Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, trắc nghiệm toán 10

Thay $\left\{ \begin{array}{l}
x=1 \\
y=-1
\end{array} \right. $ vào các bất phương trình ta chọn đáp án C.

Thử các đáp án ta chọn đáp án D.

Thử các đáp án ta chọn đáp án B.

Thử các đáp án ta chọn đáp án A.

Xét đường thẳng $x-2y+5=0\Leftrightarrow y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{5}{2}. $
Thay tọa độ điểm $O\left( 0;0 \right)$ vào bất phương trình ta được: $5<0$ $\Rightarrow $ không thỏa mãn.
Chọn đáp án A.

Xét đường thẳng $-4x+y=2\Leftrightarrow y=4x+2. $
Thay tọa độ điểm $O\left( 0;0 \right)$ vào bất phương trình ta được: $0<2$ (thỏa mãn).
Chọn đáp án A.

\[3x+2\left( y+3 \right)>4\left( x+1 \right)-y+3\Leftrightarrow x-3y+1<0\]
Thay tọa độ các điểm vào bất phương trình ta chọn đáp án C.

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào hệ ta chọn đáp án B.

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào hệ ta chọn đáp án D.

Ta có: $x+y<5\Leftrightarrow x<5-y$
Mà $x>1\Leftrightarrow 5-y>1\Leftrightarrow y<4. $
Ta có: $-1<y<4\Rightarrow y=\left\{ 0;1;2;3 \right\}$
Với $y=0\Rightarrow 1<x<5\Rightarrow x=\left\{ 2;3;4 \right\}\Rightarrow $ Nghiệm nguyên của hệ $\left( 2;0 \right),\left( 3;0 \right),\left( 4;0 \right)$
Với $y=1\Rightarrow 1<x<4\Rightarrow x=\left\{ 2;3 \right\}\Rightarrow $ Nghiệm nguyên của hệ $\left( 2;1 \right);\left( 3;1 \right)$
Với $y=2\Rightarrow 1<x<3\Rightarrow x=2\Rightarrow $ Nghiệm nguyên của hệ $\left( 2;2 \right)$
Với $y=4\Rightarrow 1<x<1\Leftrightarrow $ không có $x$ nguyên.
Vậy, hệ có $6$ nghiệm mà $x,y$ đều nguyên. Chọn đáp án B.

$x+y<5\Leftrightarrow x<5-y$ Mà $x>0\Rightarrow 5-y>0\Leftrightarrow y<5$
$\xrightarrow{y\in \mathbb{Z}*}y=\left\{ 1;2;3;4 \right\}$
Với $y=1\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x<4 \\
x>3
\end{array} \right. \Rightarrow $ Không có giá trị $x$ nguyên dương thỏa mãn.
Với $y=2\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x<3 \\
x>1
\end{array} \right. \xrightarrow{x\in \mathbb{Z}*}x=2\Rightarrow $ Nghiệm nguyên dương của hệ $\left( 2;2 \right)$
Với $y=3\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x<2 \\
x>-1
\end{array} \right. \xrightarrow{x\in \mathbb{Z}*}x=1\Rightarrow $ Nghiệm nguyên dương của hệ $\left( 1;3 \right)$
Với $y=4\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x<1 \\
x>-3
\end{array} \right. \xrightarrow{x\in \mathbb{Z}*}$ không có $x$ thỏa mãn.
Chọn đáp án B.

Đường “ranh giới” đi qua hai điểm $A\left( 0;2 \right);B\left( 3;0 \right)\Rightarrow $ Loại A, B.
Gốc tọa độ $O\left( 0;0 \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Chọn đáp án C.

Điểm $O\left( 0;0 \right)$ không thuộc miền nghiệm của hệ. Thử các đáp án ta chọn đáp án D.
Chọn câu sai.

Thử từng đáp án. Chọn đáp án B.

