Hình học 10: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ Câu 1. Giá trị của \[\sin {{60}^{0}}+\cos {{30}^{0}}\] bằng bao nhiêu? A. \[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]. B. \[\sqrt{3}\]. C. \[\dfrac{\sqrt{3}}{3}\]. D. $ 1. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[\sin {{60}^{0}}+\cos {{30}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}. \] Chọn đáp án B. Câu 2. Giá trị của \[\tan {{30}^{0}}+\cot {{30}^{0}}\] bằng bao nhiêu? A. \[\dfrac{4}{\sqrt{3}}\]. B. \[\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}\]. C. \[\dfrac{2}{\sqrt{3}}\]. D. $ 2. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[\tan {{30}^{0}}+\cot {{30}^{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}. \]Chọn đáp án A. Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? A. \[\sin {{150}^{0}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]. B. \[\cos {{150}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]. C. \[\tan {{150}^{0}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\]. D. \[\cot {{150}^{0}}=\sqrt{3}\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Câu 4. Cho \[\alpha \] và \[\beta \] là hai góc bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai? A. \[\sin \alpha =\sin \beta \]. B. \[\cos \alpha =-\cos \beta \]. C. \[\tan \alpha =-\tan \beta \]. D. \[\cot \alpha =\cot \beta \]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[\alpha \] và \[\beta \] là hai góc bù nhau $ \Rightarrow \cot \alpha =-\cot \beta . $ Chọn đáp án D. Câu 5. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? A. \[\sin ({{180}^{0}}-\alpha )=-\sin \alpha \]. B. \[\cos (180{}^{0}-\alpha )=\cos \alpha \]. C. \[\tan ({{180}^{0}}-\alpha )=\tan \alpha \]. D. \[\cot ({{180}^{0}}-\alpha )=-\cot \alpha \]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[\cot ({{180}^{0}}-\alpha )=-\cot \alpha \]. Chọn đáp án D. Câu 6. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. \[\sin {{0}^{0}}+\cos {{0}^{0}}=1\]. B. \[\sin {{90}^{0}}+\cos {{90}^{0}}=1\]. C. \[\sin {{180}^{0}}+\cos {{180}^{0}}=1\]. D. \[\sin {{60}^{0}}+\cos {{60}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[\sin {{180}^{0}}+\cos {{180}^{0}}=0+\left( -1 \right)=-1. \]Chọn đáp án C. Câu 7. Cho góc \[\alpha \] tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. \[\sin \alpha < 0\]. B. \[\cos \alpha > 0\]. C. \[\tan \alpha > 0\]. D. \[\cot \alpha < 0\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[\alpha \] tù $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin \alpha > 0 \\ \cos \alpha < 0 \\ \tan \alpha < 0 \\ \cot \alpha < 0 \end{array} \right. \Rightarrow $ Chọn đáp án D. Câu 8. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. \[\cos {{60}^{0}}=\sin {{30}^{0}}\]. B. \[\cos {{60}^{0}}=\sin {{120}^{0}}\]. C. \[\cos {{30}^{0}}=\sin {{120}^{0}}\]. D. \[\sin {{60}^{0}}=-\cos {{150}^{0}}\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[\cos {{60}^{0}}=\dfrac{1}{2}\ne \sin {{120}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]Chọn đáp án B. Câu 9. Đẳng thức nào sau đây sai : A. \[\text{sin4}{{\text{5}}^{0}}+\text{ sin4}{{\text{5}}^{0}}=\sqrt{2}\]. B. \[\text{sin3}{{0}^{0}}+\text{ cos6}{{0}^{0}}=\text{ 1}\]. C. \[\text{sin6}{{0}^{0}}+\text{ cos15}{{0}^{0}}=\text{ }0\]. D. \[\text{sin12}{{0}^{0}}+\text{ cos3}{{0}^{0}}=\text{ }0\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[\text{sin12}{{0}^{0}}+\text{ cos3}{{0}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}. \]Chọn đáp án D. Câu 10. Cho hai góc nhọn \[\alpha \] và \[\beta \](\[\alpha < \beta )\]. Khẳng định nào sau đây là sai? A. \[\cos \alpha < \cos \beta \]. B. \[\sin \alpha < \sin \beta \]. C. \[\tan \alpha +\tan \beta > 0\]. D. \[\cot \alpha > \cot \beta \]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ví dụ: lấy $ \alpha ={{30}^{0}},\beta ={{45}^{0}}\Rightarrow \cos {{30}^{0}}> \cos {{45}^{0}}. $ Câu 11. Cho \[\Delta ABC\]vuông tại \[A\], góc \[B\]bằng \[{{30}^{0}}\]. Khẳng định nào sau đây là sai? A. \[\cos B=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\]. B. \[\sin C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]. C. \[\cos C=\dfrac{1}{2}\]. D. \[\sin B=\dfrac{1}{2}\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ \cos B=\cos {{30}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. $ Chọn đáp án A. Câu 12. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. \[\sin \alpha =-\sin ({{180}^{0}}-\alpha )\]. B. \[\cos \alpha =-\cos ({{180}^{0}}-\alpha )\]. C. \[\tan \alpha =\tan ({{180}^{0}}-\alpha )\]. D. \[\cot \alpha =\cot ({{180}^{0}}-\alpha )\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Câu 13. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. \[\cos {{75}^{0}}> \cos {{50}^{0}}\]. B. \[\sin {{80}^{0}}> \sin {{50}^{0}}\] C. \[\tan {{45}^{0}}< \tan {{60}^{0}}\]. D. \[\cos {{30}^{0}}=\sin {{60}^{0}}\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Câu 14. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. \[\sin {{90}^{0}}< \sin {{100}^{0}}\]. B. \[\cos {{95}^{0}}> \cos {{100}^{0}}\]. C. \[\tan {{85}^{0}}< \tan {{125}^{0}}\]. D. \[c\text{os}{{145}^{0}}> c\text{os}{{125}^{0}}\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Câu 15. Hai góc nhọn \[\alpha \] và \[\beta \] phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai? A. \[\sin \alpha =\cos \beta \]. B. \[\tan \alpha =\cot \beta \]. C. \[\cot \beta =\dfrac{1}{\cot \alpha }\]. D. \[\cos \alpha =-\sin \beta \]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Câu 16. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. \[{{\sin }^{2}}\alpha +\cos {{\alpha }^{2}}=1\]. B. \[{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}=1\]. C. \[\sin {{\alpha }^{2}}+\cos {{\alpha }^{2}}=1\]. D. \[{{\sin }^{2}}2\alpha +{{\cos }^{2}}2\alpha =1\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Câu 17. Cho biết \[\sin \alpha +\cos \alpha =a\] . Giá trị của \[\sin \alpha . \cos \alpha \] bằng bao nhiêu? A. \[\sin \alpha . \cos \alpha ={{a}^{2}}\]. B. \[\sin \alpha . \cos \alpha =2a\]. C. \[\sin \alpha . \cos \alpha =\dfrac{1-{{a}^{2}}}{2}\]. D. \[\sin \alpha . \cos \alpha =\dfrac{{{a}^{2}}-1}{2}\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[\sin \alpha +\cos \alpha =a\Rightarrow {{\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)}^{2}}={{a}^{2}}\]$ \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha +2\sin \alpha . \cos \alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{a}^{2}}$ $ \Leftrightarrow \sin a. \cos \alpha =\dfrac{{{a}^{2}}-1}{2}. $ Chọn đáp án D. Câu 18. Cho biết \[\cos \alpha =-\dfrac{2}{3},{{0}^{0}}< \alpha < {{180}^{0}}\]. Tính giá trị của biểu thức \[E=\dfrac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }\] ? A. \[-\dfrac{19}{13}\]. B. \[\dfrac{19}{13}\]. C. \[\dfrac{25}{13}\]. D. \[-\dfrac{25}{13}\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Ta có: $ {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}a=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$ Vì: \[{{0}^{0}}< \alpha < {{180}^{0}}\Rightarrow \sin \alpha > 0\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{3}\] $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \tan \alpha =-\dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ \cot \alpha =-\dfrac{2}{\sqrt{5}} \end{array} \right. $ $ \Rightarrow $ \[E=\dfrac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }=\dfrac{-\dfrac{2}{\sqrt{5}}-\dfrac{3\sqrt{5}}{2}}{-\dfrac{4}{\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{19}{13}. \]Chọn đáp án B. Câu 19. Cho biết \[\cot \alpha =5\]. Tính giá trị của \[E=2{{\cos }^{2}}\alpha +5\sin \alpha \cos \alpha +1\] ? A. \[\dfrac{10}{26}\]. B. \[\dfrac{100}{26}\]. C. \[\dfrac{50}{26}\]. D. \[\dfrac{101}{26}\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Ta có: $ {{\cot }^{2}}\alpha +1=\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}a}\Rightarrow {{\sin }^{2}}a=\dfrac{1}{{{\cot }^{2}}\alpha +1}=\dfrac{1}{26}$ \[E=2{{\cos }^{2}}\alpha +5\sin \alpha \cos \alpha +1=2\left( 1-{{\sin }^{2}}\alpha \right)+5. {{\sin }^{2}}\alpha . \cot \alpha +1\] $ =2\left( 1-\dfrac{1}{26} \right)+5. \dfrac{1}{26}. 5+1=\dfrac{101}{26}. $ Chọn đáp án D. Câu 20. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. \[{{(\cos x+\sin x)}^{2}}+{{(\cos x-\sin x)}^{2}}=2,\forall x\]. B. \[{{\tan }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x={{\tan }^{2}}x{{\sin }^{2}}x,\forall x\ne {{90}^{0}}\]. C. \[{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=1-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x,\forall x\]. D. \[{{\sin }^{6}}x-{{\cos }^{6}}x=1-3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x,\forall x\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[{{(\cos x+\sin x)}^{2}}+{{(\cos x-\sin x)}^{2}}={{\cos }^{2}}x+2\sin x. \cos x+{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x-2\sin x. \cos x+{{\sin }^{2}}x\] \[=2\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)=2\Rightarrow A\]đúng. \[{{\tan }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-{{\sin }^{2}}x={{\sin }^{2}}x\left( \dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)=\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}. \left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)={{\tan }^{2}}x. {{\sin }^{2}}x\Rightarrow B\]đúng. \[{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x={{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}+2{{\sin }^{2}}x. {{\cos }^{2}}x+{{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x. {{\cos }^{2}}x\] $ ={{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x. {{\cos }^{2}}x=1-2{{\sin }^{2}}x. {{\cos }^{2}}x\Rightarrow C$ đúng. Chọn đáp án D. Câu 21. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. \[\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}(x\ne {{0}^{0}},x\ne {{180}^{0}})\]. B. \[\tan x+\cot x=\dfrac{1}{\sin x\cos x}(x\ne {{0}^{0}},{{90}^{0}},{{180}^{0}})\]. C. \[\tan x+\cot x=\dfrac{1}{\sin x\cos x}(x\ne {{0}^{0}},{{90}^{0}},{{180}^{0}})\]. D. \[{{\sin }^{2}}2x+{{\cos }^{2}}2x=2\]. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[{{\sin }^{2}}2x+{{\cos }^{2}}2x=1,\forall x. \]Chọn đáp án D. Câu 22. Cho ABC là tam giác đều có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây sai? A. \[\left( \overrightarrow{GB},\overrightarrow{GC} \right)={{120}^{0}}. \] B. \[\left( \overrightarrow{GA},\overrightarrow{BG} \right)={{120}^{0}}. \] C. \[\left( \overrightarrow{AG},\overrightarrow{BC} \right)={{90}^{0}}. \] D. \[\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA} \right)={{120}^{0}}. \] Hướng dẫn Hướng dẫn giải: \[\left( \overrightarrow{GA},\overrightarrow{BG} \right)={{60}^{0}}. \]Chọn đáp án B. Câu 23. Cho tam giác ABC có \[\widehat{A}={{50}^{0}}\] . Tìm tổng \[\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{CB} \right)+\left( \overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC} \right)\] . A. $ {{130}^{0}}. $ B. $ {{230}^{0}}. $ C. $ {{150}^{0}}. $ D. $ {{250}^{0}}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Ta có: $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}={{130}^{0}}. $ \[\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{CB} \right)+\left( \overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC} \right)={{180}^{0}}-\widehat{B}+{{180}^{0}}-\widehat{C}\] \[={{360}^{0}}-\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)={{360}^{0}}-{{130}^{0}}={{230}^{0}}\]Chọn đáp án B. Câu 24. Cho $ \cot x=2. $ Tính $ \dfrac{2{{\sin }^{2}}2-3{{\cos }^{2}}x}{1+2{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}$ A. $ -\dfrac{10}{3}. $ B. $ \dfrac{3}{4}. $ C. $ \dfrac{5}{4}. $ D. $ \dfrac{3}{5}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ A=\dfrac{2{{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x}{1+2{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}=\dfrac{2-3{{\cot }^{2}}x}{{{\cot }^{2}}x+1+2-{{\cot }^{2}}x}=-\dfrac{10}{3}$ . Chọn đáp án A. Câu 25. Cho $ \alpha +\beta ={{90}^{0}}$ . Tính $ A=\sin \alpha . \cos \beta +\cos \alpha . \sin \beta +\cos \alpha . \cos \beta -\sin \alpha . \sin \beta $ A. $ 4. $ B. $ 3. $ C. $ 2. $ D. $ 1. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ \alpha +\beta ={{90}^{0}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin \alpha =\cos \beta \\ \cos \alpha =\sin \beta \end{array} \right. $ $ A=\sin \alpha . \cos \beta +\cos \alpha . \sin \beta +\cos \alpha . \cos \beta -\sin \alpha . \sin \beta $ $ ={{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha +\sin \alpha . \cos \alpha -\sin \alpha . \cos \alpha =1. $ Chọn đáp án D. Xem thêm: Tổng hợp chuyên đề Hình học 10: Tích vô hương của véc tơ và ứng dụng