Bài tập ứng dụng tích phân, toán 12

Bài tập ứng dụng tích phân, toán 12

Dạng 1: Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),{\rm{ }}y = g(x),{\rm{ }}x = a,{\rm{ }}x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} \).
Phương pháp giải toán
+) Giải phương trình f(x) = g(x) (1)
+) Nếu (1) vô nghiệm thì \(S = \left| {\int\limits_a^b {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx} } \right|\).
+) Nếu (1) có nghiệm thuộc .\(\left[ {a;b} \right]\). giả sử \(\alpha \) thì
\(S = \left| {\int\limits_a^\alpha {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_\alpha ^b {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx} } \right|\)
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số \(f(x) – g(x)\) trên đoạn \(\left[ {a;{\rm{ b}}} \right]\) rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân.
Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),{\rm{ }}y = g(x)\) là \(S = \int\limits_\alpha ^\beta {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} \). Trong đó \(\alpha ,{\rm{ }}\beta \) là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) = g(x) \(\left( {a \le \alpha < \beta \le b} \right)\).
Phương pháp giải toán

• Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) tìm các giá trị \(\alpha ,\beta \).
• Bước 2. Tính \(S = \int\limits_\alpha ^\beta {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} \)như trường hợp 1.

[/spoiler]
Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3} + 11x – 6,{\rm{ }}y = 6{x^2}\), \(x = 0,{\rm{ }}x = 2\). (Đơn vị diện tích)
A. $\dfrac{4}{3}$
B. $\dfrac{5}{2}$
C. $\dfrac{8}{3}$
D. $\dfrac{{18}}{{23}}$

Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^3},{\rm{ }}y = 4x\) là:
A. 8
B. 9
C. 12
D. 13

Hướng dẫn

Ta có \({x^3} = 4x \Leftrightarrow x = – 2 \vee x = 0 \vee x = 2\)
\( \Rightarrow S = \left| {\int\limits_{ – 2}^0 {\left( {{x^3} – 4x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^3} – 4x} \right)dx} } \right|\)\( = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} – 2{x^2}} \right)} \right|_{ – 2}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} – 2{x^2}} \right)} \right|_0^2} \right| = 8\).
Vậy \(S = 8\) (đvdt).
Chú ý:Nếu trong đoạn \(\left[ {\alpha ;{\rm{ }}\beta } \right]\) phương trình \(f(x) = g(x)\) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công thức \(\int\limits_\alpha ^\beta {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} = \left| {\int\limits_\alpha ^\beta {\left[ {f(x) – g(x)} \right]dx} } \right|\).

[collapse]

Câu 3. Cho đồ thị hàm số \(y = f(x)\). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là

A. $S = \int\limits_{ – 2}^0 {f(x)dx + } \int\limits_0^1 {f(x)dx} $
B. $S = \int\limits_{ – 2}^1 {f(x)dx} $
C. $S = \int\limits_0^{ – 2} {f(x)dx + } \int\limits_0^1 {f(x)dx} $
D. $S = \int\limits_{ – 2}^0 {f(x)dx – } \int\limits_0^1 {f(x)dx} $

Hướng dẫn

Theo định nghĩa ta có $S = \int\limits_{ – 2}^0 {f(x)dx – } \int\limits_0^1 {f(x)dx} $

[collapse]

Câu 4. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là
A. 19
B. 18
C. 20
D. 21

Hướng dẫn

Ta có \({x^3} \ge 0\)trên đoạn ${\rm{[}}1;3]$ nên $S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^3}} \right|dx = } \int\limits_1^3 {{x^3}dx} = \left. {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right|_1^3 = 20$

[collapse]

Câu 5. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 4 là
A. 4
B. \(\dfrac{{14}}{5}\)
C. \(\dfrac{{13}}{3}\)
D. \(\dfrac{{14}}{3}\)

Hướng dẫn

Ta có \(\sqrt x \ge 0\)trên đoạn ${\rm{[1}};4]$ nên $S = \int\limits_1^4 {\left| {\sqrt x } \right|dx = } \int\limits_1^4 {\sqrt x dx} = \dfrac{2}{3}\left. {{x^{\dfrac{3}{2}}}} \right|_1^4 = \dfrac{{14}}{3}$

[collapse]

Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, \(x = 8\) là
A. \(\dfrac{{45}}{2}\)
B. \(\dfrac{{45}}{4}\)
C. \(\dfrac{{45}}{7}\)
D. \(\dfrac{{45}}{8}\)

Hướng dẫn

Ta có \(\sqrt[3]{x} \ge 0\)trên đoạn ${\rm{[1;8}}]$ nên $S = \int\limits_1^8 {\left| {\sqrt[3]{x}} \right|dx = } \int\limits_1^8 {\sqrt[3]{x}dx} = \dfrac{3}{4}\left. {{x^{\dfrac{4}{3}}}} \right|_1^8 = \dfrac{{45}}{4}$

