Hình học 10: Hệ thức lượng trong tam giác Câu 1. Cho $ a=80,\text{ }b=51$ và $ c=113$ . Tính $ C. $ A. $ 117,5{}^\circ . $ B. $ 27,5{}^\circ . $ C. $ 157,4{}^\circ . $ D. $ 62,5{}^\circ . $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ \cos C=\dfrac{a2+b2-c2}{2ab}=\dfrac{{{80}^{2}}+{{51}^{2}}-{{133}^{2}}}{2. 80. 51}=-0,462\Rightarrow C=117,5{}^\circ . $ Chọn đáp án A. Câu 2. Cho $ a=2178,\text{ }c=1719$ và $ B=23{}^\circ $ . Tính $ b$ . A. \[2184,9. \] B. \[897,7. \] C. \[80937,8. \] D. \[2062,1. \] Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B$ $ ={{(2178)}^{2}}+{{(1719)}^{2}}-2\times 2178\times 1719\cos 23{}^\circ $ $ \Rightarrow b=897,7$ . Chọn đáp án B. Câu 3. Cho $ a=17,\text{ }b=39,\text{ }c=50$ . Tính góc nhỏ nhất trong tam giác $ ABC$ ? A. $ 106,86{}^\circ . $ B. $ 73,12{}^\circ . $ C. $ 16,86{}^\circ . $ D. $ 163,12{}^\circ . $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Cạnh nhỏ nhất là $ a$ . Suy ra góc nhỏ nhất là $ A$ , ta có : \[\cos A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\dfrac{3732}{3900}\Rightarrow A=16,86{}^\circ \]. Chọn đáp án C. Câu 4. Cho $ a=117,\text{ }b=230,\text{ }c=185$ . Tính góc lớn nhất trong tam giác $ ABC$ ? A. $ 6,6{}^\circ . $ B. $ 96,6{}^\circ . $ C. $ 53{}^\circ . $ D. $ 37{}^\circ . $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Cạnh $ b$ lớn nhất. Suy ra góc $ \cos B=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}$ lớn nhất. $ \cos B=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}=\dfrac{{{117}^{2}}+{{185}^{2}}-{{230}^{2}}}{2. 117. 185}\Rightarrow B=96,6{}^\circ $ . Chọn đáp án B. Câu 5. Cho $ a=12,\text{ }c=21,\text{ }B=72{}^\circ $ . Tính $ C$ ? A. $ 69,2{}^\circ . $ B. $ 81,0{}^\circ . $ C. $ 33,4{}^\circ . $ D. $ 74,6{}^\circ . $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B={{12}^{2}}+{{21}^{2}}-2. 12. 21\cos 72{}^\circ \Rightarrow b=20,72$ $ \dfrac{s}{\sin c}=\dfrac{b}{\sin b}\Rightarrow \sin C=\dfrac{c\operatorname{sinB}}{b}=\dfrac{21\sin 72{}^\circ }{20,72}=0,964\Rightarrow C=74,6{}^\circ $ . Chọn đáp án D. Câu 6. Cho tam giác $ ABC$ có $ AC=8,\text{ }AB=5,\text{ }\widehat{BAC}=60{}^\circ $ . Khi đó, cạnh $ BC$ bằng: A. $ 7. $ B. $ 6. $ C. $ \dfrac{49}{6}. $ D. $ \dfrac{35}{6}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ B{{C}^{2}}={{a}^{2}}={{c}^{2}}+{{b}^{2}}-2bc\cos A$ $ =25+64-2. 5. 8. \dfrac{1}{2}=49\Rightarrow BC=7$ . Chọn đáp án A. Câu 7. Cho tam giác $ ABC$ có$ a=21,\text{ }b=17,\text{ }c=8$ . Góc $ A$ có số đo tính đến đơn vị phút là: A. $ 82{}^\circ 35'. $ B. $ 108{}^\circ 53'. $ C. $ 105{}^\circ 12'. $ D. $ 96{}^\circ 32'. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A\Rightarrow \cos A=\dfrac{{{y}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\dfrac{{{17}^{2}}+{{8}^{2}}-21}{2. 17. 2}$ $ =-\dfrac{11}{34}=108{}^\circ 53'$ . Chọn đáp án B. Câu 8. Cho tam giác $ ABC$ có $ A=30{}^\circ ,\text{ }a=20,\text{ }b=20\sqrt{3}$ . Số đo của góc $ B$ là số nào sau đây: A. $ 60{}^\circ . $ B. $ 45{}^\circ . $ C. $ 90{}^\circ . $ D. $ 60{}^\circ $ hoặc $ 120{}^\circ . $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Theo định lý hàm số $ \sin $ ta có : \[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\Rightarrow \operatorname{sinB}=\dfrac{b. \sin A}{a}=\dfrac{20\sqrt{3}\times \dfrac{1}{2}}{20}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} B=60{}^\circ \\ B=120{}^\circ \end{array} \right. \] . Chọn đáp án D. Câu 9. Tam giác $ ABC$ có $ AB=6\text{cm},\text{ }AC=8\text{cm}$ và $ BC=10\text{cm}$ . Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $ A$ của tam giác bằng: A. $ 4\text{cm}\text{. }$ B. $ \sqrt{3}\text{cm}\text{. }$ C. $ 7\text{cm}\text{. }$ D. $ 5\text{cm}\text{. }$ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức đường trung tuyến $ m_{a}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$ ta được: $ m_{a}^{2}=\dfrac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}{2}-\dfrac{{{10}^{2}}}{4}=25$ $ \Rightarrow {{m}_{a}}=5. $ Chọn đáp án D. Câu 10. Tam giác $ ABC$ vuông tại $ A$ và có $ AB=AC=a$ . Tính độ dài đường trung tuyến $ BM$ của tam giác đã cho. A. $ BM=1,5a. $ B. $ BM=a\sqrt{2}. $ C. $ BM=a\sqrt{3}. $ D. $ BM=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ M$ là trung điểm của $ AC\Rightarrow AM=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a}{2}. $ Tam giác $ \Delta BAM$ vuông tại $ A$ $ \Rightarrow BM=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}. $ Chọn đáp án D. Câu 11. Tam giác $ ABC$ có $ AB=9$ cm, $ AC=12$ cm và $ BC=15$ cm. Tính độ dài đường trung tuyến $ AM$ của tam giác đã cho. A. $ AM=\dfrac{15}{2}cm. $ B. $ AM=10cm. $ C. $ AM=9cm. $ D. $ AM=\dfrac{13}{2}cm. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Áp dụng hệ thức đường trung tuyến $ m_{a}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$ ta được: $ m_{a}^{2}=\dfrac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{{{12}^{2}}+{{9}^{2}}}{2}-\dfrac{{{15}^{2}}}{4}=\dfrac{225}{4}. $ $ \Rightarrow {{m}_{a}}=\dfrac{15}{2}. $ Chọn đáp án A. Câu 12. Tam giác $ ABC$ cân tại $ C$ , có $ AB=9\text{cm}$ và $ AC=\dfrac{15}{2}\text{cm}$ . Gọi $ D$ là điểm đối xứng của $ B$ qua $ C$ . Tính độ dài cạnh $ AD. $ A. $ AD=6$ $ cm. $ B. $ AD=9$ $ cm. $ C. $ AD=12$ $ cm. $ D. $ AD=12\sqrt{2}$ $ cm. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Ta có: $ D$ là điểm đối xứng của $ B$ qua $ C$ $ \Rightarrow C$ là trung điểm của $ BD. $ $ \Rightarrow $ $ AC$ là trung tuyến của tam giác $ \Delta DAB. $ $ BD=2BC=2AC=15. $ Theo hệ thức trung tuyến ta có: $ A{{C}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{D}^{2}}}{4}$ $ \Rightarrow A{{D}^{2}}=2A{{C}^{2}}+\dfrac{B{{D}^{2}}}{2}-A{{B}^{2}}$ $ \Rightarrow A{{D}^{2}}=$ $ 2. {{\left( \dfrac{15}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{{{15}^{2}}}{2}-{{9}^{2}}=144\Rightarrow AD=12. $ Chọn đáp án C. Câu 13. Tam giác $ ABC$ có $ AB=5,AC=9$ và đường trung tuyến $ AM=6. $ Tính độ dài cạnh $ BC. $ A. $ 2\sqrt{17}. $ B. $ \sqrt{17}. $ C. $ \sqrt{129}. $ D. $ 22. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác ta có: $ A{{M}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}$ $ \Rightarrow BC=2\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \right)-4A{{M}^{2}}$ $ =2\left( {{5}^{2}}+{{9}^{2}} \right)-{{4. 6}^{2}}=68. $ $ \Rightarrow BC=\sqrt{68}=2\sqrt{17}. $ Chọn đáp án A. Câu 14. Tam giác $ ABC$ có $ AB=4,AC=10$ và đường trung tuyến $ AM=6. $ Tính độ dài cạnh $ BC. $ A. $ 2\sqrt{6}. $ B. $ 5. $ C. $ \sqrt{22}. $ D. $ 2\sqrt{22}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác ta có: $ A{{M}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}$ $ \Rightarrow BC=2\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \right)-4A{{M}^{2}}$ $ =2\left( {{4}^{2}}+{{10}^{2}} \right)-{{4. 6}^{2}}=88. $ $ \Rightarrow BC=\sqrt{88}=2\sqrt{22}. $ Chọn đáp án D. Câu 15. Tam giác $ ABC$ có $ AB=4,AC=6$ và đường trung tuyến $ BM=3. $ Tính độ dài cạnh $ BC. $ A. $ \sqrt{17}. $ B. $ 2\sqrt{5}. $ C. $ 4. $ D. $ 8. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác ta có: $ B{{M}^{2}}=\dfrac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}$ $ \Rightarrow 4B{{M}^{2}}=2B{{A}^{2}}+2B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}$ $ \Rightarrow B{{C}^{2}}=\dfrac{4B{{M}^{2}}-2B{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}$ $ =\dfrac{{{4. 3}^{2}}-{{2. 4}^{2}}+{{6}^{2}}}{2}=20$ $ \Rightarrow BC=2\sqrt{5}. $ Chọn đáp án B. Câu 16. Hình bình hành có hai cạnh là $ 5$ và $ 9,$ một đường chéo bằng $ 11. $ Tìm đường chéo còn lại. A. $ 9,5. $ B. $ 4\sqrt{6}. $ C. $ \sqrt{91}. $ D. $ 3\sqrt{10}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Hình bình hành $ ABCD$ có $ AB=5;BC=9. $ Gọi $ O=AC\cap BD\Rightarrow $ $ O$ là trung điểm của $ AC,BD. $ TH1: $ AC=11. $ $ \Rightarrow B{{O}^{2}}=\dfrac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}$ $ =\dfrac{{{5}^{2}}+{{9}^{2}}}{2}-\dfrac{{{11}^{2}}}{4}=\dfrac{91}{4}$ $ \Rightarrow BO=\dfrac{\sqrt{91}}{2}\Rightarrow BD=2BO=\sqrt{91}. $ TH2: $ BD=11\Rightarrow BO=\dfrac{11}{2}. $ Trong tam giác $ ABC$ ta có: $ B{{O}^{2}}=\dfrac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}$ $ \Rightarrow A{{C}^{2}}=2\left( B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-4. B{{O}^{2}}$ $ =2\left( {{5}^{2}}+{{9}^{2}} \right)-4. {{\left( \dfrac{11}{2} \right)}^{2}}=91$ $ AC=\sqrt{91}$ Chọn đáp án C. Câu 17. Hình bình hành có hai cạnh là $ 3$ và $ 5$ một đường chéo bằng $ 5. $ Tìm đường chéo còn lại. A. $ \sqrt{43}. $ B. $ 2\sqrt{13}. $ C. $ 8. $ D. $ 8\sqrt{3}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Hình bình hành $ ABCD$ có $ AB=3;BC=5. $ Gọi $ O=AC\cap BD\Rightarrow $ $ O$ là trung điểm của $ AC,BD. $ Đường chéo $ BD=5. $ Trong tam giác $ ABD$ ta có: $ A{{O}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{D}^{2}}}{4}$ $ =\dfrac{{{3}^{2}}+{{5}^{2}}}{2}-\dfrac{{{5}^{2}}}{4}=\dfrac{43}{4}\Rightarrow AO=\dfrac{\sqrt{43}}{2}. $ $ \Rightarrow AC=2AO=\sqrt{43}. $ Chọn đáp án A. Câu 18. Hình bình hành có 1 cạnh là $ 5$ và hai đường chéo là $ 6$ và $ 8. $ Tính độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng $ 5. $ A. $ 3. $ B. $ 1. $ C. $ 5\sqrt{6}. $ D. $ 5. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Hình bình hành $ ABCD$ có $ BC=5;AC=6;BD=8. $ Gọi $ O=AC\cap BD\Rightarrow O$ là trung điểm của $ BD$ và $ AC. $ Trong tam giác $ BCD$ ta có: $ CO$ là trung tuyến $ \Rightarrow C{{O}^{2}}=\dfrac{C{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{D}^{2}}}{4}$ $ \Rightarrow C{{D}^{2}}=\dfrac{4C{{O}^{2}}-2C{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}}{2}$ $ =\dfrac{{{4. 3}^{2}}-{{2. 5}^{2}}+{{8}^{2}}}{2}=25$ $ \Rightarrow CD=5. $ Chọn đáp án D. Câu 19. Hình bình hành có 1 cạnh là $ 4$ và hai đường chéo là $ 6$ và $ 8. $ Tính độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng $ 4. $ A. $ \sqrt{34}. $ B. $ 6. $ C. $ \sqrt{42}. $ D. $ 5. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Hình bình hành $ ABCD$ có $ BC=4;AC=6;BD=8. $ Gọi $ O=AC\cap BD\Rightarrow O$ là trung điểm của $ BD$ và $ AC. $ Trong tam giác $ BCD$ ta có: $ CO$ là trung tuyến $ \Rightarrow C{{O}^{2}}=\dfrac{C{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{D}^{2}}}{4}$ $ \Leftrightarrow 4C{{O}^{2}}=2\left( C{{B}^{2}}+C{{D}^{2}} \right)-B{{D}^{2}}$ $ \Rightarrow C{{D}^{2}}=\dfrac{4C{{O}^{2}}-2C{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}}{2}$ $ =\dfrac{{{4. 