Đếm tổ hợp liên quan đến hình học, đại số và giải tích 11
Câu 1: Cho hai đường thẳng song song ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$. Trên đường thẳng ${{d}_{1}}$ lấy 10 điểm phân biệt, trên ${{d}_{2}}$ lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 vừa nói trên.
[A]. $C_{10}^{2}C_{15}^{1}$
[B]. $C_{10}^{1}C_{15}^{2}$
[C]. $C_{10}^{2}C_{15}^{1}+C_{10}^{1}C_{15}^{2}$
[D]. $C_{10}^{2}C_{15}^{1}.C_{10}^{1}C_{15}^{2}$
Số tam giác lập được thuộc vào một trong hai loại sau
Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào ${{d}_{1}}$ và một đỉnh thuộc vào ${{d}_{2}}$
Số cách chọn bộ hai điểm trong $10$ thuộc ${{d}_{1}}$: $C_{10}^{2}$
Số cách chọn một điểm trong $15$ điểm thuộc ${{d}_{2}}$: $C_{15}^{1}$
Loại này có: $C_{10}^{2}.C_{15}^{1}=$ tam giác.
Loại 2: Gồm một đỉnh thuộc vào ${{d}_{1}}$ và hai đỉnh thuộc vào ${{d}_{2}}$
Số cách chọn một điểm trong $10$ thuộc ${{d}_{1}}$: $C_{10}^{1}$
Số cách chọn bộ hai điểm trong $15$ điểm thuộc ${{d}_{2}}$: $C_{15}^{2}$
Loại này có: $C_{10}^{1}.C_{15}^{2}=$ tam giác.
Vậy có tất cả: $C_{10}^{2}C_{15}^{1}+C_{10}^{1}C_{15}^{2}$ tam giác thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 2: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi:
Có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ – không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho.
[A]. 4039137
[B]. 4038090
[C]. 4167114
[D]. 167541284
Mỗi véc tơ thỏa yêu cầu bài toán ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 2010, nên số véc tơ cần tìm là: $A_{2010}^{2}$.
Câu 3: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó thuộc vào 2010 điểm đã cho.
[A]. 141427544
[B]. 1284761260
[C]. 1351414120
[D]. 453358292
Mỗi tam giác thỏa yêu cầu bài toán ứng với một tổ hợp chập 3 của 2010, nên số tam giác cần tìm là: $C_{2010}^{3}$.
Câu 4: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều $10$ cạnh là:
[A]. 35.
[B]. 120.
[C]. 240.
[D]. 720.
Chọn B
Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.
Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác, có $C_{10}^{3}=120$.
Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác 10 cạnh.
Câu 5: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường chéo là:
[A]. 121.
[B]. 66.
[C]. 132.
[D]. 54.
Chọn D
Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).
Khi đó có C_{12}^{2}=66 cạnh.
Số đường chéo là: 66-12=54.
Câu 6: Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:
[A]. 11.
[B]. 10.
[C]. 9.
[D]. 8.
Chọn A
Cứ hai đỉnh của đa giác $n$ $\left( n\in \mathbb{N},\,n\ge 3 \right)$ đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa giác và đường chéo).
Khi đó số đường chéo là: $C_{n}^{2}-n=44\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!.2!}-n=44$
$\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)-2n=88\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& n=11 \\
& n=-8 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow n=11$ (vì $n\in \mathbb{N}$).
Câu 7: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
[A]. 5.
[B]. 6.
[C]. 7.
[D]. 8.
Chọn C
Đa giác có $n$ cạnh $\left( n\in \mathbb{N},\,n\ge 3 \right)$.
Số đường chéo trong đa giác là: $C_{n}^{2}-n$.
Ta có: $C_{n}^{2}-n=2n\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!.2!}=3n\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)=6n\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
&n=7 \\
&n=0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow n=7$.
Câu 8: Mười hai đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?
[A]. 12.
[B]. 66.
[C]. 132.
[D]. 144.
Chọn B
Để được nhiều giao điểm nhất thì mười hai đường thẳng này phải đôi một cắt nhau tại các điểm phân biệt.
Như vậy có $C_{12}^{2}=66$.
Câu 9: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt ($n\ge 2$). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n?
[A]. 20
[B]. 21
[C]. 30
[D]. 32
Chọn A
Tam giác cần lập thuộc hai loại
Loại 1: Tam giác có một đỉnh thuộc d1 và hai đỉnh thuộc d2. Loại này có $C_{10}^{1}.C_{n}^{2}$ tam giác.
Loại 2: Tam giác có một đỉnh thuộc d2 và hai đỉnh thuộc d1. Loại này có $C_{10}^{2}.C_{n}^{1}$ tam giác.
Theo bài ra ta có: $C_{10}^{1}.C_{n}^{2}+C_{10}^{2}.C_{n}^{1}=2800$
$\Leftrightarrow 10\dfrac{n(n-1)}{2}+45n=2800\Leftrightarrow {{n}^{2}}+8n-560=0\Leftrightarrow n=20$.
Câu 10: Cho đa giác đều ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{2n}}$ nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{2n}}$ gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{2n}}$. Tìm n?
[A]. 3
[B]. 6
[C]. 8
[D]. 12
Chọn C
Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{2n}}$ là: $C_{2n}^{3}$.
Ta thấy ứng với hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{2n}}$ cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{2n}}$ và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác. Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n nên số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm bằng $C_{n}^{2}$.
Theo giả thiết: $C_{2n}^{3}=20C_{n}^{2}\Leftrightarrow \dfrac{2n(2n-1)(2n-2)}{3!}=20\dfrac{n(n-1)}{2}$$\Leftrightarrow n=8$.
Câu 11: Trong mặt phẳng cho $n$ điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi diểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong $n-1$ điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu?
[A]. $2C_{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}-\left[ n(C_{n-1}^{2}-1)+5C_{n}^{3} \right]$
[B]. $C_{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}-2\left[ n(C_{n-1}^{2}-1)+5C_{n}^{3} \right]$
[C]. $3C_{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}-2\left[ n(C_{n-1}^{2}-1)+5C_{n}^{3} \right]$
[D]. $C_{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}-\left[ n(C_{n-1}^{2}-1)+5C_{n}^{3} \right]$
Chọn D
Gọi n điểm đã cho là ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$. Xét một điểm cố định, khi đó có $C_{n-1}^{2}$ đường thẳng nên sẽ có $C_{n-1}^{2}$ đường thẳng vuông góc đi qua điểm cố định đó.
Do đó có $nC_{n-1}^{2}=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{2}$ đường thẳng vuông góc nên có
$C_{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}$ giao điểm (tính cả những giao điểm trùng nhau).
Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại
* Qua một điểm có $C_{n-1}^{2}=\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}$ nên ta phải trừ đi $n\left( C_{n-1}^{2}-1 \right)$ điểm
* Qua ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}}$ có 3 đường thẳng cùng vuông góc với ${{A}_{4}}{{A}_{5}}$ và 3 đường thẳng này song song với nhau, nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi $3C_{n}^{3}$
* Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi tam giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi $2C_{n}^{3}$
Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là:
$C_{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{2}}^{2}-\left[ n(C_{n-1}^{2}-1)+5C_{n}^{3} \right]$.