[collapse]

Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x = \pi \), \(x = \dfrac{{3\pi }}{2}\) là
A. 1
B. \(\dfrac{1}{2}\)
C. 2
D. \(\dfrac{3}{2}\)

Hướng dẫn

Ta có \(\sin x \le 0\) trên đoạn $\left[ {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]$ nên $S = \int\limits_\pi ^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {\left| {\sin x} \right|dx = } – \int\limits_\pi ^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {\sin xdx = } \left. {\cos x} \right|_\pi ^{\dfrac{{3\pi }}{2}} = 1$

[collapse]

Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \tan x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x = \dfrac{\pi }{6}\), \(x = \dfrac{\pi }{4}\) là
A. \(\ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)
B. \(\ln \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)
C. \( – \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)
D. \( – \ln \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Hướng dẫn

Ta có \(\tan x \ge 0\) trên đoạn $\left[ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{4}} \right]$ nên $S = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\left| {\tan x} \right|dx = } \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\tan xdx = } \left. { – \ln (\cos x)} \right|_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} = – \ln \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}$

[collapse]

Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {e^{2x}}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là
A. \(\dfrac{{{e^6}}}{2} + \dfrac{1}{2}\)
B. \(\dfrac{{{e^6}}}{2} – \dfrac{1}{2}\)
C. \(\dfrac{{{e^6}}}{3} + \dfrac{1}{3}\)
D. \(\dfrac{{{e^6}}}{3} – \dfrac{1}{3}\)

Hướng dẫn

Ta có \({e^{2x}} \ge 0\) trên đoạn ${\rm{[}}0;3]$ nên $S = \int\limits_0^3 {\left| {{e^{2x}}} \right|dx = } \int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx = } \left. {\dfrac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^3 = \dfrac{{{e^6}}}{2} – \dfrac{1}{2}$

[collapse]

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VẬN DỤNG THẤP

Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2}\) , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 4 là
A. \(\dfrac{{53}}{4}\)
B. \(\dfrac{{51}}{4}\)
C. \(\dfrac{{49}}{4}\)
D. \(\dfrac{{25}}{2}\)

Hướng dẫn

Ta có \({x^3} – 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in {\rm{[}}1;4]\)
Khi đó diện tích hình phẳng là
$S = \int\limits_1^4 {\left| {{x^3} – 3{x^2}} \right|} dx = \left| {\int\limits_1^3 {({x^3} – 3{x^2}} )dx} \right| + \left| {\int\limits_3^4 {({x^3} – 3{x^2}} )dx} \right| = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} – {x^3}} \right)} \right|_1^3} \right| + \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} – {x^3}} \right)} \right|_3^4} \right| = 6 + \dfrac{{27}}{4} = \dfrac{{51}}{4}$

[collapse]

Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} – 3{x^2} – 4\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là
A. \(\dfrac{{142}}{5}\)
B. $\dfrac{{143}}{5}$
C. $\dfrac{{144}}{5}$
D. \(\dfrac{{141}}{5}\)

Hướng dẫn

Ta có \({x^4} – 3{x^2} – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in {\rm{[0}};3]\)
Khi đó diện tích hình phẳng là
$\begin{array}{l}S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^4} – 3{x^2} – 4} \right|} dx = \left| {\int\limits_0^2 {({x^4} – 3{x^2} – 4} )dx} \right| + \left| {\int\limits_2^3 {({x^4} – 3{x^2} – 4} )dx} \right|\\ = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} – {x^3} – 4x} \right)} \right|_0^2} \right| + \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} – {x^3} – 4x} \right)} \right|_2^3} \right| = \dfrac{{48}}{5} + \dfrac{{96}}{5} = \dfrac{{144}}{5}\end{array}$

[collapse]

Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}\) , trục hoành và đường thẳng x = 2là
A. \(3 + 2\ln 2\)
B. $3 – \ln 2$
C. $3 – 2\ln 2$
D. \(3 + \ln 2\)

Hướng dẫn

Ta có \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = – 1\) nên $S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} dx = \left| {\int\limits_{ – 1}^2 {\left( {1 – \dfrac{1}{{x + 2}}} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {x – \ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_{ – 1}^2} \right| = 3 – 2\ln 2$

[collapse]

Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y = 2 – {x^2}\) và đường thẳng \(y = – x\) là
A. $\dfrac{7}{2}$
B. $\dfrac{9}{4}$
C. 3
D. $\dfrac{9}{2}$

Hướng dẫn

Ta có \(2 – {x^2} = – x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\end{array} \right.\) và \(2 – {x^2} \ge – x,\forall x \in {\rm{[}} – 1;2]\)
Nên $S = \int\limits_{ – 1}^2 {(2 + x – {x^2})dx = \left. {\left( {2x + \dfrac{{{x^2}}}{2} – \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ – 1}^2 = \dfrac{9}{2}} $

[collapse]

Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \cos 2x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = \dfrac{\pi }{2}\) là
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4

Hướng dẫn

Ta có \(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} \in \left[ {{\rm{0;}}\dfrac{\pi }{2}} \right]\)
Nên \(S = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left| {\cos 2x} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} } \right| + \left| {\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos 2xdx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}}} \right| + \left| {\left. {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right| = 1\)

[collapse]

Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} – 3{x^2} – 4\) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là
A. \(\dfrac{{71}}{5}\)
B. $\dfrac{{73}}{5}$
C. $\dfrac{{72}}{5}$
D. \(14\)

Hướng dẫn

Ta có \({x^4} – 3{x^2} – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in {\rm{[0}};3]\)
Khi đó diện tích hình phẳng là
$\begin{array}{l}S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^4} – 3{x^2} – 4} \right|} dx = \left| {\int\limits_0^2 {({x^4} – 3{x^2} – 4} )dx} \right| + \left| {\int\limits_2^3 {({x^4} – 3{x^2} – 4} )dx} \right|\\ = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} – {x^3} – 4x} \right)} \right|_0^2} \right| + \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} – {x^3} – 4x} \right)} \right|_2^3} \right| = \dfrac{{48}}{5} + \dfrac{{96}}{5} = \dfrac{{144}}{5}\end{array}$

[collapse]

Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}\), trục hoành và đường thẳng x = 2 là
A. \(3 + 2\ln 2\)
B. $3 – \ln 2$
C. $3 – 2\ln 2$
D. \(3 + \ln 2\)

Hướng dẫn

Ta có \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = – 1\) nên
$S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} dx = \left| {\int\limits_{ – 1}^2 {\left( {1 – \dfrac{1}{{x + 2}}} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {x – \ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_{ – 1}^2} \right| = 3 – 2\ln 2$

[collapse]

Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y = 2 – {x^2}\) và đường thẳng \(y = – x\) là
A. $\dfrac{9}{2}$
B. $\dfrac{9}{4}$
C. 3
D. $\dfrac{7}{2}$

Hướng dẫn

Ta có \(2 – {x^2} = – x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\end{array} \right.\) và \(2 – {x^2} \ge – x,\forall x \in {\rm{[}} – 1;2]\)
Nên $S = \int\limits_{ – 1}^2 {(2 + x – {x^2})dx = \left. {\left( {2x + \dfrac{{{x^2}}}{2} – \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ – 1}^2 = \dfrac{9}{2}} $

[collapse]

Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \cos 2x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = \dfrac{\pi }{2}\) là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Hướng dẫn

Ta có \(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} \in {\rm{[0;}}\dfrac{\pi }{2}{\rm{]}}\)
Nên
\(S = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left| {\cos 2x} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} } \right| + \left| {\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos 2xdx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}}} \right| + \left| {\left. {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right| = 1\)

[collapse]

Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}\) là
A. \(\dfrac{1}{{12}}\)
B. \(\dfrac{1}{{13}}\)
C. \(\dfrac{1}{{14}}\)
D. \(\dfrac{1}{{15}}\)

Hướng dẫn

Ta có \(\sqrt x = \sqrt[3]{x} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Nên \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x – \sqrt[3]{x}} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^1 {(\sqrt x – \sqrt[3]{x})dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} – \dfrac{3}{4}\sqrt[3]{{{x^4}}}} \right)} \right|_0^1} \right| = \dfrac{1}{{12}}\)

[collapse]

Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1\) và \(y = {x^3} – 4{x^2} + 2x + 1\) là
A. \(\dfrac{{37}}{{13}}\)
B. \(\dfrac{{37}}{{12}}\)
C. 3
D. 4

Hướng dẫn

Ta có \(2{x^3} – 3{x^2} + 1 = {x^3} – 4{x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Nên \(S = \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} – 2x} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ – 2}^0 {({x^3} + {x^2} – 2x)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {({x^3} + {x^2} – 2x)dx} } \right|\)
\( = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{3} – {x^2}} \right)} \right|_{ – 2}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{3} – {x^2}} \right)} \right|_0^1} \right| = \dfrac{{37}}{{12}}\)

[collapse]

Câu 21. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 4\), đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành là
A. \(\dfrac{{22}}{3}\)
B. \(\dfrac{{32}}{3}\)
C. \(\dfrac{{25}}{3}\)
D. \(\dfrac{{23}}{3}\)

Hướng dẫn

Xét pt \( – {x^2} + 4 = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) có nghiệm x = 2
Suy ra \(S = \int\limits_0^2 {\left| { – {x^2} + 4} \right|dx + \int\limits_2^3 {\left| { – {x^2} + 4} \right|dx} } = \dfrac{{23}}{3}\)

[collapse]

Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = x\ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\) là
A. \(\dfrac{{{e^2} – 1}}{2}\)
B. \(\dfrac{{{e^2} + 1}}{2}\)
C. \(\dfrac{{{e^2} – 1}}{4}\)
D. \(\dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\)

