Phép dời hình và hai hình bằng nhau, trắc nghiệm toán 11
Câu 1
Phép biến hình nào sau đây là một phép dời hình?
[A]. Phép đồng nhất.
[B]. Phép chiếu lên một đường thẳng.
[C]. Phép biến mọi điểm M thành điểm O cho trước.
[D]. Phép biến mọi điểm M thành điểm là trung điểm của đoạn OM với O là điểm cho trước.
Đáp án A.
Phép đồng nhất bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì
Câu 2
Phép biến hình F là phép dời hình khi và chỉ khi:
[A]. F biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
[B]. F biến đường thẳng thành chính nó.
[C]. F biến đường thẳng thành đường thẳng cắt nó.
[D]. F biến tam giác thành tam giác bằng nó.
Đáp án D.
$F$ biến tam giác thành tam giác bằng nó tức bảo toàn khoảng cách hay độ dài các cạnh.
Câu 3
Cho hai phép biến hình: ${{F}_{1}}:\,M\left( x;y \right)\to M’\left( x+1;y-3 \right)$, ${{F}_{2}}:\,M\left( x;y \right)\to M’\left( -y;x \right)$. Phép biến hình nào trong hai phép biến hình trên là phép dời hình.
[A]. Chỉ phép biến hình ${{F}_{1}}$.
[B]. Chỉ phép biến hình ${{F}_{2}}$.
[C]. Cả hai phép biến hình ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{1}}$ .
[D]. Cả hai phép biến hình ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{1}}$ đều không là phép dời hình.
Đáp án C.
Xét hai điểm \[\text{A}\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\] và \[B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)\] qua hai phép biến hình ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{2}}$. Với phép biến hình ${{F}_{1}}:$$A\to A’\left( {{x}_{A}}+1;{{y}_{A}}-3 \right)$; $B\to B’\left( {{x}_{B}}+1;{{y}_{B}}-3 \right)$ $\Rightarrow AB=A’B’=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}$
Tương tự với phép biến hình ${{F}_{2}}$thì $AB=A’B’$ nên ta chọn đáp án C
Câu 4
Cho một ngũ giác đều và một phép dời hình $f$. Biết rằng $f\left( A \right)=C,\,\,f\left( E \right)=B$và $f\left( D \right)=A$. Ảnh của điểm C là:
[A]. $A$.
[B]. $B$.
[C]. $C$.
[D]. $E$.
Đáp án D
Nếu $M=f\left( C \right)$ ta có $CA=CM$ (do $f\left( A \right)=C$) $\left( 1 \right)$
$CE=MB$ (do $f\left( E \right)=B$) $\left( 2 \right)$
$CD=MA$ (do $f\left( D \right)=A$) $\left( 3 \right)$
$\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow $ M thuộc đường tròn tâm C bán kính CA
$\left( 2 \right)$$\Leftrightarrow $ M thuộc đường tròn tâm B bán kính $CE=BE$
$\left( 3 \right)$$\Leftrightarrow $ M thuộc đường tròn tâm A bán kính $C\text{D}=A\text{E}$.
Vậy $M\equiv E$
Câu 5
Cho hình chữ nhật và một phép dời hình $F$ trong mặt phẳng. Biết rằng qua phép dời hình $F$ tam giác \[\text{A}BC\] biến thành tam giác $BA\text{D}$, tam giác \[A\text{D}C\] biến thành tam giác nào sau đây?
[A]. $CBA$.
[B]. $BC\text{D}$.
[C]. $\text{DAB}$.
[D]. $BM\text{D}$.
Đáp án B
Theo giả thiết \[F:\,\Delta ABC\to \Delta BA\text{D}\]
$\Rightarrow F\left( A \right)=B;\,F\left( B \right)=A;\,F\left( C \right)=D$.
Ta xác định ảnh của D qua phép dời hình F.
Giả sử $F\left( D \right)=E$, ta có $\text{AD}=BE,\,B\text{D}=A\text{E},C\text{D}=DE$
Vậy điểm E là điểm chung của ba đường tròn. Đường tròn tâm B bán kính AD, tâm A bán kính BD và tâm D bán kính b.
Vậy $E\equiv C$ hay $F\left( D \right)=C$$\Rightarrow \Delta A\text{D}C\to \Delta BC\text{D}$ qua F
Câu 6
Trong mặt phẳng tọa độ \[\text{Oxy}\], xét biến hình \[\text{F}:M\left( x;y \right)\to M’\left( \dfrac{1}{2}x;my \right)\]. Với giá trị nào của m thì $F$ là phép dời hình?
[A]. $m=2$.
[B]. $m=-2$.
[C]. $m=1$.
[D]. không tồn tại m.
Đáp án D.
