alpha )=-\sin \alpha \].
    B. \[\cos (180{}^{0}-\alpha )=\cos \alpha \].
    C. \[\tan ({{180}^{0}}-\alpha )=\tan \alpha \].
    D. \[\cot ({{180}^{0}}-\alpha )=-\cot \alpha \].
    Hướng dẫn giải:
    \[\cot ({{180}^{0}}-\alpha )=-\cot \alpha \]. Chọn đáp án D.
    Câu 6.
    Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
    A. \[\sin {{0}^{0}}+\cos {{0}^{0}}=1\].
    B. \[\sin {{90}^{0}}+\cos {{90}^{0}}=1\].
    C. \[\sin {{180}^{0}}+\cos {{180}^{0}}=1\].
    D. \[\sin {{60}^{0}}+\cos {{60}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\].
    Hướng dẫn giải:
    \[\sin {{180}^{0}}+\cos {{180}^{0}}=0+\left( -1 \right)=-1. \]Chọn đáp án C.
    Câu 7.
    Cho góc \[\alpha \] tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
    A. \[\sin \alpha < 0\].
    B. \[\cos \alpha > 0\].
    C. \[\tan \alpha > 0\].
    D. \[\cot \alpha < 0\].
    Hướng dẫn giải:
    \[\alpha \] tù $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \sin \alpha > 0 \\
    \cos \alpha < 0 \\
    \tan \alpha < 0 \\
    \cot \alpha < 0
    \end{array} \right. \Rightarrow $ Chọn đáp án D.
    Câu 8.
    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
    A. \[\cos {{60}^{0}}=\sin {{30}^{0}}\].
    B. \[\cos {{60}^{0}}=\sin {{120}^{0}}\].
    C. \[\cos {{30}^{0}}=\sin {{120}^{0}}\].
    D. \[\sin {{60}^{0}}=-\cos {{150}^{0}}\].
    Hướng dẫn giải:
    \[\cos {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}\ne \sin {{120}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]Chọn đáp án B.
    Câu 9.
    Đẳng thức nào sau đây sai :
    A. \[\text{sin4}{{\text{5}}^{0}}+\text{ sin4}{{\text{5}}^{0}}=\sqrt{2}\].
    B. \[\text{sin3}{{0}^{0}}+\text{ cos6}{{0}^{0}}=\text{ 1}\].
    C. \[\text{sin6}{{0}^{0}}+\text{ cos15}{{0}^{0}}=\text{ }0\].
    D. \[\text{sin12}{{0}^{0}}+\text{ cos3}{{0}^{0}}=\text{ }0\].
    Hướng dẫn giải:
    \[\text{sin12}{{0}^{0}}+\text{ cos3}{{0}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}. \]Chọn đáp án D.
    Câu 10.
    Cho hai góc nhọn \[\alpha \] và \[\beta \](\[\alpha < \beta )\]. Khẳng định nào sau đây là sai?
    A. \[\cos \alpha < \cos \beta \].
    B. \[\sin \alpha < \sin \beta \].
    C. \[\tan \alpha +\tan \beta > 0\].
    D. \[\cot \alpha > \cot \beta \].
    Hướng dẫn giải:
    Chọn đáp án A. Ví dụ: lấy $ \alpha ={{30}^{0}},\beta ={{45}^{0}}\Rightarrow \cos {{30}^{0}}> \cos {{45}^{0}}. $
    Câu 11.
    Cho \[\Delta ABC\]vuông tại \[A\], góc \[B\]bằng \[{{30}^{0}}\]. Khẳng định nào sau đây là sai?
    A. \[\cos B=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\].
    B. \[\sin C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\].
    C. \[\cos C=\dfrac{1}{2}\].
    D. \[\sin B=\dfrac{1}{2}\].
    Hướng dẫn giải:
    $ \cos B=\cos {{30}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. $ Chọn đáp án A.
    Câu 12.
    Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
    A. \[\sin \alpha =-\sin ({{180}^{0}}-\alpha )\].
    B. \[\cos \alpha =-\cos ({{180}^{0}}-\alpha )\].
    C. \[\tan \alpha =\tan ({{180}^{0}}-\alpha )\].
    D. \[\cot \alpha =\cot ({{180}^{0}}-\alpha )\].
    Hướng dẫn giải:
    Chọn đáp án B.
    Câu 13.
    Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
    A. \[\cos {{75}^{0}}> \cos {{50}^{0}}\].
    B. \[\sin {{80}^{0}}> \sin {{50}^{0}}\]
    C. \[\tan {{45}^{0}}< \tan {{60}^{0}}\].
    D. \[\cos {{30}^{0}}=\sin {{60}^{0}}\].
    Hướng dẫn giải:
    Chọn đáp án A.
    Câu 14.
    Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
    A. \[\sin {{90}^{0}}< \sin {{100}^{0}}\].
    B. \[\cos {{95}^{0}}> \cos {{100}^{0}}\].
    C. \[\tan {{85}^{0}}< \tan {{125}^{0}}\].
    D. \[c\text{os}{{145}^{0}}> c\text{os}{{125}^{0}}\].
    Hướng dẫn giải:
    Chọn đáp án B.
    Câu 15.
    Hai góc nhọn \[\alpha \] và \[\beta \] phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?
    A. \[\sin \alpha =\cos \beta \].
    B. \[\tan \alpha =\cot \beta \].
    C. \[\cot \beta =\dfrac{1}{\cot \alpha }\].
    D. \[\cos \alpha =-\sin \beta \].
    Hướng dẫn giải:
    Chọn đáp án D.
    Câu 16.
    Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
    A. \[{{\sin }^{2}}\alpha +\cos {{\alpha }^{2}}=1\].
    B. \[{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}=1\].
    C. \[\sin {{\alpha }^{2}}+\cos {{\alpha }^{2}}=1\].
    D. \[{{\sin }^{2}}2\alpha +{{\cos }^{2}}2\alpha =1\].
    Hướng dẫn giải:
    Chọn đáp án D.
    Câu 17.
    Cho biết \[\sin \alpha +\cos \alpha =a\] . Giá trị của \[\sin \alpha . \cos \alpha \] bằng bao nhiêu?
    A. \[\sin \alpha . \cos \alpha ={{a}^{2}}\].
    B. \[\sin \alpha . \cos \alpha =2a\].
    C. \[\sin \alpha . \cos \alpha =\dfrac{1-{{a}^{2}}}{2}\].
    D. \[\sin \alpha . \cos \alpha =\dfrac{{{a}^{2}}-1}{2}\].
    Hướng dẫn giải:
    \[\sin \alpha +\cos \alpha =a\Rightarrow {{\left( \sin \alpha +\cos \alpha
    \right)}^{2}}={{a}^{2}}\]$ \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha +2\sin \alpha . \cos \alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{a}^{2}}$
    $ \Leftrightarrow \sin a. \cos \alpha =\dfrac{{{a}^{2}}-1}{2}. $ Chọn đáp án D.
    Câu 18.
    Cho biết \[\cos \alpha =-\dfrac{2}{3},{{0}^{0}}< \alpha < {{180}^{0}}\]. Tính giá trị của biểu thức \[E=\dfrac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }\] ?
    A. \[-\dfrac{19}{13}\].
    B. \[\dfrac{19}{13}\].
    C. \[\dfrac{25}{13}\].
    D. \[-\dfrac{25}{13}\].
    Hướng dẫn giải:
    Ta có: $ {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}a=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$
    Vì: \[{{0}^{0}}< \alpha < {{180}^{0}}\Rightarrow \sin \alpha > 0\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{3}\]
    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \tan \alpha =-\dfrac{\sqrt{5}}{2} \\
    \cot \alpha =-\dfrac{2}{\sqrt{5}}
    \end{array} \right. $ $ \Rightarrow $ \[E=\dfrac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }=\dfrac{-\dfrac{2}{\sqrt{5}}-\dfrac{3\sqrt{5}}{2}}{-\dfrac{4}{\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{19}{13}. \]Chọn đáp án B.
    Câu 19.
    Cho biết
    \[\cot \alpha =5\]. Tính giá trị của \[E=2{{\cos }^{2}}\alpha +5\sin \alpha \cos \alpha +1\] ?
    A. \[\dfrac{10}{26}\].
    B. \[\dfrac{100}{26}\].
    C. \[\dfrac{50}{26}\].
    D. \[\dfrac{101}{26}\].
    Hướng dẫn giải:
    Ta có: $ {{\cot }^{2}}\alpha +1=\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}a}\Rightarrow {{\sin }^{2}}a=\dfrac{1}{{{\cot }^{2}}\alpha +1}=\dfrac{1}{26}$
    \[E=2{{\cos }^{2}}\alpha +5\sin \alpha \cos \alpha +1=2\left( 1-{{\sin }^{2}}\alpha
    \right)+5. {{\sin }^{2}}\alpha . \cot \alpha +1\]
    $ =2\left( 1-\dfrac{1}{26} \right)+5. \dfrac{1}{26}. 5+1=\dfrac{101}{26}. $ Chọn đáp án D.
    Câu 20.
    Đẳng thức nào sau đây là sai?
    A. \[{{(\cos x+\sin x)}^{2}}+{{(\cos x-\sin x)}^{2}}=2,\forall x\].
    B. \[{{\tan }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x={{\tan }^{2}}x{{\sin }^{2}}x,\forall x\ne {{90}^{0}}\].
    C. \[{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=1-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x,\forall x\].