Hướng dẫn

Xét pt \(x\ln x = 0\) trên nữa khoảng \(\left( {0;e} \right]\)có nghiệm x = 1
Suy ra \(S = \int\limits_1^e {x\ln xdx} = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\)

[collapse]

Câu 23. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + x – 2,\,\,y = x + 2\)và hai đường thẳng \(x = – 2;\,\,x = 3\). Diện tích của (H) bằng
A. \(\dfrac{{87}}{5}\)
B. \(\dfrac{{87}}{4}\)
C. \(\dfrac{{87}}{3}\)
D. \(\dfrac{{87}}{5}\)

Hướng dẫn

Xét phương trình \(({x^2} + x – 2) – (x + 2) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Suy ra \(S = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {{x^2} – 4} \right|dx + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} – 4} \right|dx = \dfrac{{87}}{3}} } \)

[collapse]

Câu 24. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \left( {1 + {e^x}} \right)x,\,\,y = \left( {1 + e} \right)x\). Diện tích của (H) bằng
A. $\dfrac{{e – 1}}{2}$
B. $\dfrac{{e – 2}}{2}$
C. $\dfrac{{e – 2}}{2}$
D. $\dfrac{{e + 1}}{2}$

Hướng dẫn

Xét pt \(\left( {1 + {e^x}} \right)x – \left( {1 + e} \right)x = 0\) có nghiệm \(x = 0,\,\,x = 1\)
Suy ra \(S = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {e – {e^x}} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^1 {x\left( {e – {e^x}} \right)dx} = \dfrac{{e – 2}}{2}\)

[collapse]

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO

Câu 25. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \left| {{x^2} – 1} \right|,\,\,y = \left| x \right| + 5\). Diện tích của (H) bằng
A. \(\dfrac{{71}}{3}\)
B. \(\dfrac{{73}}{3}\)
C. \(\dfrac{{70}}{3}\)
D. \(\dfrac{{74}}{3}\)

Hướng dẫn

Xét pt \(\left| {{x^2} – 1} \right| = \left| x \right| + 5\) có nghiệm \(x = – 3,\,\,x = 3\)
Suy ra \(S = \int\limits_{ – 3}^3 {\left| {\left( {\left| {{x^2} – 1} \right| – \left( {\left| x \right| + 5} \right)} \right)} \right|} dx = 2\int\limits_0^3 {\left| {\left| {{x^2} – 1} \right| – \left( {x + 5} \right)} \right|} dx\)
Bảng xét dấu \({x^2} – 1\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)

Vậy \(S = 2\left| {\int\limits_0^1 {\left( { – {x^2} – x – 4} \right)} dx + \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} – x – 6} \right)dx} } \right| = \dfrac{{73}}{3}\)

[collapse]

Câu 26. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \left| {{x^2} – 4x + 3} \right|,\,\,y = x + 3\). Diện tích của (H) bằng
A. \(\dfrac{{108}}{5}\)
B. \(\dfrac{{109}}{5}\)
C. \(\dfrac{{109}}{6}\)
D. \(\dfrac{{119}}{6}\)

Hướng dẫn

Xét pt \(\left| {{x^2} – 4x + 3} \right| = x + 3\) có nghiệm \(x = 0,\,\,x = 5\)
Suy ra \(S = \int\limits_0^1 {\left( { – {x^2} + 5x} \right)dx + \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} – 3x + 6} \right)dx} } + \int\limits_3^5 {\left( { – {x^2} + 5x} \right)dx} = \dfrac{{109}}{6}\)

[collapse]

Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \((P):\,y = {x^2} + 3\), tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng
A. $\dfrac{8}{3}$
B. $\dfrac{4}{3}$
C. 2
D. $\dfrac{7}{3}$

Hướng dẫn

PTTT của (P) tại x = 2 là \(y = 4x + 3\)
Xét pt \(\left( {{x^2} + 3} \right) – \left( {4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Suy ra \(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^2} – 4x + 4} \right)} \right|dx = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} – 4x + 4} \right)dx} } \right|} = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^2} \right| = \dfrac{8}{3}\)

[collapse]

Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ${y^2} – 2y + x = 0,\,\,\,x + y = 0$ là
A. $\dfrac{9}{4}$
B. $\dfrac{9}{2}$
C. $\dfrac{7}{2}$
D. $\dfrac{{11}}{2}$

Hướng dẫn

Biến đổi về hàm số theo biến số y là $x = – {y^2} + 2y,\,\,\,x = – y$
Xét pt tung độ giao điểm $( – {y^2} + 2y) – \left( { – y} \right) = 0$ có nghiệm $y = 0,\,\,y = 3$
Vậy $S = \int\limits_0^3 {\left| { – {y^2} + 3y} \right|dy = \int\limits_0^3 {\left( { – {y^2} + 3y} \right)dy} = \dfrac{9}{2}} $