3}^{2}}-{{2. 4}^{2}}+{{8}^{2}}}{2}=34$ $ \Rightarrow CD=\sqrt{34}. $ Chọn đáp án A. Câu 20. Tam giác $ ABC$ có $ AB=3,\,\,BC=8$ . Gọi $ M$ là trung điểm của $ BC$ . Biết $ \cos \widehat{AMB}=\dfrac{5\sqrt{13}}{26}$ và $ AM> 3$ . Tính độ dài cạnh $ AC$ . A. $ AC=\sqrt{13}. $ B. $ AC=\sqrt{7}. $ C. $ AC=13. $ D. $ AC=7. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Ta có: $ M$ là trung điểm của $ BC$ $ \Rightarrow BM=\dfrac{BC}{2}=4. $ Trong tam giác $ ABM$ ta có: $ \cos \widehat{AMB}=\dfrac{A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2AM. BM}$ $ \Leftrightarrow A{{M}^{2}}-2AM. BM. \cos \widehat{AMB}+B{{M}^{2}}-A{{B}^{2}}=0. $ $ \Leftrightarrow A{{M}^{2}}-\dfrac{20\sqrt{13}}{13}AM+7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} AM=\sqrt{13}> 3\,\,\,(t/m) \\ AM=\dfrac{7\sqrt{13}}{13}< 3\,\,\,(loai) \end{array} \right. $ $ \Rightarrow AM=\sqrt{13}. $ Ta có: $ \widehat{AMB}$ và $ \widehat{AMC}$ là hai góc kề bù. $ \Rightarrow \cos \widehat{AMC}=-\cos \widehat{AMB}=-\dfrac{5\sqrt{13}}{26}$ Trong tam giác $ \Delta AMC$ ta có: $ A{{C}^{2}}=A{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}-2AM. CM. \cos \widehat{AMC}$ $ =13+16-2. \sqrt{13}. 4. \left( -\dfrac{5\sqrt{13}}{26} \right)=49\Rightarrow AC=7. $ Chọn đáp án D. Câu 21. Tam giác $ ABC$ có trọng tâm $ G$ . Hai trung tuyến $ BM=6$ , $ CN=9$ và $ \widehat{BGC}={{120}^{0}}$ . Tính độ dài cạnh $ AB$ . A. $ AB=\sqrt{11}$ . B. $ AB=\sqrt{13}$ . C. $ AB=2\sqrt{11}$ . D. $ AB=2\sqrt{13}$ . Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Ta có: $ \widehat{BGC}$ và $ \widehat{BGN}$ là hai góc kề bù mà $ \widehat{BGC}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{BGN}={{120}^{0}}. $ $ G$ là trọng tâm của tam giác $ \Delta ABC$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} BG=\dfrac{2}{3}BM=4. \\ GN=\dfrac{1}{3}CN=3. \end{array} \right. $ Trong tam giác $ \Delta BGN$ ta có: $ B{{N}^{2}}=G{{N}^{2}}+B{{G}^{2}}-2GN. BG. \cos \widehat{BGN}$ $ \Rightarrow B{{N}^{2}}=9+16-2. 3. 4. \dfrac{1}{2}=13\Rightarrow BN=\sqrt{13}. $ $ N$ là trung điểm của $ AB\Rightarrow AB=2BN=2\sqrt{13}. $ Chọn đáp án D. Câu 22. Cho tam giác $ ABC$ có $ AB=c,\text{ }BC=a,\text{ }CA=b$ . Nếu giữa $ a,\text{ }b,\text{ }c$ có liên hệ $ {{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{a}^{2}}$ thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $ A$ của tam giác tính theo $ a$ bằng: A. $ \dfrac{a\sqrt{3}}{2}. $ B. $ \dfrac{a\sqrt{3}}{3}. $ C. $ 2a\sqrt{3}. $ D. $ 3a\sqrt{3}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh $ A$ của tam giác: $ m_{a}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$ Mà: $ {{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow $ $ m_{a}^{2}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow {{m}_{a}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}. $ Chọn đáp án A. Câu 23. Tam giác $ ABC$ có tổng hai góc $ B$ và $ C$ bằng $ {{135}^{0}}$ và độ dài cạnh $ BC$ bằng $ a. $ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. A. $ \dfrac{a\sqrt{2}}{2}. $ B. $ a\sqrt{2}. $ C. $ \dfrac{a\sqrt{3}}{2}. $ D. $ a\sqrt{3}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Tổng ba góc trong tam giác bằng $ {{180}^{0}}\Rightarrow A+B+C={{180}^{0}}\Rightarrow A={{180}^{0}}-\left( B+C \right)={{180}^{0}}-{{135}^{0}}={{45}^{0}}. $ Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: $ \dfrac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow \dfrac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{a}{2\sin {{45}^{0}}}=\dfrac{a}{2. \dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}. $ Chọn đáp án A. Câu 24. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$ biết $ AB=c$ và $ \cos \left( A+B \right)=\dfrac{1}{3}$ A. $ \dfrac{c\sqrt{2}}{2}. $ B. $ \dfrac{3c\sqrt{2}}{8}. $ C. $ \dfrac{9c\sqrt{2}}{8}. $ D. $ \dfrac{3c}{2}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Tổng ba góc trong tam giác bằng $ {{180}^{0}}\Rightarrow A+B+C={{180}^{0}}\Rightarrow C={{180}^{0}}-\left( A+B \right)$ $ \Rightarrow \cos C=-\cos \left( A+B \right)=-\dfrac{1}{3}. $ Áp dụng công thức: $ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\sin }^{2}}C=1-{{\cos }^{2}}C=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}$ $ 0< C< {{180}^{0}}\Rightarrow \sin C> 0\Rightarrow \sin C=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}. $ Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: $ \dfrac{C}{\sin C}=2R\Rightarrow \dfrac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{c}{2. \dfrac{2\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{3c\sqrt{2}}{8}. $ Chọn đáp án B. Câu 25. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$ biết $ AB=10$ và $ \tan \left( A+B \right)=\dfrac{1}{3}$ A. $ \dfrac{5\sqrt{10}}{9}. $ B. $ \dfrac{10}{3}. $ C. $ \dfrac{\sqrt{10}}{5}. $ D. $ 5\sqrt{10}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Tổng ba góc trong tam giác bằng $ {{180}^{0}}\Rightarrow A+B+C={{180}^{0}}\Rightarrow C={{180}^{0}}-\left( A+B \right)$ $ \Rightarrow \tan C=-\tan \left( A+B \right)=-\dfrac{1}{3}. $ Áp dụng công thức: \[\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }={{\tan }^{2}}\alpha +1\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\tan }^{2}}\alpha +1}\Rightarrow {{\cos }^{2}}C=\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}+1}=\dfrac{9}{10}\] $ \Rightarrow {{\sin }^{2}}C=1-{{\cos }^{2}}C=1-\dfrac{9}{10}=\dfrac{1}{10}$ $ 0< C< {{180}^{0}}\Rightarrow \sin C> 0\Rightarrow \sin C=\dfrac{\sqrt{10}}{10}. $ Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: $ \dfrac{C}{\sin C}=2R\Rightarrow \dfrac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{10}{2. \dfrac{\sqrt{10}}{10}}=5\sqrt{10}. $ Chọn đáp án D. Câu 26. Tính bán kínhddường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$ biết $ AB=12$ và $ \cot \left( A+B \right)=\dfrac{1}{3}$ A. $ 2\sqrt{10}. $ B. $ \dfrac{9\sqrt{10}}{5}. $ C. $ 5\sqrt{10}. $ D. $ 3\sqrt{2}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Tổng ba góc trong tam giác bằng $ {{180}^{0}}\Rightarrow A+B+C={{180}^{0}}\Rightarrow C={{180}^{0}}-\left( A+B \right)$ $ \Rightarrow \cot C=-\cot \left( A+B \right)=-\dfrac{1}{3}. $ Áp dụng công thức: \[\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }={{\cot }^{2}}\alpha +1\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cot }^{2}}\alpha +1}\Rightarrow {{\sin }^{2}}C=\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}+1}=\dfrac{9}{10}\] $ 0< C< {{180}^{0}}\Rightarrow \sin C> 0\Rightarrow \sin C=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}. $ Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: $ \dfrac{C}{\sin C}=2R\Rightarrow \dfrac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{12}{2. \dfrac{3\sqrt{10}}{10}}=2\sqrt{10}. $ Chọn đáp án A. Câu 27. Cho hình bình hành $ ABCD$ có $ AB=a,\text{ }BC=b,\text{ }BD=m$ và $ AC=n$ . Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng: A. $ {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right). $ B. $ {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right). $ C. \[2\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}. \] D. \[3\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}. \] Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Gọi $ O$ là giao điểm của $ AC$ và $ BD. $ Ta có: $ BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{m}{2}. $ $ BO$ là trung tuyến của tam giác $ \Delta ABC$ $ \Rightarrow B{{O}^{2}}=\dfrac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\dfrac{{{n}^{2}}}{4}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$ Chọn đáp án B. Câu 28. Tam giác $ ABC$ có $ AB=c,\text{ }BC=a,\text{ }CA=b$ . Các cạnh $ a,\text{ }b,\text{ }c$ liên hệ với nhau bởi đẳng thức $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5{{c}^{2}}$ . Góc giữa hai trung tuyến $ AM$ và $ BN$ là góc nào? A. $ {{30}^{0}}. $ B. $ {{45}^{0}}. $ C. $ {{60}^{0}}. $ D. $ {{90}^{0}}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Gọi $ G$ là trọng tâm tam giác $ \Delta ABC. $ Ta có: $ A{{M}^{2}}=\dfrac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$ $ \Rightarrow A{{G}^{2}}=\dfrac{4}{9}A{{M}^{2}}=\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\dfrac{{{a}^{2}}}{9}$ $ B{{N}^{2}}=\dfrac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4}$ $ \Rightarrow G{{N}^{2}}=\dfrac{1}{9}B{{N}^{2}}=\dfrac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\dfrac{{{b}^{2}}}{36}$ Trong tam giác $ \Delta AGN$ ta có: \[\cos \widehat{AGN}=\dfrac{A{{G}^{2}}+G{{N}^{2}}-A{{N}^{2}}}{2. AG. GN}=\dfrac{\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\dfrac{{{a}^{2}}}{9}+\dfrac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\dfrac{{{b}^{2}}}{36}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4}}{2. \sqrt{\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\dfrac{{{a}^{2}}}{9}}. \sqrt{\dfrac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\dfrac{{{b}^{2}}}{36}}}\] \[=\dfrac{\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\dfrac{{{a}^{2}}}{9}+\dfrac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\dfrac{{{b}^{2}}}{36}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4}}{2. \sqrt{\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\dfrac{{{a}^{2}}}{9}}. \sqrt{\dfrac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\dfrac{{{b}^{2}}}{36}}}\] $ =\dfrac{10{{c}^{2}}-2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{36. 2. \sqrt{\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{9}-\dfrac{{{a}^{2}}}{9}}. \sqrt{\dfrac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{18}-\dfrac{{{b}^{2}}}{36}}}=0$ $ \Rightarrow \widehat{AGN}={{90}^{0}}. $ Câu 29. Tam giác $ ABC$ có ba đường trung tuyến $ {{m}_{a}},\text{ }{{m}_{b}},\text{ }{{m}_{c}}$ thỏa mãn $ 5m_{a}^{2}=m_{b}^{2}+m_{c}^{2}$ . Khi đó tam giác này là tam giác gì? A. Tam giác cân. B. Tam giác đều. C. Tam giác vuông. D. Tam giác vuông cân. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} m_{a}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4} \\ m_{b}^{2}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4} \\ m_{c}^{2}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4} \end{array} \right. $ Mà: $ 5m_{a}^{2}=m_{b}^{2}+m_{c}^{2}$ $ \Rightarrow 5\left( \dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4} \right)=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4}$ $ \Leftrightarrow 10{{b}^{2}}+10{{c}^{2}}-5{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{c}^{2}}-{{b}^{2}}+2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}$ $ \Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow $ tam giác $ \Delta ABC$ vuông. Chọn đáp án C. Câu 30. Tam giác $ ABC$ có $ AB=c,\text{ }BC=a,\text{ }CA=b$ . Gọi $ {{m}_{a}},\text{ }{{m}_{b}},\text{ }{{m}_{c}}$ là độ dài ba đường trung tuyến, $ G$ trọng tâm. Xét các khẳng định sau: $ \left( \text{I} \right)$ . $ m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\dfrac{3}{4}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ . $ \left( \text{II} \right)$ . $ G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=\dfrac{1}{3}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ . Trong các khẳng định đã cho có A. $ \left( \text{I} \right)$ đúng. B. Chỉ $ \left( \text{II} \right)$ đúng. C. Cả hai cùng sai. D. Cả hai cùng đúng. Hướng dẫn Hướng dẫn giải Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} m_{a}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4} \\ m_{b}^{2}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4} \\ m_{c}^{2}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4} \end{array} \right. $ $ \Rightarrow m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\dfrac{3}{4}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ $ G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=\dfrac{4}{9}\left( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right)=\dfrac{4}{9}. \dfrac{3}{4}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=\dfrac{1}{3}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ Chọn đáp án D. Câu 31. Cho $ A=41{}^\circ ,\text{ }B=72{}^\circ $ và $ a=15$ . Tính c. A. $ 19,6. $ B. $ 10,7. $ C. $ 21. $ D. $ 7,8. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ C=180{}^\circ -\left( A+B \right)=180{}^\circ -\left( 41{}^\circ +72{}^\circ \right)=67{}^\circ $ $ \dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}\Rightarrow c=\dfrac{a\sin C}{\operatorname{sinA}}=\dfrac{15. \sin 67{}^\circ }{\sin 41{}^\circ }=21. 0$ . Chọn đáp án C. Câu 32. Cho $ B=24{}^\circ ,\text{ }C=87{}^\circ $ và $ a=113$ . Tính c. A. $ 120,9. $ B. $ 49,2. $ C. $ 94,4. $ D. $ 142,7. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ A=180{}^\circ -\left( 24{}^\circ +87{}^\circ \right)=69{}^\circ $ $ \dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{113}{\sin 69{}^\circ }\Rightarrow c=\dfrac{113. \sin 87{}^\circ }{\sin 69{}^\circ }=120,9$ . Chọn đáp án A. Câu 33. Cho $ a=15,\text{ }b=19$ và $ A=82{}^\circ $ . Tính c. A. $ 16,2$ và $ 1,4. $ B. $ 4,3. $ C. 7,6. D. vô nghiệm. Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{19. \sin 82{}^\circ }{12}=1,568> 1$ : vô lý Vậy không có B, suy ra không có C. Chọn đáp án D. Câu 34. Cho $ b=41,6;\text{ }c=52,7$ và $ C=80,3{}^\circ $ . Tính $ B$ . A. $ 77,7{}^\circ . $ B. $ 82,4{}^\circ . $ C. $ 51,1{}^\circ . $ D. $ 38,8{}^\circ . $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ \sin B=\dfrac{b\sin C}{c}=\dfrac{41,6\sin 80,3{}^\circ }{52,7}\Rightarrow B=51,1{}^\circ $ . Chọn đáp án C. Câu 35. Cho $ a=91,60\text{ };\text{ }c=24,19$ và $ B=37{}^\circ $ . Tính diện tích tam giác $ S$ . A. $ 1769,62. $ B. $ 666,75. $ C. $ 1107,91. $ D. $ 1212,54. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ S=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{1}{2}\times 91,60\times 24,19. \sin 37{}^\circ =666,75$ . Chọn đáp án B. Câu 36. Cho $ a=72,\text{ }b=51$ và $ A=27{}^\circ $ . Tính diện tích tam giác $ S$ . A. \[833,5. \] B. \[1315,2. \] C. \[1635,9. \] D. \[2630,6. \] Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Cho $ a=72,b=51,\widehat{A}=27{}^\circ $ . Ta có : $ \sin B=\dfrac{b\sin a}{a}=\dfrac{51. \sin 27{}^\circ }{72}=0,322\Rightarrow B=18,8{}^\circ $ $ C=180{}^\circ -\left( 27{}^\circ +18,8{}^\circ \right)==134,2{}^\circ $ $ S=\dfrac{1}{2}ab\operatorname{sinC}=\dfrac{1}{2}\times 72\times 51\times \sin 134,2{}^\circ =1315,2$ . Chọn đáp án B. Câu 37. Cho tam giác $ ABC$ với ba cạnh có độ dài 4, 6, 8. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ ABC$ là: A. $ \dfrac{\sqrt{15}}{2}. $ B. $ \dfrac{\sqrt{15}}{3}. $ C. $ \dfrac{\sqrt{15}}{4}. $ D. $ \dfrac{\sqrt{15}}{5}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Nửa chu vi của tam giác là $ p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{4+6+8}{2}=9$ Diện tích tam giác là : $ S=pr=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$ Do đó : $ 9. r=\sqrt{9\left( 9-4 \right)\left( 9-6 \right)\left( 9-8 \right)}\Rightarrow r=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$ . Chọn đáp án B. Câu 38. Tam giác $ ABC$ có $ AB=6,\text{ }AC=10,\text{ }cosA=\dfrac{3}{5}$ . Diện tích tam giác là: A. $ 12. $ B. $ 14. $ C. $ 20. $ D. $ 24. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ \cos A=\dfrac{3}{5}\Rightarrow {{\sin }^{2}}A=1-{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{16}{25}\Rightarrow \sin A=\dfrac{4}{5}$ Diện tích $ S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}. 6. 10. \dfrac{4}{5}=24$ . Chọn đáp án D. Câu 39. Tam giác $ ABC$ có $ AB=8,\text{ }AC=5,\text{ }\widehat{BAC}=60{}^\circ $ . Chiều cao $ AH$ của tam giác là: A. $ \dfrac{20\sqrt{3}}{7}. $ B. $ 40\sqrt{3}. $ C. $ 40\sqrt{7}. $ D. $ \dfrac{20\sqrt{21}}{7}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ B{{C}^{2}}={{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A=82+52-2. 8. 5. cos60{}^\circ =49$ . Suy ra $ a=7$ $ S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}a{{h}_{a}}\Rightarrow AH={{h}_{a}}=\dfrac{bc. \sin A}{a}=\dfrac{8. 5. \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\dfrac{20\sqrt{3}}{7}$ . Chọn đáp án A. Câu 40. Tam giác $ ABC$ có$ A=45{}^\circ ,a=2\sqrt{2},b=\sqrt{6}-\sqrt{2}$ . Tính cạnh $ c$ , ta được: A. $ \sqrt{3}. $ B. $ 2\sqrt{3}. $ C. $ 4. $ D. $ 4\sqrt{2}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Từ $ {{a}^{2}}={{c}^{2}}+{{b}^{2}}-2cb\cos A$ ta có $ {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{c}^{2}}-2\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)c. \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ Suy ra : $ 8=8-4\sqrt{3}+{{c}^{2}}-\sqrt{2}\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)c=0$ $ \Leftrightarrow {{c}^{2}}-2\left( \sqrt{3}-1 \right)c-4\sqrt{3}=0$ Có : $ \vartriangle '={{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}+4\sqrt{3}={{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1=2\sqrt{3} \\ c=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}-1=-0< 0)(L) \end{array} \right. $ Vậy $ c=2\sqrt{3}$ . Chọn đáp án B. Câu 41. Cho tam giác $ ABC$ có $ AB=3,\text{ }AC=4$ , diện tích $ S=3\sqrt{3}$ . Giá trị của $ \cos A$ là: A. $ \pm \dfrac{1}{3}. $ B. $ \dfrac{1}{2}. $ C. $ -\dfrac{1}{2}. $ D. $ \pm \dfrac{1}{2}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Từ $ S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$ ta có : $ 3\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}. 3. 4. \sin A\Leftrightarrow \sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $ {{\cos }^{2}}A=1-{{\sin }^{2}}A-1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \cos A=\pm \dfrac{1}{2}$ . Chọn đáp án D. Câu 42. Cho hình bình hành $ ABCD$ có diện tích $ S$ . Gọi $ M,N$ lần lượt là trung điểm của $ CD,\text{ }CB$ . Diện tích của tam giác $ AMN$ là: A. $ \dfrac{1}{2}S. $ B. $ \dfrac{1}{3}S. $ C. $ \dfrac{3}{8}S. $ D. $ \dfrac{3}{7}S. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ {{S}_{\Delta DAC}}={{S}_{\Delta BAC}}={{S}_{\Delta CBD}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}$ $ \dfrac{{{S}_{\Delta DAM}}}{{{S}_{\Delta DAC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}DA. DM. \sin \widehat{ADM}}{\dfrac{1}{2}DA. DC. \sin \widehat{ADC}}=\dfrac{DM}{DC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{\Delta DAM}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta DAC}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABCD}}=\dfrac{S}{4}. $ Tương tự ta có : $ {{S}_{\Delta CMN}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta CBD}}=\dfrac{1}{2}. \dfrac{1}{4}{{S}_{ABCD}}=\dfrac{S}{8}. $ $ {{S}_{\Delta BAN}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta BAC}}=\dfrac{1}{2}. \dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\dfrac{S}{4}$ $ {{S}_{\Delta AMN}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta DAM}}-{{S}_{\Delta CMN}}-{{S}_{\Delta ABN}}=S-\dfrac{S}{4}-\dfrac{S}{8}-\dfrac{S}{4}=\dfrac{3S}{8}. $ Chọn đáp án C. Câu 43. Cho tam giác $ ABC$ có 2 góc là $ 30{}^\circ ,\text{ }45{}^\circ $ , cạnh nhỏ nhất có độ dài bằng 10. Cạnh lớn nhất bằng số nào sau đây A. \[15,2. \] B. \[16,4. \] C. \[19,4. \] D. \[22,3. \] Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Góc lớn nhất là $ 180{}^\circ -\left( 30{}^\circ +45{}^\circ \right)=105{}^\circ $ . Gọi $ x$ là cạnh lớn nhất. Ta có $ \dfrac{x}{\sin 105{}^\circ }=\dfrac{10}{\sin 30{}^\circ }\Rightarrow x=20\sin 105{}^\circ \approx 19,4$ . Chọn đáp án C. Câu 44. Cho tam giác $ ABC$ có 2 góc là $ 30{}^\circ ,\text{ }45{}^\circ $ , cạnh nhỏ nhất có độ dài bằng 10. Khi đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$ là: A. $ 10. $ B. $ 15. $ C. $ 20. $ D. $ 25. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Cạnh nhỏ nhất là 10, góc nhỏ nhất là $ 30{}^\circ $ nên : $ 2R=\dfrac{10}{\sin 30{}^\circ }=20\Rightarrow R=10$ . Chọn đáp án A. Câu 45. Cho hình thang $ ABCD$ vuông tại $ A,B$ có hai cạnh đáy $ AD=5a,\text{ }BC=3a,\text{ }AB=4a$ . Gọi $ I$ là trung điểm của $ AB$ . Diện tích tam giác $ ICD$ là: A. $ 4{{a}^{2}}. $ B. $ 6{{a}^{2}}. $ C. $ 8{{a}^{2}}. $ D. $ 16{{a}^{2}}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ {{S}_{\Delta ICD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta IBC}}-{{S}_{\Delta IAD}}$ $ =\dfrac{3a+5a}{2}. 4a-\left( \dfrac{1}{2}. 2a. 3a+\dfrac{1}{2}. 2a. 5a \right)=8{{a}^{2}}$ Chọn đáp án C. Câu 46. Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là: $ 5,12,13. $ A. $ 60. $ B. $ 30. $ C. $ 34. $ D. $ 7\sqrt{5}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Ta có: $ {{5}^{2}}+{{12}^{2}}={{13}^{2}}$ $ \Rightarrow $ Độ dài 3 cạnh của tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông lần lượt có độ dài là $ 5$ và $ 12. $ Diện tích tam giác: $ S=\dfrac{1}{2}. 5. 12=30. $ Chọn đáp án B. Câu 47. Tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là $ 5,12,13$ . Tính đường cao ứng với cạnh lớn nhất. A. $ \dfrac{60}{13}. $ B. $ \dfrac{120}{13}. $ C. $ \dfrac{30}{13}. $ D. $ 12. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Ta có: $ {{5}^{2}}+{{12}^{2}}={{13}^{2}}$ $ \Rightarrow $ Độ dài 3 cạnh của tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông lần lượt có độ dài là $ 5$ và $ 12. $ Đường cao ứng với cạnh lớn nhất chính là đường cao ứng với cạnh huyền Ta có: $ \dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{{{5}^{2}}}+\dfrac{1}{{{12}^{2}}}=\dfrac{169}{3600}\Rightarrow h=\dfrac{60}{13}. $ Chọn đáp án A. Câu 48. Tam giác $ ABC$ có $ AB=12,AC=13,\widehat{A}={{30}^{0}}. $ Tính diện tích tam giác đó. A. $ 39. $ B. $ 78. $ C. $ 39\sqrt{3}. $ D. $ 78\sqrt{3}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Diện tích tam giác: $ {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB. AC. \sin \widehat{A}=\dfrac{1}{2}. 12. 13. \sin {{30}^{0}}=39. $ Chọn đáp án A. Câu 49. Tam giác $ ABC$ có tổng hai góc $ B$ và $ C$ bằng $ {{135}^{0}}$ và độ dài cạnh $ BC$ bằng $ a. $ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. A. $ \dfrac{a\sqrt{2}}{2}. $ B. $ a\sqrt{2}. $ C. $ \dfrac{a\sqrt{3}}{2}. $ D. $ a\sqrt{3}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Tổng ba góc trong tam giác bằng $ {{180}^{0}}\Rightarrow A+B+C={{180}^{0}}\Rightarrow A={{180}^{0}}-\left( B+C \right)={{180}^{0}}-{{135}^{0}}={{45}^{0}}. $ Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: $ \dfrac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow \dfrac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{a}{2\sin {{45}^{0}}}=\dfrac{a}{2. \dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}. $ Chọn đáp án A. Câu 50. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$ biết $ AB=c$ và $ \cos \left( A+B \right)=\dfrac{1}{3}$ A. $ \dfrac{c\sqrt{2}}{2}. $ B. $ \dfrac{3c\sqrt{2}}{8}. $ C. $ \dfrac{9c\sqrt{2}}{8}. $ D. $ \dfrac{3c}{2}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Tổng ba góc trong tam giác bằng $ {{180}^{0}}\Rightarrow A+B+C={{180}^{0}}\Rightarrow C={{180}^{0}}-\left( A+B \right)$ $ \Rightarrow \cos C=-\cos \left( A+B \right)=-\dfrac{1}{3}. $ Áp dụng công thức: $ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\sin }^{2}}C=1-{{\cos }^{2}}C=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}$ $ 0< C< {{180}^{0}}\Rightarrow \sin C> 0\Rightarrow \sin C=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}. $ Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: $ \dfrac{C}{\sin C}=2R\Rightarrow \dfrac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{c}{2. \dfrac{2\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{3c\sqrt{2}}{8}. $ Chọn đáp án B. Câu 51. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$ biết $ AB=10$ và $ \tan \left( A+B \right)=\dfrac{1}{3}$ A. $ \dfrac{5\sqrt{10}}{9}. $ B. $ \dfrac{10}{3}. $ C. $ \dfrac{\sqrt{10}}{5}. $ D. $ 5\sqrt{10}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Tổng ba góc trong tam giác bằng $ {{180}^{0}}\Rightarrow A+B+C={{180}^{0}}\Rightarrow C={{180}^{0}}-\left( A+B \right)$ $ \Rightarrow \tan C=-\tan \left( A+B \right)=-\dfrac{1}{3}. $ Áp dụng công thức: \[\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }={{\tan }^{2}}\alpha +1\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\tan }^{2}}\alpha +1}\Rightarrow {{\cos }^{2}}C=\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}+1}=\dfrac{9}{10}\] $ \Rightarrow {{\sin }^{2}}C=1-{{\cos }^{2}}C=1-\dfrac{9}{10}=\dfrac{1}{10}$ $ 0< C< {{180}^{0}}\Rightarrow \sin C> 0\Rightarrow \sin C=\dfrac{\sqrt{10}}{10}. $ Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: $ \dfrac{C}{\sin C}=2R\Rightarrow \dfrac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{10}{2. \dfrac{\sqrt{10}}{10}}=5\sqrt{10}. $ Chọn đáp án D. Câu 52. Tính bán kính dường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$ biết $ AB=12$ và $ \cot \left( A+B \right)=\dfrac{1}{3}$ A. $ 2\sqrt{10}. $ B. $ \dfrac{9\sqrt{10}}{5}. $ C. $ 5\sqrt{10}. $ D. $ 3\sqrt{2}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Tổng ba góc trong tam giác bằng $ {{180}^{0}}\Rightarrow A+B+C={{180}^{0}}\Rightarrow C={{180}^{0}}-\left( A+B \right)$ $ \Rightarrow \cot C=-\cot \left( A+B \right)=-\dfrac{1}{3}. $ Áp dụng công thức: \[\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }={{\cot }^{2}}\alpha +1\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cot }^{2}}\alpha +1}\Rightarrow {{\sin }^{2}}C=\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}+1}=\dfrac{9}{10}\] $ 0< C< {{180}^{0}}\Rightarrow \sin C> 0\Rightarrow \sin C=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}. $ Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: $ \dfrac{C}{\sin C}=2R\Rightarrow \dfrac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{12}{2. \dfrac{3\sqrt{10}}{10}}=2\sqrt{10}. $ Chọn đáp án A. Câu 53. Tam giác $ ABC$ có độ dài ba trung tuyến lần lượt là $ 9;\text{ }12;\text{ }15$ . Diện tích của tam giác $ ABC$ bằng: A. $ 24. $ B. $ 24\sqrt{2}. $ C. $ 72. $ D. $ 72\sqrt{2}. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} m_{a}^{2}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=81 \\ m_{b}^{2}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4}=144 \\ m_{c}^{2}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4}=225 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{a}^{2}}=292 \\ {{b}^{2}}=208 \\ {{c}^{2}}=100 \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2\sqrt{73} \\ b=4\sqrt{13} \\ c=10 \end{array} \right. $ Ta có: $ \cos A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\dfrac{208+100-292}{2. 4\sqrt{13}. 10}=\dfrac{1}{5\sqrt{13}}$ \[\sin A=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}A}=\sqrt{1-{{\left( \dfrac{1}{5\sqrt{13}} \right)}^{2}}}=\dfrac{18\sqrt{13}}{65}. \] Diện tích tam giác $ \Delta ABC: {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}. 4\sqrt{13}. 10. \dfrac{18\sqrt{13}}{65}=72$ Câu 54. Cho \[\Delta ABC\] có \[A\left( 1;-1 \right);B\left( 3;-3 \right);C\left( 6;0 \right)\]. Diện tích \[\Delta ABC\]là: A. $ 12. $ B. $ 6. $ C. \[6\sqrt{2}. \] D. $ 9. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: $ AB=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2};AC=\sqrt{25+1}=\sqrt{26};BC=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$ Ta có : $ A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=8+18=26=A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $ B. $ $ \Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}BA. BC=\dfrac{1}{2}. 2\sqrt{2}. 3\sqrt{2}=6. $ Chọn đáp án B. Câu 55. Giá trị nào sau đây là phương tích của điểm \[M\left( 1;2 \right)\]đối với đường tròn (C) tâm \[I\left( -2;1 \right)\], bán kính \[R=2\]: A. $ 6. $ B. $ 8. $ C. $ 0. $ D. $ -5. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Ta có: Phương tích của điểm $ M$ với đường tròn $ \left( C \right)$ $ {{\wp }_{M/\left( I \right)}}=I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}=9+1-4=6. $ Chọn đáp án A. Câu 56. Cho đường tròn (C) đường kính AB với \[A\left( -1;-2 \right);B\left( 2;1 \right)\]. Kết quả nào sau đây là phương tích của điểm \[M\left( 1;2 \right)\] đối với đường tròn (C). A. $ 3. $ B. $ 4. $ C. $ -5. $ D. $ 2. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Đường tròn $ \left( C \right)$ có đường kính $ AB\Rightarrow $ tâm $ I$ là trung điểm của $ AB\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$ Và bán kính $ R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{9+9}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ Phương tích của điểm $ M$ với đường tròn $ \left( C \right)$ $ {{\wp }_{M/\left( I \right)}}=I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{25}{4}-\dfrac{9}{2}=2. $ Chọn đáp án D. Câu 57. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc \[{{78}^{0}}24'\] . Biết \[CA=250m,CB=120m\]. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. $ 266m. $ B. $ 255m. $ C. $ 166m. $ D. $ 298m. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Dựa vào định lý cosin trong tam giác ta có: $ A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}-2BC. AC. \cos \widehat{BAC}=64835,32473$ $ \Rightarrow AB\approx 255. $ Chọn đáp án B. Câu 58. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 560 16 ' . Biết CA = 200m, CB = 180m. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. $ 163m. $ B. $ 224m. $ C. $ 112m. $ D. $ 180m. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Dựa vào định lý cosin trong tam giác ta có: $ A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}-2BC. AC. \cos \widehat{BAC}=32416,35917$ $ \Rightarrow AB\approx 180. $ Chọn đáp án D. Câu 59. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km/h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km? A. $ 13. $ B. \[15\sqrt{13}. \] C. \[20\sqrt{13}. \] D. $ 15. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Sau $ 2$ giờ, quãng đường đi được của hai tầu lần lượt là: $ 60km$ và $ 80km. $ Gọi vị trí hai tàu khi đó là $ B,C$ như hình vẽ. Khi đó, $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB. AC. \cos \widehat{BAC}={{60}^{2}}+{{80}^{2}}-2. 60. 80. \dfrac{1}{2}=5200$ $ \Rightarrow BC=20\sqrt{13}\Rightarrow $ Chọn đáp án C. Câu 60. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD = 40m, người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc (so với phương thẳng đứng) là 720 12' và 340 26' . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Khoảng cách AB gần giá trị nào dưới đây nhất? A. $ 71. $ B. $ 97. $ C. $ 79m. $ D. $ 40m. $ Hướng dẫn Hướng dẫn giải: Trong tam giác vuông $ CDA$ ta có: $ AD=CD. \tan \widehat{DCA}=40. \tan {{34}^{0}}26'\approx 27,4. $ Trong tam giác vuông $ CDB$ ta có: $ DB=CD. \tan \widehat{DCB}=40. \tan {{72}^{0}}12'\approx 124,6$ $ \Rightarrow AB=BD-AD=124,6-27,4=97,2. $ Chọn đáp án B. Xem thêm: Tổng hợp chuyên đề Hình học 10: Tích vô hương của véc tơ và ứng dụng