Lấy $O\left( 0;0 \right);\,A\left( 2;2 \right)$ ta có: $F\left( O \right)=O;\,F\left( A \right)=A’\left( 1;2m \right)$
F là phép dời hình $\Leftrightarrow O{{A}^{2}}=OA{{‘}^{2}}$$\Leftrightarrow 8=1+4{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{7}{4}$.
Lấy điểm $B\left( 2;1 \right)\Rightarrow F\left( B \right)=B’\left( 1;m \right)$
$O{{B}^{2}}=OB{{‘}^{2}}\Leftrightarrow 5=1+{{m}^{2}}\Leftrightarrow 5=1+\dfrac{7}{4}$ (vô lí) $\Rightarrow OB\ne OB’$. Nên F không là phép dời hình
Câu 7
Cho hai điểm phân biệt \[\text{A},\,B\] và \[F\] là phép dời hình, biết $F\left( A \right)=A;\,F\left( B \right)=B$. Giả sử N thuôc đường thẳng $AB$, \[N\ne A,\,N\ne B\] và \[F\left( N \right)=M\]. Chọn khẳng định đúng?
[A]. $M\equiv A$.
[B]. $M\equiv B$.
[C]. $M\equiv N$.
[D]. Các khẳng định trên đều sai.
Đáp án C
Ta có $F\left( AB \right)=AB$$\Leftrightarrow $F là phép đồng nhất $\Rightarrow M\equiv N$
Câu 8
Cho $\Delta ABC$ và điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{CM}$. $F$ là phép dời hình. Gọi $F\left( A \right)={{A}_{1}};\,F\left( B \right)={{B}_{1}};\,F\left( C \right)={{C}_{1}};\,F\left( M \right)={{M}_{1}}$, biết $AB=4,\,\,BC=5,\,\,CA=6$. Độ dài đoạn \[{{\text{A}}_{1}}{{M}_{1}}\] bằng:
[A]. $116$.
[B]. $\sqrt{106}$.
[C]. $57$.
[D]. $74$.
Đáp án B.
Theo tính chất phép dời hình $AM={{A}_{1}}{{M}_{1}}$
$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{CM}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=2\left( \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$$\Rightarrow A{{M}^{2}}=4\text{A}{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-4\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ $\left( * \right)$
Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Rightarrow B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$
$\Rightarrow 2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}$, thế vào $\left( * \right)$ ta có: $A{{M}^{2}}=2\text{A}{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}+2B{{C}^{2}}=72-16+50=106$ $\Rightarrow AM=\sqrt{106}$
Câu 9
Mệnh đề nào sau đây là sai?
[A]. Hai hình bằng nhau thì luôn phải trùng khít lên nhau.
[B]. Hai hình bằng nhau khi có phép dời hình biến hình này thành hình kia.
[C]. Gọi A, B tương ứng là tập hợp điểm của hình $H$ và $H’$.
[D]. Hai hình trùng khít lên nhau thì luôn phải bằng nhau.
Đáp án A
Ví dụ: ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( \Delta ABC \right)=\Delta A’B’C’,\,\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow \Delta ABC=\Delta A’B’C’$ và phân biệt.
Câu 10
Cho hai điểm A, B và phép dời hình $F$ thỏa mãn $F\left( A \right)=A;\,\,F\left( B \right)=B$. Gọi C là điểm không thuộc đường thẳng A[B]. Biết $F\left( C \right)$ và $C$ nằm cùng phía với $AB$. Với mọi M bất kì chọn khẳng định đúng.
[A]. $F\left( M \right)$ và $M$ đối xứng nhau qua $AB$.
[B]. $F\left( M \right)$ và $M$ đối xứng nhau qua $BC$.
[C]. $F\left( M \right)=M$ với mọi $M$.
[D]. $F\left( M \right)=A$.
Đáp án C
Gọi ${{C}_{1}}=F\left( C \right)$ và $F\left( A \right)=A,\,F\left( B \right)=B$ nên theo tính chất phép dời hình ta có $\Delta ABC=\Delta AB{{C}_{1}}$
Có 2 khả năng xảy ra: C và ${{C}_{1}}$ đối xứng với nhau qua $AB$ hoặc $C\equiv {{C}_{1}}$
Theo giả thiết C và ${{C}_{1}}$ cùng phía so với $AB$$\Rightarrow C\equiv {{C}_{1}}$.
Với mọi M ta vẽ đường thẳng qua M cắt AB, AC tại D và E. Theo câu 7: $F\left( D \right)=D,\,F\left( E \right)=E\Rightarrow F\left( M \right)=M$.
Câu 11
Trong mặt phẳng xét hình $\left( H \right)$ là hình gồm hai đường tròn tâm O và tâm $O’$ có bán kính tương ứng là $R$ và $\text{R}’$ (với $R>R’$). Khi đó:
[A]. Đường nối tâm \[\text{OO}’\] sẽ chia hình \[\left( H \right)\] thành hai phần bằng nhau.
