Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể
Dạng 1:
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Ox\)
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Dạng 2:
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = f\left( y \right)\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = a,y = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Oy\).
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)
Dạng 3:
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right],0 \le f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) quay quanh trục \(Ox\)
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) – {f^2}\left( x \right)} \right]dx} \)
Dạng 4:
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng \(x = a,x = b\) biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là \(S = S\left( x \right)\).
Công thức tính:
\(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)
Khi miền \(D\) giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.
Ví dụ: Cho đường cong \(y = – {x^2} + 1\) và đường thẳng \(y = 0\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh \(Ox\).
Ta có: \( – {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Thể tích: \(V = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {{{\left( { – {x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^4} – 2{x^2} + 1} \right)dx} \)
$= \pi \left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} – \dfrac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ – 1}^1 = \dfrac{{16\pi }}{{15}}$.