[collapse]

Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^2};\,\,y = \dfrac{1}{{27}}{x^2};\,\,y = \dfrac{{27}}{x}$ bằng
A. $27\ln 2$
B. $27\ln 3$
C. $28\ln 3$
D. $29\ln 3$

Hướng dẫn

Xét các pthđgđ ${x^2} – \dfrac{{{x^2}}}{{27}} = 0 \Rightarrow x = 0;{x^2} – \dfrac{{27}}{x} = 0 \Rightarrow x = 3;\dfrac{{{x^2}}}{{27}} – \dfrac{{27}}{x} = 0 \Rightarrow x = 9$
Suy ra

$S = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} – \dfrac{{{x^2}}}{{27}}} \right)} dx + \int\limits_3^9 {\left( {\dfrac{{27}}{x} – \dfrac{{{x^2}}}{{27}}} \right)dx = 27\ln 3} $

[collapse]

Câu 30. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

A. $\dfrac{8}{3}$
B. $\dfrac{{11}}{3}$
C. $\dfrac{7}{3}$
D. $\dfrac{{10}}{3}$

Hướng dẫn

Ta có ${y^2} = y + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = – 1\\y = 2\end{array} \right.$ , Nên $S = \int\limits_0^2 {(y + 2 – {y^2})dy = \dfrac{{10}}{3}} $

[collapse]

Câu 31. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng $y = 8x,y = x$ và đồ thị hàm số $y = {x^3}$ là $\dfrac{a}{b}$. Khi đó a + bbằng
A. 68
B. 67
C. 66
D. 65

Hướng dẫn

Ta có $8x – x = 0 \Rightarrow x = 0;8x – {x^3} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\sqrt 2 \end{array} \right.;x – {x^3} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$

Nên $S = \int\limits_0^1 {\left( {8x – x} \right)} dx + \int\limits_1^{2\sqrt 2 } {\left( {8x – {x^3}} \right)dx = \dfrac{{63}}{4}} $

[collapse]

Câu 32. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1,y = x và đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^2}}}{4}$ trong miền $x \ge 0,y \le 1$là $\dfrac{a}{b}$. Khi đó $b – a$bằng
A. 4
B. 2
C. 3
D. 1

Hướng dẫn

Ta có $x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1;x – \dfrac{{{x^2}}}{4} = 0 \Rightarrow x = 0;1 – \dfrac{{{x^2}}}{4} = 0 \Rightarrow x = 2$

Nên $S = \int\limits_0^1 {\left( {x – \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)} dx + \int\limits_1^2 {\left( {1 – \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)dx = \dfrac{5}{6}} $

[collapse]

Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \left\{ \begin{array}{l} – x,{\rm{ n\~O u x}} \le {\rm{1}}\\x – 2,{\rm{ n\~O u x > 1}}\end{array} \right.$ và $y = \dfrac{{10}}{3}x – {x^2}$ là $\dfrac{a}{b}$. Khi đó $a + 2b$bằng
A. 16
B. 15
C. 17
D. 18

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Ta có
$\begin{array}{l}\dfrac{{10}}{3}x – {x^2} = – x \Rightarrow x = 0\\\dfrac{{10}}{3}x – {x^2} = x – 2 \Rightarrow x = 3\end{array}$
Nên $S = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{10}}{3}x – {x^2} + x} \right)} dx + \int\limits_1^3 {\left( {\dfrac{{10}}{3}x – {x^2} – x + 2} \right)dx = \dfrac{{13}}{2}} $

[collapse]

Câu 34. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $(C):y = \dfrac{{ – {x^2} + 4x – 4}}{{x – 1}}$ , tiệm cận xiêm của $(C)$ và hai đường thẳng $x = 0,x = a{\rm{ }}(a < 0)$ có diện tích bằng $5$ Khi đó $a$ bằng
A. $1 – {e^5}$
B. $1 + {e^5}$
C. $1 + 2{e^5}$
D. $1 – 2{e^5}$

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Ta có
$TCX:y = – x + 3$
Nên $S(a) = \int\limits_a^0 {\left( { – \dfrac{1}{{x – 1}}} \right)} dx = \int\limits_0^a {\left( {\dfrac{1}{{x – 1}}} \right)} dx = \left. {\ln \left| {x – 1} \right|} \right|_0^a = \ln (1 – a)$
Suy ra $\ln (1 – a) = 5 \Leftrightarrow a = 1 – {e^5}$

[collapse]

Dạng 2. Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường

Tính thể tích khối tròn xoay:
Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a và x = b (với a < b ) quay quanh trục Ox là $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} $.
Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a và x = b (với a < b) quay quanh trục Ox là $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) – {g^2}(x)} \right|dx} $.

