Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho \(d,d’\) là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ,M \in d,M’ \in d’\) . Ta có:

+) \(d \equiv d’ \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ,\overrightarrow {MM’} \) đôi một cùng phương \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM’} } \right] = \overrightarrow 0 \)
Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng 21
+) \(d//d’ \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} \)  cùng phương nhưng \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM’} \) không cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM’} } \right] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng 23
+) \(d\) cắt \(d’ \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} \) không cùng phương và \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ,\overrightarrow {MM’} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]\overrightarrow {MM’}  = 0\end{array} \right.\)
Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng 25
+) \(d\) chéo \(d’ \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ,\overrightarrow {MM’} \)  không đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]\overrightarrow {MM’}  \ne 0\)
Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng 27
Ngoài ra, ta có thể giải hệ phương trình của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

  • Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì \(d\) cắt \(d’\)
  • Nếu hệ vô số nghiệm thì \(d \equiv d’\)
  • Nếu hệ vô nghiệm thì:

\(d//d’\)  nếu \(\overrightarrow u  = k\overrightarrow {u’} \) hay \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} \) cùng phương.

\(d\) chéo \(d’\) nếu \(\overrightarrow u  \ne k\overrightarrow {u’} \) hay \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} \) không cùng phương.

2. Khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng

a) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d’\)

\(d\left( {A,d’} \right) = \dfrac{{{S_{ANN’M’}}}}{{AN}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM’} ,\overrightarrow {u’} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u’} } \right|}}\)

Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng 29
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng:

\(d\left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {MM’} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]} \right|}}\)

c) Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là: \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} \):

$\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u’} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u’} } \right|}}$

+1
1
+1
0
+1
0
+1
0
+1
0
Subscribe
Notify of
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Scroll to Top