Thử từng đáp án. Chọn đáp án C.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}
y-2x\le 2
\\
2y-x\ge 4
\\
x+y\le 5
\\
\end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y-2x-2\le 0
\\
2y-x-4\ge 0
\\
x+y-5\le 0
\\
\end{matrix} \right. \,\,\,\,\,(*)$
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
${{d}_{1}}: y-2x-2=0,{{d}_{2}}: 2y-x-4=0,{{d}_{3}}: x+y-5=0. $
Tọa độ giao điểm của ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
y-2x-2=0 \\
2y-x-4=0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x=0 \\
y=2
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( 0;2 \right). $
Tọa độ giao điểm của ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
2y-x-4=0 \\
x+y-5=0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x=2 \\
y=3
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( 2;3 \right). $

Tọa độ giao điểm của ${{d}_{1}},{{d}_{3}}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
y-2x-2=0 \\
x+y-5=0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x=1 \\
y=4
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( 1;4 \right). $

Khi đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left( * \right)$ là phần mặt phẳng (tam giác $ABC)$ (hình vẽ)
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \[F(x;y)=\text{ }yx\] sẽ đạt được tại một trong các điểm $A,B,C. $
Ta có: $F\left( 0;2 \right)=2,F\left( 2;3 \right)=1,F\left( 1;4 \right)=3. $
$\Rightarrow $ \[min\text{ }F=1\text{ }\] khi \[x\text{ }=2,\text{ }y=3. \] Chọn đáp án A.

Giải các hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}
2x-y=2 \\
x-2y=2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x=\dfrac{2}{3} \\
y=-\dfrac{2}{3}
\end{array} \right. \] ; \[\left\{ \begin{array}{l}
2x-y=2 \\
x+y=5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x=\dfrac{7}{3} \\
y=\dfrac{8}{3}
\end{array} \right. \] ; \[\left\{ \begin{array}{l}
x-2y=2 \\
x+y=5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x=4 \\
y=1
\end{array} \right. \] nên chỉ có đáp án A và C là đỉnh của đa giác miền nghiệm.
So sánh \[F=y-x\] ứng với tọa độ ở đáp án A và C, ta được đáp án \[\left( 4;1 \right)\]. Chọn đáp án A.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$vẽ các đường thẳng $\left( d \right): x+2y-100=0,\,\,\left( d’ \right): 2x+y-80=0$
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tứ giác $OABC$) tô màu trên hình vẽ

Giá trị lớn nhất của \[L\left( x;y \right)=40000x+30000y\] đạt tại một trong các điểm \[\left( 0;0 \right),\,\,\left( 40;0 \right),\,\,\left( 0;50 \right),\,\,\left( 20;40 \right)\]. Ta có \[L\left( 0;0 \right)=0,\,\,L\left( 40;0 \right)=1600000,\] \[L\left( 0;50 \right)=1500000,\,\,L\left( 20;40 \right)=2000000\] suy ra giá trị lớn nhất của \[L\left( x;y \right)\] là \[2000000\] khi $\left( x;y \right)=\left( 20;40 \right)$. Chọn đáp án A.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $\left( d \right): x-y-1=0,\,\,\left( d’ \right): x+2y-10=0,\left( \Delta
\right): y=4. $

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(ngũ giác $OABCD$) tô màu trên hình vẽ
Giá trị lớn nhất của \[F\left( x;y \right)=\text{ }x+2y\]đạt tại một trong các điểm:
$O\left( 0;0 \right),A\left( 1;0 \right),B\left( 4;3 \right),C\left( 2;4 \right),D\left( 0;4 \right)$
Ta có: $F\left( 0;0 \right)=0,F\left( 1;0 \right)=1,F\left( 4;3 \right)=10,F\left( 2;4 \right)=10,F\left( 0;4 \right)=8. $
$\Rightarrow $ Giá trị lớn nhất của \[F\left( x;y \right)=\text{ }x+2y\]bằng $10. $ Chọn đáp án C.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$vẽ các đường thẳng:
$\left( d \right): 2x+y-14=0,\,\,\left( d’ \right): 2x+5y-30=0,$
$\left( \Delta
\right): y=9,\left( \Delta ‘ \right): x=10. $

