Bài tập vật lí 12 năng lượng dao động

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Ở vị trí li độ cực đại (biên dương) thì vận tốc của vật bằng không, suy ra động năng bằng không, khi đó năng lượng dao động bằng thế năng của con lắc.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Cơ năng của vật dao động điều hòa bằng động năng của vật tại vị trí cân bằng.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Động năng biến đổi với chu kì bằng một nửa chu kì của vận tốc.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Khi vật ở vị trí cân bằng thì động năng cực đại, thế năng cực tiểu, còn khi vật ở vị trí biên thì thế năng cực đại, động năng cực tiểu. Khi vật đi từ biên về vị trí cân bằng thì thế năng giảm, động năng tăng, còn khi vật từ vị trí cân bằng ra biên thì động năng giảm, thế năng tăng.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Ta có: \[{{\text{W}}_{t}}=mg\ell \left( 1-\cos \alpha \right)=\dfrac{mg\ell {{\alpha }^{2}}}{2}\], với $$ \alpha $$ là góc lệch nhỏ.
Từ công thức ta thấy thế năng phụ thuộc vào góc lệch và tại vị trí cân bằng thì $$ \alpha =0 $$ , khi đó thế năng bằng không.
Ở vị trí biên thì vận tốc của vật bằng không, suy ra động năng bằng không, khi đó năng lượng dao động bằng thế năng của con lắc.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Thời điểm ban đầu, vật có thể ở bất kì vị trí nào đó nên cơ năng chưa chắc bằng động năng ở thời điểm ban đầu.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Cơ năng của vật dao động này là: \[\text{W}=\dfrac{1}{2}k{{\text{A}}^{2}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\]

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Ta có: \[\text{W}=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}=\dfrac{0,{{15. 2}^{2}}. 0,{{03}^{2}}}{2}=2,{{7. 10}^{-4}}\,\,J=0,27\,\,mJ\]

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Tần số dao động của con lắc là: f = 4f₁ Tần số dao động của động năng: f’ = 2f = 8f₁

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Năng lượng của con lắc đơn dao động điều hòa là
\[\text{W}=mg\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)=0,09. 9,8. 1\left( 1-\cos {{6}^{0}} \right)=4,{{8. 10}^{-3}}\,\,J\].

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Khi $$ x=\dfrac{1}{2}A\Rightarrow {{\text{W}}_{t}}=\dfrac{1}{4}\text{W}\Rightarrow {{W}_{d}}=\dfrac{3}{4}\text{W}\Rightarrow {{\text{W}}_{d}}=3{{\text{W}}_{t}} $$ hay động năng gấp ba lần thế năng.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Thế năng trọng trưòng chính là thế năng của vật dao động điều hòa
\[{{\text{W}}_{t}}=\dfrac{mg\ell {{\alpha }^{2}}}{2}=\dfrac{4. 1,2. 0,05}{2}={{6. 10}^{-3}}\,\,J\].

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Ta có: \[\text{W}=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}=\dfrac{m. 4{{\pi }^{2}}{{A}^{2}}}{2{{T}^{2}}}=\dfrac{m4{{\pi }^{2}}{{f}^{2}}{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow \text{W}\sim {{\left( f\text{A} \right)}^{2}}\]
Khi tần số dao động f và biên độ A tăng gấp đôi (khối lượng vật nặng không đổi) thì cơ năng tăng lên 16 lần.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Khi vật có li độ x thì động năng của nó là \[{{\text{W}}_{d}}=\text{W}-{{\text{W}}_{t}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right). \]

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Lực kéo về tác dụng vào vật biến thiên điều hòa với tần số bằng tần số dao động của con lắc nên $$ {{f}_{F}}=\dfrac{f}{2} $$

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

\[\text{W}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{2W}{m{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{2. 0,002}{0,25. {{\left( \dfrac{2\pi }{2} \right)}^{2}}}}=0,04\,m=4\,cm\]
Chiều dài quỹ đạo là: L = 2A = 8 cm.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Ta có: \[\text{W=}\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}=\dfrac{30. 0,{{05}^{2}}}{2}=0,{{0375. 10}^{-3}}\,\,J=37,5\,mJ\]
Mà \[{{\text{W}}_{t}}=\dfrac{\text{W}}{2}\cos \left( 6\pi t+\dfrac{2\pi }{3} \right)+\dfrac{\text{W}}{2}\Rightarrow {{\text{W}}_{t}}=18,75\cos \left( 6\pi t+\dfrac{2\pi }{3} \right)+18,75\,\,mJ\] .