[B]. Đường vuông góc với đường nối tâm \[\text{OO}’\] và đi qua trung điểm của \[\text{OO}’\] sẽ chia hình $\left( H \right)$ thành hai phần bằng nhau.
[C]. Đường nối hai điểm bất kì $A,\,\,B$ (không trùng với \[\text{OO}’\]) với A thuộc $\left( O \right)$, B thuộc $\left( O’ \right)$ sẽ chia hình $\left( H \right)$ thành hai phần bằng nhau.
[D]. Mỗi đường thẳng bất kì đi qua \[\text{O}\] hoặc \[\text{O}’\] chia hình $\left( H \right)$ thành hai phần bằng nhau.
Đáp án A
Câu 12
Cho hình chữ nhật $ABC\text{D}$. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Mệnh đề nào sau đây đúng:
[A]. Hai hình thang $A\text{EJ}K$ và $F\text{O}IC$ bằng nhau.
[B]. Hai hình thang $B\text{EJO}$ và $F\text{O}IC$ bằng nhau.
[C]. Hai hình thang $A\text{EJ}K$ và \[\text{DHOK}\] bằng nhau.
[D]. Hai hình thang $BJ\text{EF}$ và \[\text{ODKH}\] bằng nhau.
Đáp án A
Ta có hình thang $A\text{EJ}K$ biến thành hình thang $F\text{O}IC$ qua hai phép dời hình là phép tịnh tiến ${{T}_{\overrightarrow{EO}}}$ và phép đối xứng trục EH.
Câu 13
Cho phép dời hình: $F:M\left( x;y \right)\to M’\left( x-3;y+1 \right).$ Xác định ảnh của đường tròn $\left( C \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=2$ qua phép dời hình $F$.
[A]. ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=2$.
[B]. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2$.
[C]. ${{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=2$.
[D]. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2$.
Đáp án C
Ta có $F:M\left( x;y \right)\to M’\left( x’;y’ \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x’=x-3 \\
& y’=y+1 \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x=x’+3 \\
& y=y’-1 \\
\end{align} \right.$
$M\left( x;y \right)\in \left( C \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=2$$\Leftrightarrow {{\left( x’+4 \right)}^{2}}+{{\left( y’-3 \right)}^{2}}=2$.
Vậy phương trình $\left( C’ \right)$ là: ${{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=2$
Câu 14
Trong mặt phẳng \[\text{Ox}y\], cho các phép dời hình: \[{{F}_{1}}:\,M\left( x;y \right)\to M’\left( x+2;y-4 \right)\] và\[{{F}_{2}}:\,M\left( x;y \right)\to M’\left( -x;-y \right)\]. Tìm tọa độ ảnh của điểm \[\text{A}\left( 4;-1 \right)\] qua \[{{F}_{1}}\] rồi đến \[{{F}_{2}}\], nghĩa là ${{F}_{2}}\left[ {{F}_{1}}\left( A \right) \right]$.
[A]. $\left( 4;1 \right)$.
[B]. $\left( 0;5 \right)$.
[C]. $\left( -6;5 \right)$.
[D]. $\left( 6;5 \right)$.
Đáp án C
Ta có: ${{F}_{1}}:\,A\left( 4;-1 \right)\to A’\left( x’;y’ \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x’=6 \\
& y’=-5 \\
\end{align} \right.$
${{F}_{2}}:\,A’\left( 6;-5 \right)\to A”\left( x”;y” \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x”=-6 \\
& y”=5 \\
\end{align} \right.$
Câu 15
Mệnh đề nào sau đây là sai: Phép biến hình thực hiện:
[A]. qua hai phép đối xứng trục có các trục cắt nhau là một phép quay.
[B]. qua hai phép tịnh tiến ta được một phép tịnh tiến.
[C]. qua hai phép đối xứng tâm ta được phép tịnh tiến hoặc đối xứng tâm.
[D]. qua hai phép quay ta luôn được một phép đồng nhất.
Đáp án D
Thật vậy xét 2 phép quay: ${{Q}_{\left( O,\alpha \right)}}:M\to M’\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& OM=OM’ \\
& \left( OM,OM’ \right)=\alpha \\
\end{align} \right.$ và ${{Q}_{\left( I,\varphi \right)}}:M’\to M”\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& IM’=IM” \\
& \left( IM’,IM” \right)=\varphi \\
\end{align} \right.$ (với tâm $O\ne I,\,\alpha \ne \varphi $)$\Rightarrow \exists \,M\ne M’$ $\Rightarrow $ Không có phép đồng nhất thỏa mãn.