Hai mặt phẳng song song, toán phổ thông
1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có ba vị trí tương đối:
Định nghĩa: Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
2. Một số định lý và tính chất
Tính chất:
+) Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
+) Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(\left( P \right)\).
+) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
+) Nếu hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song thì mọi mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.
Kí hiệu: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\\\left( \gamma \right) \cap \left( \alpha \right) = a\\\left( \gamma \right) \cap \left( \beta \right) = b\end{array} \right. \Rightarrow a//b\)
Định lý 1: Nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a,b\) mà \(a,b\) lần lượt song song với hai đường thẳng \(a’,b’\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) thì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).
Kí hiệu: \(\left\{ \begin{array}{l}a,b \subset \left( \alpha \right)\\a \cap b = O\\a//a’,b//b’\\a’,b’ \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\)
Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.
Định lý 2: (Định lý Ta-let trong không gian) Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Khi đó \(\dfrac{{AA’}}{{BB’}} = \dfrac{{A’A”}}{{B’B”}} = \dfrac{{AA”}}{{BB”}}\).