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Khi W_đ = 3W_t ta có W = 4W_t $$ \Rightarrow x=\pm \dfrac{A}{2} $$
Khi W_t = 3W_d ta có W = $$ \dfrac{4}{3} $$ W_t $$ \Rightarrow x=\pm \dfrac{A\sqrt{3}}{2} $$
Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có $$ x=\pm \dfrac{A}{2} $$ đến vị trí có $$ x=\pm \dfrac{A\sqrt{3}}{2} $$ là $$ \dfrac{T}{12}=\dfrac{3}{12}=0,25\,s. $$

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Ta có: $$ T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\dfrac{0,1}{100}}=0,2\,s. $$
Khi W_đ = 3W_t ta có W = 4W_t $$ \Rightarrow x=\pm \dfrac{A}{2} $$
Thời gian ngắn nhất giữa hai lần động năng gấp ba lần thế năng là thời gian ngắn nhất vật đi từ $$ x=\dfrac{A}{2} $$ theo chiều dương đến $$ x=\dfrac{A}{2} $$ theo chiều âm và bằng $$ 2\cdot \dfrac{T}{12}=\dfrac{T}{6}=\dfrac{0,2}{6}=\dfrac{1}{30}\,s. $$

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Ta có: $$ T=\dfrac{1}{f}=0,5\,\,s\Rightarrow t=0,125\,s=\dfrac{T}{4} $$
⇒ Sau 0,125 s thì vật đến vị trí biên nên động năng của vật bằng 0.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

$$ {{W}_{\text{d}}}=\text{W}-{{\text{W}}_{t}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{2}0,1. {{\left( \dfrac{2\pi }{1} \right)}^{2}}\left( 0,{{1}^{2}}-0,{{08}^{2}} \right)=7,{{2. 10}^{-3\,}}J=7,2\,mJ. $$

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Khi W_đ = 3W_t ta có W = 4W_t $$ \Rightarrow x=\pm \dfrac{A}{2} $$
Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí biên $$ \left( x=\pm A \right) $$ đến vị trí có $$ x=\pm \dfrac{A}{2} $$ là $$ \dfrac{T}{6}=\dfrac{3}{6}=0,5\,s. $$

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Động năng của chất điểm W_đ = W khi vật ở vị trí cân bằng (x = 0)
\[{{\text{W}}_{d}}=\dfrac{\text{W}}{4}\Rightarrow {{\text{W}}_{t}}=\dfrac{\text{3W}}{4}\Rightarrow x=\pm \dfrac{A\sqrt{3}}{2}\]
Thời gian ngắn nhất vật đi từ x = 0 đến \[x=\pm \dfrac{A\sqrt{3}}{2}\] là $$ \dfrac{T}{6} $$

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Ta có: $$ {{\text{W}}_{t}}=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}}{2};\,\text{W}=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2} $$
$$ \Rightarrow \dfrac{{{\text{W}}_{t}}}{\text{W}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}=\dfrac{4}{25}\Rightarrow \dfrac{{{\text{W}}_{d}}}{\text{W}}=1-\dfrac{{{\text{W}}_{t}}}{\text{W}}=\dfrac{21}{25} $$
$$ \Rightarrow \dfrac{{{\text{W}}_{d}}}{{{\text{W}}_{t}}}=\dfrac{21}{4}=5,25 $$ .

