Vũ trụ tồn tại một số quy luật vận hành để đảm bảo sự cân bằng, một trong số đó là nguyên lý về năng lượng cực tiểu (nguyên lý về sự đơn giản).
Nguyên lý năng lượng cực tiểu
Đây là một nguyên lý mà tất cả các hiện tượng vật lí diễn ra trong tự nhiên đều tuân theo và có rất nhiều ứng dụng trong vật lí cổ điển (vật lí tuân theo các định luật Newton) cũng như vật lí lượng tử.
Mọi hiện tượng vật lí được phát hiện phát biểu thành định luật, xây dựng thành các thuyết … hay chưa được phát hiện đều đã tồn tại sẵn trong tự nhiên, vấn đề của con người là bằng kiến thức về toán học và vật lí học có thể biểu diễn, phát biểu, xây dựng một định luật, định lý, thuyết … để con người có thể hiểu hơn về tự nhiên.
Từ hiện tượng vật lí truyền theo đường thẳng của ánh sáng liệu ta có thể kết luận được trong tự nhiên mọi vật chuyển động sẽ chọn đường thẳng sẽ là đường ngắn nhất để thỏa mãn nguyên lý năng lượng cực tiểu?
Vào tháng 6 năm 1696, John Bernouilli gửi một lời thách thức đến cho toàn giới Toán học thời bấy giờ (chủ yếu là gửi đến ông anh trai James Bernouilli ) bằng bài toán được phát biểu một cách dễ hiểu như sau:
“Nếu có một quả bóng lăn xuống từ một điểm trên cao đến một điểm thấp hơn thì hình dạng đường đi phải như thế nào để thời gian di chuyển là ngắn nhất?”
Bài toán trên có tên là Brachistochrone xuất phát từ tiếng Hy Lạp: Brachistos có nghĩa là “ngắn nhất” và chronos có nghĩa là “thời gian”, tiếng Việt có sách gọi là “đoản thời”. Mặc dù đây là một bài toán mong muốn chứng minh bằng toán học nhưng thực sự nó là một hiện tượng vật lí nên ta có thể trực tiếp quan sát qua thí nghiệm sau:
Hai viên bi được thả ở cùng một độ cao, ta quan sát thấy viên bi lăn trên mặt cong nhanh hơn lăn trên mặt phẳng
Bằng các phép toán vi phân và sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu của vật lí (nguyên lý về sự đơn giản đối với toán học) bài toán đã được chứng minh quả bóng lăn từ trên cao xuống muốn điểm thấp hơn nó sẽ chọn hình dạng đường đi là đường cong Cycloid ứng với đường cong đó thời gian chuyển động là ngắn nhất hay nói các khác năng lượng tiêu hao cho chuyển động đó là nhỏ nhất thỏa mãn nguyên lý năng lượng cực tiểu.
Đường cong Cycloid (Lấy một điểm trên một đường tròn rồi lăn nó đi. Quỹ đạo của điểm đó chính là hình ảnh của đường cong Cycloid) như hình minh họa ở trên
Mô phỏng chuyển động của quả bóng từ cao về thấp cho thấy đường thẳng là quãng đường tốn thời gian nhất.
Lưu ý: bài toán Brachistochrone là một minh chứng cho tính đúng đắn của nguyên lý năng lượng cực tiểu của vật lí nói lên mối liên hệ không thể tách rời của toán học và vật lí, nó chỉ ra rằng quả bóng sẽ chọn đường cong cycloid để tiết kiệm thời gian và năng lượng nhất trong chuyển động của nó, còn trong các chuyển động khác thì lại hoàn toàn khác.
Giống như ánh sáng sẽ luôn chọn đường thẳng vì đó là quãng đường đi ít tốn thời gian và năng lượng nhất. Vì vậy bài toán Brachistochrone không phải để chứng minh đường cong cycloid ngắn hơn đường thẳng