Căn bậc hai và phương trình bậc hai của số phức

Dạng 4: Giải phương trình bậc cao.

Phương pháp:

Sử dụng các phép biến đổi (phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ,…) đưa phương trình bậc cao về các phương trình bậc nhất, bậc hai,…để giải phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình \({z^4} + 1 = 0\).

Giải:

Ta có: \({z^4} + 1 = 0 \Leftrightarrow {z^4} – {i^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} – i} \right)\left( {{z^2} + i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = i\left( 1 \right)\\{z^2} =  – i\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải (1): Ta tìm căn bậc hai của số phức \(z’ = i\).

Gọi \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của số phức \(z’ = i\). Khi đó:

\({w^2} = i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – {y^2} = 0\\2xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  – y\\ – 2{y^2} = 1(L)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\x = y =  – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\\z =  – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\end{array} \right.\)

Giải (2): Ta tìm căn bậc hai của số phức \(z’ =  – i\)

Vì \(z’ =  – i = {i^2}.i\) nên các căn bậc hai của \(z’\) là \(i.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) =  – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\) và \(i\left( { – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\)

Vậy phương trình có các nghiệm \({z_1} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_2} =  – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_3} =  – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_4} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\).