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Ta có: $$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=10\pi \,\,rad/s $$
$$ \Rightarrow {{\text{W}}_{t}}=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{0,1. {{\left( 10\pi
\right)}^{2}}. {{\left( 0,03\sqrt{2} \right)}^{2}}}{2}=0,09\,\,J $$
$$ \Rightarrow \dfrac{{{\text{W}}_{d}}}{{{\text{W}}_{t}}}=\dfrac{{{\text{W}}_{d}}}{0,09}=1\Rightarrow {{\text{W}}_{d}}=0,09\,\,J $$
$$ \Rightarrow \text{W}={{\text{W}}_{d}}+{{\text{W}}_{t}}=0,09+0,09=0,18\,\,J $$

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Ban đầu vật đang ở vị trí biên, sau $$ \Delta t=0,5\,\text{s}\,\text{=}\dfrac{T}{6} $$ vật đến li độ $$ x=\pm \dfrac{A}{2}, $$ khi đó động năng của chất điểm là:
\[{{\text{W}}_{d}}=\dfrac{1}{2}. m{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{2}. 0,2. {{\left( \dfrac{2\pi }{3} \right)}^{2}}. \left( 0,{{1}^{2}}-0,{{05}^{2}} \right)={{3,3. 10}^{-3}}\,J=3,3 \,mJ. \]

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Đọc đồ thị của W_t – 160 mJ, ta được:
▪ $$ \dfrac{{{T}_{{{W}_{t}}}}}{6}+{T}_{{{\text{W}}_{t}}}=0,35s\to {{T}_{{{\text{W}}_{t}}}}=0,3s\to \omega =\dfrac{20\pi }{3}. $$
▪ Tại t = 0: $$ \varphi =\dfrac{2\pi }{3}. $$
Do đó: \[{{\text{W}}_{t}}-160=160\cos \left( \dfrac{20\pi }{3}t+\dfrac{2\pi }{3} \right)\]hay\[{{\text{W}}_{t}}=160+160\cos \left( \dfrac{20\pi }{3}t+\dfrac{2\pi }{3} \right)\]mJ.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Từ đồ thị:
▪ $$ \dfrac{{{T}_{{{W}_{\text{}}}}}}{3}=\dfrac{1}{6}\to {{T}_{{{W}_{\text{}}}}}=0,5 $$ s → $$ T=2{{T}_{{{W}_{\text{}}}}}=1 $$ s ↔ ω = 2π rad/s.
▪ \[{{\text{W}}_{t\max }}=W=0,02J=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\]→ A = 5 cm.
▪ Tại t = 0: W_đ = 3W_t

→ $$ \left| x \right|=\dfrac{A}{2}\xrightarrow{v\ddot{E}t\text{ i theo chi }\!\!\grave{\mathrm{O}}\!\!\text{ u d }\!\!\neg\!\!\text{ ng}}\left| x \right|=\dfrac{A}{2}\oplus
$$
Lại thấy sau t = 0, W_đ giảm → $$ x=\dfrac{A}{2}\oplus $$ $$ \to \varphi =-\dfrac{\pi }{3}. $$
Vậy: $$ x=5\cos \left( 2\pi t-\dfrac{\pi }{3} \right) $$ cm.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Hai dao động cùng pha → $$ \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=2\to $$
\[\dfrac{{{\text{W}}_{1}}}{{{\text{W}}_{2}}}=\dfrac{{{\text{W}}_{t1}}}{{{\text{W}}_{t2}}}=4. \]
▪ Khi W_t2 = 0,05 J → W_t1 = 0,2 J → cơ năng con lắc (1): W₁ = W_đ1 + W_t1 = 0,8 J.
→ cơ năng con (2): \[{{\text{W}}_{2}}=\dfrac{{{\text{W}}_{1}}}{4}=0,2\]J,
▪ Khi W_t1 = 0,4 J → W_t2 = 0,1 J → động năng con lắc (2): W_đ2 = 0,2 – 0,1 = 0,1 J.

Hướng dẫn giải Bài tập vật lí 12 Năng lượng dao động

Hai dao động cùng pha → $$ \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=3\to $$
\[\dfrac{{{\text{W}}_{1}}}{{{\text{W}}_{2}}}=\dfrac{{{\text{W}}_{t1}}}{{{\text{W}}_{t2}}}=9. \]
▪ Khi W_t2 = 0,24 J → W_t1 = 2,16 J → cơ năng con lắc (1): W₁ = W_đ1 + W_t1 = 2,88 J.
→ cơ năng con (2): \[{{\text{W}}_{2}}=\dfrac{{{\text{W}}_{1}}}{9}=0,32\]J
▪ Khi W_t1 = 0,09 J → W_t2 = 0,01 J → động năng con lắc (2): W_đ2 = 0,32 – 0,01 = 0,31 J.