1. Phương pháp đổi biến tích phân
– Vi phân:
\(\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u’\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u’\left( t \right)dt = v’\left( x \right)dx\end{array}\)
– Công thức đổi biến: \(\int\limits_a^b {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u’\left( x \right)dx} = \int\limits_{t\left( a \right)}^{t\left( b \right)} {f\left( t \right)dt} \) xem thêm: phương pháp đổi biến nguyên hàm – Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a’\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b’\end{array} \right.\) . – Bước 2: Tính vi phân \(dt = u’\left( x \right)dx\). – Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\). – Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a’}^{b’} {g\left( t \right)dt} \). Ví dụ: Tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} \). Giải: Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \) \( \Rightarrow 2tdt = 2xdx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\) Do đó: \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \int\limits_1^2 {t.2tdt} = \left. {\dfrac{2}{3}{t^3}} \right|_1^2 = \dfrac{2}{3}\left( {{2^3} – {1^3}} \right) = \dfrac{{14}}{3}\). – Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = a’\\x = b \Rightarrow t = b’\end{array} \right.\). – Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u’\left( t \right)dt\). – Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u’\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\). – Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a’}^{b’} {g\left( t \right)dt} \) Ví dụ: Cho $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 – {x^2}} {\rm{d}}x} $, nếu đặt $x = \sin t$ thì: A. $I = 2\int\limits_0^1 {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} $ B. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 – \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $ C. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $ D. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\cos 2t – 1}}{2}{\rm{d}}t} $ Giải: Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 – {x^2} = 1 – {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$ Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\) Suy ra $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 – {x^2}} {\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\sqrt {{{\cos }^2}t} \cos t{\rm{d}}t} $ $= \int\limits_0^1 {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $ Chọn C. Chú ý: Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = u\left( x \right)\).
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\).
