Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

– Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(H\), trong đó \(H\) là hình chiếu của điểm \(M\) trên đường thẳng \(\Delta \).

Kí hiệu: \(d\left( {M,\Delta } \right) = MH\) trong đó \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(\Delta \).

2. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp:

Để tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta $ ta cần xác định được hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên đường thẳng $\Delta $, rồi xem $MH$ là đường cao của một tam giác nào đó để tính.

Điểm $H$ thường được dựng theo hai cách sau:

Cách 1: Trong $mp\left( {M,\Delta } \right)$ vẽ $MH \bot \Delta  \Rightarrow d\left( {M,\Delta } \right) = MH$

Cách 2: Dựng mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ qua $M$ và vuông góc với $\Delta $ tại $H$.

Khi đó $d\left( {M,\Delta } \right) = MH$.

Hai công thức sau thường được dùng để tính $MH$

CT1: $\Delta MAB$ vuông tại $M$ và có đường cao $MH$ thì $\dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{M{A^2}}} + \dfrac{1}{{M{B^2}}}$.

CT2: $MH$ là đường cao của $\Delta MAB$ thì $MH = \dfrac{{2{S_{MAB}}}}{{AB}}$.

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ với $SA$ vuông góc với $\left( {ABC} \right)$ và $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}3a.$ Diện tích tam giác $ABC$ bằng \(2{a^2},BC = a\). Khoảng cách từ $S$ đến $BC$ bằng bao nhiêu?

A. \(2a.\)

B. $4a.$

C. $3a.$

D. $5a.$

Hướng dẫn giải:

Kẻ $AH$ vuông góc với $BC:$ \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AH = \dfrac{{2.{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \dfrac{{4{a^2}}}{a} = 4a\)

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)

Lại có \(AH \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\)

Do đó khoảng cách từ $S$ đến $BC$ chính là $SH.$

Dựa vào tam giác vuông \(\Delta SAH\) ta có \(SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{{(3a)}^2} + {{(4a)}^2}}  = 5a\)