Toán tích phân ứng dụng trong vật lí, khái niệm hàm số, giới hạn hàm số
1/ Hàm số là gì?

Hiểu một cách đơn giản hàm số là một phương trình gồm dấu bằng và hai vế, một vế là ký hiệu hàm số còn một vế là diễn giải chi tiết hàm số đó dưới dạng các phép toán chứa biến số (số thay đổi) hoặc hằng số (số không đổi)

Trong thực tế tiền là một biến số, cuộc sống xung quanh bạn làm một hàm số được diễn giải dưới vô hạn các biến số, tiền có thể thay đổi các biến số khác khiến cho hàm số cuộc đời bạn đẹp hơn nếu bạn biết dùng nó một cách phù hợp, đúng đắn.

VD1: hàm chứa biến f(x) = x => hàm số trên là f(x) trong đó f viết tắt của từ function (hàm số), biến số ở đây là x, ta gọi là biến số (số thay đổi) vì với mỗi giá trị của x bạn sẽ có một giá trị của f(x); lấy x = 5 => f(x) = 5; lấy x = 10 => f(x) = 10 cứ mỗi giá trị của x như vậy bạn sẽ có giá trị của f(x) xét trong hệ trục tọa độ Oxy, coi f(x) = y => nối tất cả các điểm liên hệ giữa {x; f(x)} bạn sẽ vẽ được một cái đường gọi là đồ thị hàm số. Mỗi đồ thị của một hàm số có dạng giống nhau ta sẽ qui về một nhóm, và khi nhìn vào đồ thị của các hàm số này ta biết chắc hàm số đó có dạng toán học như thế nào (ví dụ nhìn vào đồ thị đường thẳng => dạng hàm số của nó là f(x) = ax + b; đồ thị parabol thì dạng hàm số của nó là f(x) = ax² + bx + c …)

VD2: hàm hằng số f(x) = 5 => không phải nói nhiều lúc nào nó cũng là 5 không thay đổi gì hết

VD3: hàm không xác định f(x) = 1/x với x = 0 phép toán trở nên vô nghĩa (vì sao vô nghĩa? vì toán học bảo thế )

Đối với hàm không xác định thì đồ thị của nó sẽ không vẽ được tại điểm không xác định => đồ thị của đó là đường không liền (không liên tục) => hàm số không liên tục

bla bla các kiến thức toán cứ thế phát triển phát triển cho đến khi bạn không biết thế nào là hàm số nữa thì thôi. Và nếu rơi vào trạng thái đó vui lòng nhớ lại kiến thức đơn giản nhất:
Hàm số là một biểu thức toán học gồm dấu bằng và 2 vế, 1 vế là hàm số, 1 vế chứa biến hoặc hằng

2/ Ứng dụng của hàm số trong cuộc sống:
Như phân tích ở trên với mỗi giá trị của biến số x, bạn biết được qui luật của hàm số f(x) = x bạn sẽ tính được giá trị cụ thể của hàm.

Ví dụ: mối liên hệ giữa vận tốc và quãng đường trong vật lí phổ thông tuân theo qui luật hàm số sau: s(t) = v × t . Với v là vận tốc chuyển động, giả sử bạn luôn đi với vận tốc không đổi là 40km/h trên cái đoạn đường dài 80km => thời gian bạn đi (t) sẽ là 2h tới đích đồng nghĩa với việc bạn xuất phát lúc 8h thì chắc chắn 10h đến nơi hoặc ngược lại bạn muốn 12h đến nơi thì bạn phải xuất phát lúc 10h … có rất nhiều lựa chọn cho bạn khi bạn nắm rõ quy luật vận động của một hiện tượng nào đó trong cuộc sống.

Tuy nhiên đó là bài toán lý thuyết, các biến số trong thực tế còn phụ thuộc vào số lượng người tham gia giao thông, tình trạng đường đi, thời tiết khi bắt đầu đi … tất cả các biến số đó đều ảnh hưởng đến hàm số tính quãng đường đi => hàm số của cuộc sống phức tạp hơn toán học rất rất nhiều, toán học chi cho bạn tư duy, còn phương pháp giải như thế nào lại phụ thuộc vào bạn.

3/ Giới hạn của hàm số:
Xuất phát từ bài toán nghịch lý trong cuộc rượt đuổi giữa … (tác giả không nhớ tên cái ông người hylạp nữa tạm gọi là flash viết tắt là F - đây là siêu anh hùng chạy nhanh nhất vũ trụ Marvel dễ nhớ hơn) và một con rùa (viết tắt là R).

Nghịch lý của nghìn năm trước (tính từ lúc xuất hiện nghịch lý đến lúc nghịch lý được giải quyết): flash chạy đuổi theo một con rùa, hay nói cách khác con rùa chạy trước flash một khoảng s

Do con rùa chạy trước F một đoạn s nên khi F chạy thêm một đoạn x₂ thì rùa cũng đi thêm một đoạn x₁ và ta luôn có s + x₁ > x₂, cứ tiếp diễn như vậy s + x₁ + x'₁ > x₂ + x'₂ => điều này sẽ dẫn tới là cả đời F cũng không đuổi được R. Thực tế không cần đến 1s F đã vượt qua con rùa. Vấn đề là bạn hãy chứng minh điều trên là sai đi. Nghịch lý trên tồn tại cả ngàn năm không một nhà toán học nào có thể chứng minh được, biết rằng nó vô lý đó, nhưng lại không chứng minh được thế mới đau.

Một ngàn năm sau kể từ khi nghịch lý được lịch sử ghi lại, bực mình với nghịch lý trên một nhà toán học đã xây dựng ra khái niệm giới hạn hàm số để chứng minh điều nghịch lý trên khiến cho học sinh chuyên văn, chuyên sinh , chuyên chuyên … không phải chuyên toán khóc trong uất hận

Giới hạn (limited) của một hàm số f(x) khi x tiến đến một giá trị x_o nào đó thì sẽ bằng một giá trị giới hạn nào đó, trong phạm vi xét nào đó ký hiệu: đơn giản $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$

Tất nhiên là còn nhiều vấn đề xoay quanh giới hạn này như hàm số không xác định, x → ∞; x ∞ +∞; x→ –∞ thì tính giới hạn thế nào, hàm số của tổng, của tích bla bla đó là việc của chuyên toán.

Tác giả sẽ dùng khái niệm giới hạn để chứng minh F sẽ vượt qua R theo quan điểm của vật lí
xét biến số thời gian t và hàm quãng đường được s₁(t) là hàm quãng đường của F và s₂(t) là hàm quãng đường R. Mỗi giá trị của t sẽ tương ứng với các giá trị của s₁(t); s₂(t) ta có
$\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \dfrac{{{s_1}(t) - {s_1}\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = {F_1}$
$\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \dfrac{{{s_2}(t) - {s_2}\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = {R_1}$
bằng các phép đo trong thực tế ta luôn thu được F₁ > R₁ => trong cùng một khoảng thời gian (t-t_o) quãng đường mà F đi được luôn lớn hơn quãng đường mà R đi => chắc chắn F sẽ vượt qua R => nghịch lý đã được chứng minh ha ha .

Hết bài, hẹn bạn đọc ở bài tiếp theo
nguồn: vật lí phổ thông, vật lí khám phá