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 35. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \dfrac{4}{x}\;,\;y = 0\;,\;x = 1\;,\;x = 4$ quanh trục ox là:
A. $6\pi $
B. $6\pi $
C. ${\rm{12}}\pi $
D. $6\pi $

Hướng dẫn

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_1^4 {\pi .{{(\dfrac{4}{x})}^2}dx} = 12\pi .\)

[collapse]

Câu 36. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \cos 4x{\rm{,}}\,\,{\rm{Ox,}}\,\,{\rm{x = 0,}}\,\,{\rm{x = }}\dfrac{\pi }{8}\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\)
B. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}}\)
C. \(\dfrac{\pi }{4}\)
D. \(\left( {\dfrac{{\pi + 1}}{{16}}} \right).\pi \)

Hướng dẫn

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{8}} {\pi .{{\cos }^2}4xdx} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}}.\)

[collapse]

Câu 37. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),\,\,Ox,\,\,x{\rm{ }} = {\rm{ }}a,\,\,x{\rm{ }} = {\rm{ }}b\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {f(x)dx.} \)
B. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.} \)
C. \(V = \int\limits_a^b {{\pi ^2}.{f^2}(x)dx.} \)
D. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.} \)

Hướng dẫn

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.} \)

[collapse]

Câu 38. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt {x – 1\,} $; trục Ox và đường thẳng x = 3 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. $\dfrac{3}{2}\pi $
B. $3\pi $
C. $2\pi $
D. $\pi $

Hướng dẫn

Giao điểm của hai đường \(y = \sqrt {x – 1} \)và \(y = 0\) là \(A(1;0)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_1^3 {(x – 1)dx = 2\pi .} \)

[collapse]

Câu 39. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3} + 1,\,\,y = 0,\,\,x = 0,\,\,x = 1\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. $\dfrac{{79\pi }}{{63}}$
B. $\dfrac{{23\pi }}{{14}}$
C. $\dfrac{{5\pi }}{4}$
D. $9\pi $

Hướng dẫn

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{({x^3} + 1)}^2}dx = \dfrac{{23\pi }}{{14}}.} \)

[collapse]

Câu 40. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \({y^2} = x,\,\,x = a,\,\,x = b\,\,(0 < a < b)\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(V = {\pi ^2}\int_a^b {xdx.} \)
B. \(V = \pi \int_a^b {\sqrt x dx.} \)
C. \(V = \pi \int_a^b {xdx.} \)
D. \(V = {\pi ^2}\int_a^b {\sqrt x dx.} \)

Hướng dẫn

Với $x \in \left[ {a;b} \right]$thì ${y^2} = x \Leftrightarrow y = \sqrt x $.
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int_a^b {xdx.} \)

[collapse]

Câu 41. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = – {x^2} + 2x,\,\,y = 0\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(\dfrac{{496\pi }}{{15}}\)
B. \(\dfrac{{4\pi }}{3}\)
C. \(\dfrac{{64\pi }}{{15}}\)
D. \(\dfrac{{16\pi }}{{15}}\)

Hướng dẫn

Giao điểm của hai đường \({y^2} = – {x^2} + 2x\)và \(y = 0\) là \(O(0;0)\)và \(A(2;0)\). Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{( – {x^2} + 2x)}^2}dx = \dfrac{{16\pi }}{{15}}.} \)

[collapse]

Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {1 – {x^2}} ,\,\,y = 0\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(\dfrac{{3\pi }}{2}\)
B. \(\dfrac{{2\pi }}{3}\)
C. \(\dfrac{\pi }{2}\)
D. \(\dfrac{4}{3}\pi \)

Hướng dẫn

Giao điểm của hai đường \(y = \sqrt {1 – {x^2}} \)và \(y = 0\) là \(B( – 1;0)\)và \(A(1;0)\). Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {(1 – {x^2})dx = \dfrac{{4\pi }}{3}.} \)

[collapse]

Câu 43. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0;\;x = \pi \) và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm \((x;0;0)\)bất kỳ là đường tròn bán kính \(\sqrt {\sin x} \) là:
A. \(V = 2.\)
B. \(V = \pi .\)
C. \(V = 4\pi .\)
D. \(V = 2\pi .\)

Hướng dẫn

Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường \(x = 0;\;x = \pi ;\;y = \sqrt {\sin x} ;\;Ox\)quay trục Ox.
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_0^\pi {\sin {\rm{x}}dx = 2\pi .} \)

[collapse]

Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \tan x,\,\,y = 0,\,\,x = 0,\,\,x = \dfrac{\pi }{3}\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(V = \pi \left( {\sqrt 3 – \dfrac{\pi }{3}} \right)\)
B. \(V = \pi \left( {\sqrt 3 – \dfrac{\pi }{3}} \right)\)
C. \(V = \pi \left( {\sqrt 3 – \dfrac{\pi }{3}} \right)\)
D. \(V = \pi \left( {\sqrt 3 – \dfrac{\pi }{3}} \right)\)

Hướng dẫn

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x}}dx = \pi \left( {\sqrt 3 – \dfrac{\pi }{3}} \right).} \)