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng (tứ giác $ABCD$) tô màu trên hình vẽ
Giá trị nhỏ nhất của \[T\left( x,\text{ }y \right)=4x+3y\]đạt tại một trong các điểm:
$A\left( 5;4 \right),B\left( \dfrac{5}{2};9 \right),C\left( 10;9 \right),D\left( 10;2 \right)$
Ta có: $T\left( 5;4 \right)=32,T\left( \dfrac{5}{2};9 \right)=37,T\left( 10;9 \right)=67,T\left( 10;2 \right)=46. $
$\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất của \[T\left( x,\text{ }y \right)=4x+3y\] bằng $32$ tại $x=5,y=4. $ Chọn đáp án B.

Giả sử \[x,\text{ }y\] lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế.
Suy ra
\[30x+10y\] là số gam đường cần dùng;
\[x+y\] là số lít nước cần dùng;
\[x+4y\] là số gam hương liệu cần dùng.
Theo giả thiết ta có \[\left\{ \begin{array}{l}
x\ge 0 \\
y\ge 0 \\
30x+10y\le 210 \\
x+y\le 9 \\
x+4y\le 24
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x\ge 0 \\
y\ge 0 \\
3x+y\le 21 \\
x+y\le 9 \\
x+4y\le 24
\end{array} \right. \].
$\left( * \right)$
Số điểm thưởng nhận được sẽ là \[P=60x+80y. \]
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$vẽ các đường thẳng:
$\left( d \right): 3x+y-21=0,\,\,\left( d’ \right): x+y-9=0,\left( \Delta
\right): x+4y-24=0$

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(ngũ giác $OABCD$) tô màu trên hình vẽ
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo ra bởi hệ $\left( * \right)$ là
\[O\left( 0;0 \right),\text{ }A\left( 0;6 \right),\text{ }B\left( 4;5 \right),\text{ }C\left( 6;3 \right)\] và \[D\left( 7;0 \right)\].
Ta thấy \[P\] đạt giá trị lớn nhất tại \[x=4,\text{ }y=5\]. Khi đó \[P=60. 4+80. 5=640. \]
Vậy cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo để được số điểm cao nhất là $640$.
Chọn đáp án C.

Gọi \[x,y\,\,(kg)\] lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất. $(x\ge 0,y\ge 0)$
Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng: $2x+4y\le 200. $
Tổng số giờ làm việc: $30x+15y\le 1200. $
Lợi nhuận tạo thành: $L=40x+30y$ (nghìn)
Thực chất của bài toán này là phải tìm $x\,\,\ge \,\,0$, $y\,\,\ge \,\,0$ thoả mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}
2x\,\,+\,\,4y\,\,\le \,\,200 \\
30x\,\,+\,\,15y\,\,\le \,\,1200
\end{array} \right. $
sao cho $L=40x+30y$đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$vẽ các đường thẳng: $\left( d \right): x+2y-100,\,\,\left( d’ \right): 2x+y-80$
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(ngũ giác $OABCD$) tô màu trên hình vẽ
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo ra bởi hệ $\left( * \right)$ là
\[O\left( 0;0 \right),\text{ }A\left( 0;50 \right),\text{ }B\left( 20;40 \right),\text{ }C\left( 40;0 \right)\]
Ta có: $L\left( 0;0 \right)=0,L\left( 0;50 \right)=1500,L\left( 20;40 \right)=2000,L\left( 0;40 \right)=1200$
$\Rightarrow $ Giá trị lớn nhất của $L=40x+30y$bằng $2000$ khi $x=20,y=40. $
Chọn đáp án B.