    D. \[{{\sin }^{6}}x-{{\cos }^{6}}x=1-3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x,\forall x\].
    Hướng dẫn giải:
    \[{{(\cos x+\sin x)}^{2}}+{{(\cos x-\sin x)}^{2}}={{\cos }^{2}}x+2\sin x. \cos x+{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x-2\sin x. \cos x+{{\sin }^{2}}x\]
    \[=2\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)=2\Rightarrow A\]đúng.
    \[{{\tan }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-{{\sin }^{2}}x={{\sin }^{2}}x\left( \dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)=\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}. \left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)={{\tan }^{2}}x. {{\sin }^{2}}x\Rightarrow B\]đúng.
    \[{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x={{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}+2{{\sin }^{2}}x. {{\cos }^{2}}x+{{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x. {{\cos }^{2}}x\]
    $ ={{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x. {{\cos }^{2}}x=1-2{{\sin }^{2}}x. {{\cos }^{2}}x\Rightarrow C$ đúng.
    Chọn đáp án D.
    Câu 21.
    Đẳng thức nào sau đây là sai?
    A. \[\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}(x\ne {{0}^{0}},x\ne {{180}^{0}})\].
    B. \[\tan x+\cot x=\dfrac{1}{\sin x\cos x}(x\ne {{0}^{0}},{{90}^{0}},{{180}^{0}})\].
    C. \[\tan x+\cot x=\dfrac{1}{\sin x\cos x}(x\ne {{0}^{0}},{{90}^{0}},{{180}^{0}})\].
    D. \[{{\sin }^{2}}2x+{{\cos }^{2}}2x=2\].
    Hướng dẫn giải:
    \[{{\sin }^{2}}2x+{{\cos }^{2}}2x=1,\forall x. \]Chọn đáp án D.
    Câu 22.
    Cho ABC là tam giác đều có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây sai?
    A. \[\left( \overrightarrow{GB},\overrightarrow{GC} \right)={{120}^{0}}. \]
    B. \[\left( \overrightarrow{GA},\overrightarrow{BG} \right)={{120}^{0}}. \]
    C. \[\left( \overrightarrow{AG},\overrightarrow{BC} \right)={{90}^{0}}. \]
    D. \[\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA} \right)={{120}^{0}}. \]
    Hướng dẫn giải:
    \[\left( \overrightarrow{GA},\overrightarrow{BG} \right)={{60}^{0}}. \]Chọn đáp án B.
    Câu 23.
    Cho tam giác ABC có \[\widehat{A}={{50}^{0}}\]
    . Tìm tổng \[\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{CB} \right)+\left( \overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC} \right)\] .
    A. $ {{130}^{0}}. $
    B. $ {{230}^{0}}. $
    C. $ {{150}^{0}}. $
    D. $ {{250}^{0}}. $
    Hướng dẫn giải:
    Ta có: $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}={{130}^{0}}. $
    \[\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{CB} \right)+\left( \overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC} \right)={{180}^{0}}-\widehat{B}+{{180}^{0}}-\widehat{C}\]
    \[={{360}^{0}}-\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)={{360}^{0}}-{{130}^{0}}={{230}^{0}}\]Chọn đáp án B.
    Câu 24.
    Cho $ \cot x=2. $ Tính $ \dfrac{2{{\sin }^{2}}2-3{{\cos }^{2}}x}{1+2{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}$
    A. $ -\dfrac{10}{3}. $
    B. $ \dfrac{3}{4}. $
    C. $ \dfrac{5}{4}. $
    D. $ \dfrac{3}{5}. $
    Hướng dẫn giải:
    $ A=\dfrac{2{{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x}{1+2{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}=\dfrac{2-3{{\cot }^{2}}x}{{{\cot }^{2}}x+1+2-{{\cot }^{2}}x}=-\dfrac{10}{3}$ . Chọn đáp án A.
    Câu 25.
    Cho $ \alpha +\beta ={{90}^{0}}$ . Tính $ A=\sin \alpha . \cos \beta +\cos \alpha . \sin \beta +\cos \alpha . \cos \beta -\sin \alpha . \sin \beta $
    A. $ 4. $
    B. $ 3. $
    C. $ 2. $
    D. $ 1. $
    Hướng dẫn giải:
    $ \alpha +\beta ={{90}^{0}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \sin \alpha =\cos \beta
    \\
    \cos \alpha =\sin \beta
    \end{array} \right. $
    $ A=\sin \alpha . \cos \beta +\cos \alpha . \sin \beta +\cos \alpha . \cos \beta -\sin \alpha . \sin \beta $
    $ ={{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha +\sin \alpha . \cos \alpha -\sin \alpha . \cos \alpha =1. $ Chọn đáp án D.
    Share Share
Share Share

BÌNH LUẬN BẰNG FACEBOOK