[collapse]

Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 1 + \sqrt x {\rm{,}}\,\,{\rm{Ox,}}\,\,{\rm{x = 0,}}\,\,{\rm{x = 4}}\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \({\pi ^2}\dfrac{{28}}{3}\)
B. \(\pi .\dfrac{{68}}{3}\)
C. \(\pi \dfrac{{28}}{3}\)
D. \({\pi ^2}.\dfrac{{68}}{3}\)

Hướng dẫn

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_0^4 {\pi .{{(1 + \sqrt x )}^2}dx} = \dfrac{{68\pi }}{3}.\)

VẬN DỤNG

[collapse]

Câu 46. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn \({x^2} + {y^2} = 16\)(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là:

A. \(\int_{ – 4}^4 {4\left( {16 – {x^2}} \right)dx} \)
B. \(\int_{ – 4}^4 {4{x^2}dx} \)
C. \(\int_{ – 4}^4 {4\pi {x^2}dx} \)
D. \(\int_{ – 4}^4 {4\pi \left( {16 – {x^2}} \right)dx} \)

Hướng dẫn

Thiết diện cắt trục Ox tại điểm H có hoành độ bằng x thì cạnh của thiết diện bằng \(2.\sqrt {16 – {x^2}} \). Vậy thể tích của vật thể bằng \(V = \int_{ – 4}^4 {S(x)dx} = \int_{ – 4}^4 {4\left( {16 – {x^2}} \right)dx} .\)

[collapse]

Câu 47. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường ${y^2} = 4x$ và đường thẳng x = 4. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

A. $32\pi $
B. $64\pi $
C. $16\pi $
D. $4\pi $

Hướng dẫn

Giao điểm của hai đường \({y^2} = 4x\)và x = 4 là \(D(4; – 4)\)và \(E(4;4)\). Phần phía trên Ox của đường \({y^2} = 4x\)có phương trình \(y = 2\sqrt x \). Từ hình vẽ suy ra thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_0^4 {\pi .{{(2\sqrt x )}^2}dx} = 32\pi .\)

[collapse]

Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \ln x,\,\,y = 0,\,\,x = 2\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. \(2{\ln ^2}2 – 4\ln 2 + 2\)
B. \(\pi \left( {2{{\ln }^2}2 + 4\ln 2 – 2} \right)\)
C. \(\pi \left( {2{{\ln }^2}2 – 4\ln 2 + 2} \right)\)
D. \(\pi \left( {2\ln 2 – 1} \right)\)

Hướng dẫn

Tọa độ giao điểm của hai đường \(y = \ln x\) và \(y = 0\) là điểm \(C(1;0)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_1^2 {\pi .{{\ln }^2}xdx = \pi \left( {2{{\ln }^2}2 – 4\ln 2 + 2} \right).} \)

[collapse]

Câu 49. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = a.{x^2},\,\,y = bx\,\,(a,b \ne 0)\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. \(V = \pi .\dfrac{{{b^3}}}{{{a^3}}}\left( {\dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{5}} \right)\)
B. \(V = \pi .\dfrac{{{b^5}}}{{5{a^3}}}\)
C. \(V = \pi .\dfrac{{{b^5}}}{{3{a^3}}}\)
D. \(V = \pi .\dfrac{{{b^5}}}{{{a^3}}}\left( {\dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{5}} \right)\)

Hướng dẫn

Tọa độ giao điểm của hai đường \(y = a{x^2}\) và \(y = bx\) là các điểm \(O(0;0)\) và \(A(\dfrac{b}{a};\dfrac{{{b^2}}}{a})\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_0^{\dfrac{b}{a}} {\pi .{b^2}{x^2}dx – \int\limits_0^{\dfrac{b}{a}} {\pi .{a^2}{x^4}dx} = \pi .\dfrac{{{b^5}}}{{{a^3}}}(\dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{5}).} \)

[collapse]

Câu 50. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {4 – {x^2}} ,\,\,y = \dfrac{1}{3}{x^2}\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. \(V = \dfrac{{24\pi \sqrt 3 }}{5}\)
B. \(V = \dfrac{{28\pi \sqrt 3 }}{5}\)
C. \(V = \dfrac{{28\pi \sqrt 2 }}{5}\)
D. \(V = \dfrac{{24\pi \sqrt 2 }}{5}\)

Hướng dẫn

Tọa độ giao điểm của hai đường \(y = \sqrt {4 – {x^2}} \) và \(y = \dfrac{1}{3}{x^2}\) là các điểm \(A( – \sqrt 3 ;1)\) và \(B(\sqrt 3 ;1)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_{ – \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\pi .(4 – {x^2})dx – \int\limits_{ – \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\pi .\dfrac{1}{9}{x^4}dx} = \pi .} \dfrac{{28\sqrt 3 }}{5}.\)

[collapse]

Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 3x,\,\,y = x,\,\,x = 0,\,\,x = 1\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. \(V = \dfrac{{8\pi }}{3}.\)
B. \(V = \dfrac{{4\pi }}{3}.\)
C. \(V = \dfrac{{2\pi }}{3}.\)
D. \(V = \pi .\)

Hướng dẫn

Tọa độ giao điểm của đường x = 1 với \(y = x\) và \(y = 3x\) là các điểm \(C(1;1)\) và \(B(3;1)\). Tọa độ giao điểm của đường \(y = 3x\) với \(y = x\) là \(O(0;0)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V = \int\limits_0^1 {\pi .9{x^2}dx – \int\limits_0^1 {\pi .{x^2}dx} = \pi .} \dfrac{8}{3}.$

[collapse]

Câu 52. Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong $\left( {{C_1}} \right):y = f\left( x \right)$, $\left( {{C_2}} \right):y = g\left( x \right)$, hai đường thẳng $x = a$, $x = b$, $a < b$. Giả sử rằng $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$ không có điểm chung trên $\left[ {a,b} \right]$ và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$ quanh Ox là $V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2} – {{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}} \right)dx} $. Khi đó

(1): f( x ) > g( x ), ∀x ∈ [a, b]
(2): f( x ) > g( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]
(3): 0 ≤ f( x ) < g( x ), ∀x ∈ [a, b]
Số nhận định đúng trong các nhận định trên là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Hướng dẫn

Từ giả thiết ta suy ra có thể xảy ra một trong hai trường hợp:
(2): f( x ) > g( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] hoặc (3): 0 ≤ f( x ) < g( x ), ∀x ∈ [a, b]
Do đó số nhận định đúng là không.

[collapse]

Câu 53. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x.\sqrt {\ln x} ,\,\,y = 0,\,\,x = e\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. $\pi .\dfrac{{4{e^3} + 1}}{9}$
B. $\pi .\dfrac{{4{e^3} – 1}}{9}$
C. $\pi .\dfrac{{2{e^3} + 1}}{9}$
D. $\pi .\dfrac{{2{e^3} – 1}}{9}$

Hướng dẫn

Tọa độ giao điểm của đường \(x = e\) với \(y = x\sqrt {\ln x} \) là điểm \(C(3;3)\). Tọa độ giao điểm của đường \(y = x\sqrt {\ln x} \) với \(y = 0\) là \(A(1;0)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V = \int\limits_1^e {\pi .{x^2}\ln xdx = \pi .} \dfrac{{2{e^3} + 1}}{9}.$

[collapse]

Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3} – 6{x^2} + 9x,\,\,y = 0\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. $\dfrac{{729\pi }}{{35}}$
B. $\dfrac{{27\pi }}{4}$
C. $\dfrac{{256608\pi }}{{35}}$
D. $\dfrac{{7776\pi }}{5}$

Hướng dẫn

Tọa độ giao điểm của đường \(y = {x^3} – 6{x^2} + 9x\) với \(y = 0\) là các điểm \(C(e;e)\) và \(A(3;0)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V = \int\limits_0^3 {\pi .{{\left( {{x^3} – 6{x^2} + 9x} \right)}^2}dx = \pi .} \dfrac{{729}}{{35}}.$

[collapse]

Câu 55. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn\({x^2} + {y^2} = 16\)(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:

A. $V = \dfrac{{256\sqrt 3 }}{3}.$
B. $V = \dfrac{{256}}{3}.$
C. $V = \dfrac{{32\sqrt 3 }}{3}.$
D. $V = \dfrac{{32}}{3}.$

Hướng dẫn

Giao điểm của thiết diện và Ox là H. Đặt \(OH = x\) suy ra cạnh của thiết diện là \(2\sqrt {16 – {x^2}} \). Diện tích thiết diện tại H là \(S(x) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}4(16 – {x^2})\).
Vậy thể tích của vật thể là \(V = \int\limits_{ – 4}^4 {\sqrt 3 (16 – {x^2})dx = \dfrac{{256\sqrt 3 }}{3}.} \)

[collapse]

Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2},\,\,{y^2} = 4x\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. \(V = \dfrac{{88\pi }}{5}.\)
B. \(V = \dfrac{{9\pi }}{{70}}.\)
C. \(V = \dfrac{{4\pi }}{3}.\)
D. \(V = \dfrac{{6\pi }}{5}.\)

Hướng dẫn

Với $x \in \left[ {0;2} \right]$ thì \({y^2} = 4x \Leftrightarrow y = \sqrt {4x} \)
Tọa độ giao điểm của đường \(y = 2{x^2}\) với \({y^2} = 4x\) là các điểm \(O(0;0)\) và \(A(1;2)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V = \int\limits_0^1 {\pi .4xdx – \int\limits_0^1 {\pi .4{x^4}dx} = \pi .} \dfrac{6}{5}.$

[collapse]

+1

0

+1

0

+1

0

+1

0

+1

0