Gọi $x,y$$(x\ge 0,y\ge 0)$ lần lượt là số đơn vị vitamin A và B để một người cần dùng trong một ngày.
Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B nên ta có:
$400\le x+y\le 1000.$
Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên ta có: $x\le 600,y\le 500.$
Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên ta có: $0,5x\le y\le 3x.$
Số tiền cần dùng mỗi ngày là: $T\left( x,y \right)=9x+7,5y$
Bài toán trở thành, tìm $x,y$ thỏa mãn hệ $\left( * \right):\left\{ \begin{align} & 0\le x\le 600,0\le y\le 500 \\ & 400\le x+y\le 1000 \\ & 0,5x\le y\le 3x \\ \end{align} \right.$ để $T\left( x,y \right)=9x+7,5y$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$vẽ các đường thẳng:
$\left( d \right):x-600=0;\left( d’ \right):y-500=0,\left( \Delta \right):x+y-400=0,\left( \Delta ‘ \right):x+y-1000=0,$$\left( l \right):0,5x-y=0,\left( l’ \right):3x-y=0.$
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(lục giác $ABCDEFT\left( x,y \right)=9x+7,5y$đạt tại một trong các điểm:
$A\left( 100;300 \right),B\left( \dfrac{500}{3};500 \right),C\left( 500;500 \right),D\left( 600;400 \right),E\left( 600;300 \right),F\left( \dfrac{800}{3};\dfrac{400}{3} \right)$
Ta có: $T\left( 100;300 \right)=3150,T\left( \dfrac{500}{3};500 \right)=5250,T\left( 500;500 \right)=8250$
$T\left( 600;400 \right)=8400,T\left( 600;300 \right)=7650,T\left( \dfrac{800}{3};\dfrac{400}{3} \right)=3400$
$\Rightarrow$ Giá trị nhỏ nhất của $T\left( x,y \right)=9x+7,5y$ bằng $3150$ khi $x=100,y=300.$
Chọn đáp án D.

Gọi x, y lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai.
Bài toán đưa đến tìm $x,y\ge 0$ thoả mãn hệ
$\left\{ \begin{align} & 3x\,\,+\,\,2y\,\,\ge \,\,900 \\ & x\,\,+\,\,3y\,\,\ge \,\,1000 \\ & 6x\,\,+\,\,y\,\,=\,\,900 \\ \end{align} \right.$
sao cho $L=x+y$ nhỏ nhất
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$
vẽ các đường thẳng:
$\left( d \right):3x+2y-900=0,\left( d’ \right):x+3y-1000=0,\left( \Delta \right):6x+y-900=0.$
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) nửa đường thẳng $BC$ nằm trong phần tô màu trên hình vẽ.
$\Rightarrow$ $L=x+y$ nhỏ nhất đạt được tại điểm $B. $
Khi đó, $L\left( x;y \right)=100+300=400.$
Chọn đáp án A.

Gọi $x,y$ (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm $A$ và sản phẩm $B. $ $\left( x,y\ge 0 \right)$
Ta có: $x+6y$ là thời gian hoạt động của máy $I. $
$2x+3y$ là thời gian hoạt động của máy $II. $
$3x+2y$ là thời gian hoạt động của máy $III. $
Số tiền lãi của nhà máy: $T=4x+3y$ (triệu đồng)
Bài toán trở thành: Tìm $x,y$ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}
x+6y\le 36 \\
2x+3y\le 23 \\
3x+2y\le 27
\end{array} \right. \,\,\,(*)$ để $T=4x+3y$đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$
vẽ các đường thẳng:
$\left( d \right): x+6y-36=0,\left( d’ \right): 2x+3y-23=0,\left( \Delta
\right): 3x+2y-27=0. $
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(ngũ giác $OABCD$) tô màu trên hình vẽ.
Giá trị lớn nhất của $T=4x+3y$đạt tại một trong các điểm:
$O\left( 0;0 \right),A\left( 0;6 \right),B\left( \dfrac{10}{3};\dfrac{49}{9} \right),C\left( 7;3 \right),D\left( 9;0 \right)$
Khi đó, $T\left( 0;0 \right)=0,T\left( 0;6 \right)=18,T\left( \dfrac{10}{3};\dfrac{49}{9} \right)=\dfrac{89}{3},T\left( 7;3 \right)=37,T\left( 9;0 \right)=36. $
$\Rightarrow $ Giá trị lớn nhất của $T=4x+3y$bằng $37$ khi $x=7,y=3. $
Như vậy, sản xuất $7$ tấn sản phẩm $A$ và $3$ tấn sản phẩm $B. $
Chọn đáp án B.