Phép quay: ảnh của một điểm hoặc một hình, phương pháp tọa độ
Câu 1
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] , cho điểm $A\left( x;y \right)$. Biểu thức tọa độ của điểm $A’={{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}\left( A \right)$ là:
[A]. $\left\{ \begin{align}
& x’=y \\
& y’=-x \\
\end{align} \right.$ .
[B]. $\left\{ \begin{align}
& x’=-y \\
& y’=x \\
\end{align} \right.$.
[C]. $\left\{ \begin{align}
& x’=-y \\
& y’=-x \\
\end{align} \right.$.
[D]. $\left\{ \begin{align}
& x’=y \\
& y’=x \\
\end{align} \right.$.
Đáp án B.
Câu 2
Trong mặt phẳng tọa độ\[Oxy\] , cho điểm $A\left( x;y \right)$ . Biểu thức tọa độ của điểm $A’={{Q}_{\left( O,-{{90}^{0}} \right)}}\left( A \right)$ là:
[A]. $\left\{ \begin{align}
& x’=y \\
& y’=-x \\
\end{align} \right.$ .
[B]. $\left\{ \begin{align}
& x’=-y \\
& y’=x \\
\end{align} \right.$.
[C]. $\left\{ \begin{align}
& x’=-y \\
& y’=-x \\
\end{align} \right.$.
[D]. $\left\{ \begin{align}
& x’=y \\
& y’=x \\
\end{align} \right.$.
Đáp án A.
Câu 3
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho điểm $A\left( x;y \right)$ . Biểu thức tọa độ của điểm $A’={{Q}_{\left( O,\varphi \right)}}\left( A \right)$ là:
[A]. $\left\{ \begin{align}
& x’=x\cos \varphi -y\sin \varphi \\
& y’=x\sin \varphi +y\cos \varphi \\
\end{align} \right.$ .
[B]. $\left\{ \begin{align}
& x’=x\cos \varphi +y\sin \varphi \\
& y’=x\sin \varphi -y\cos \varphi \\
\end{align} \right.$.
[C]. $\left\{ \begin{align}
& x’=x\sin \varphi -y\cos \varphi \\
& y’=x\sin \varphi +y\cos \varphi \\
\end{align} \right.$.
[D]. $\left\{ \begin{align}
& x’=x\cos \varphi -y\sin \varphi \\
& y’=x\cos \varphi +y\sin \varphi \\
\end{align} \right.$.
Đáp án [A].
Câu 4
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho điểm $A\left( 4;1 \right)$. Biểu thức tọa độ của điểm $A’={{Q}_{\left( O,-{{90}^{0}} \right)}}\left( A \right)$ là:
[A]. $A\left( -1;4 \right)$.
[B]. $A\left( 1;-4 \right)$.
[C]. $A\left( 4;-1 \right)$.
[D]. $A\left( -4;-1 \right)$.
Đáp án B.
Câu 5
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho điểm $A\left( x;y \right)$ . Biểu thức tọa độ của điểm $A’={{Q}_{\left( O,{{60}^{0}} \right)}}\left( A \right)$ là:
[A]. $\left\{ \begin{align}
& x’=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y \\
& y’=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{1}{2}y \\
\end{align} \right.$ .
[B]. $\left\{ \begin{align}
& x’=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y \\
& y’=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x-\dfrac{1}{2}y \\
\end{align} \right.$.
[C]. $\left\{ \begin{align}
& x’=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}y \\
& y’=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{1}{2}y \\
\end{align} \right.$.
[D]. $\left\{ \begin{align}
& x’=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y \\
& y’=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{1}{2}y \\
\end{align} \right.$.
Đáp án [A].
Vận dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm $O$ và góc quay \[\varphi \] ta được đáp án $A$.
Câu 6
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho hình vuông \[ABCD\] tâm $I\left( 1;2 \right)$, biết điểm $A\left( 4;5 \right)$ . Khi đó với $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$, $C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}} \right)$, $D\left( {{x}_{D}};{{y}_{D}} \right)$thì ${{x}_{B}}.{{x}_{C}}.{{x}_{D}}$ bằng:
[A]. 12.
[B]. 8.
[C]. 16.
[D]. 32.
Đáp án C.
Ta có: \[{{Q}_{\left( I,{{90}^{0}} \right)}}\left( A \right)=B\Rightarrow B\left( -2;5 \right)\]. $I$ là trung điểm $AC$ \[\Rightarrow C\left( -2;-1 \right)\]; $I$là trung điểm \[BD\]\[\Rightarrow D\left( 4;-1 \right)\]
\[\Rightarrow {{x}_{B}}.{{x}_{C}}.{{x}_{D}}=16\].
Câu 7
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \[d\] :$x+y+1=0$ , điểm $I\left( 1;-2 \right)$, phép quay ${{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}\left( d \right)=d’$ . Xác định phương trình đường thẳng \[{d}’\].
[A]. $-x+y-2=0$ .
[B]. $x-y-1=0$.
[C]. $x-y+3=0$.
[D]. $x-y-3=0$.
Đáp án D.
Ta có: \[I\in d\Rightarrow I\in {d}’\]
Đường thẳng ${d}’$ có dạng: \[x-y+c=0\]. Vì \[{d}’\] đi qua $I$nên $1+2+c=0$ \[\Rightarrow c=-3\Rightarrow {d}’:\,x-y-3=0\]
Câu 8
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho điểm $A\left( 0;3 \right)$. Tìm tọa độ điểm \[A\] là ảnh của \[A\] qua phép quay ${{Q}_{\left( O,-{{45}^{0}} \right)}}$ .
[A]. $A’\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}};\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)$ .
[B]. $A’\left( \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{4} \right)$.
[C]. $A’\left( \dfrac{-3}{\sqrt{2}};\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
[D]. $A’\left( \dfrac{3}{\sqrt{2}};\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)$.
Đáp án D.
Áp dụng biểu thức tọa độ \[\Rightarrow {A}’\left( \dfrac{3}{\sqrt{2}};\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)\]
Câu 9
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], tìm phép quay \[Q\] biến điểm $A\left( -1;5 \right)$ thành điểm $A’\left( 5;1 \right)$
[A]. ${{Q}_{\left( O,-{{90}^{0}} \right)}}\left( A \right)=A’$ .
[B]. ${{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}\left( A \right)=A’$.
[C]. ${{Q}_{\left( O,{{180}^{0}} \right)}}\left( A \right)=A’$.
[D]. ${{Q}_{\left( O,-{{270}^{0}} \right)}}\left( A \right)=A’$.
Đáp án A.
Ta có: \[\left\{ \begin{align}
& OA=O{A}’=\sqrt{26} \\
& \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{O{A}’}=0 \\
\end{align} \right.\]\[\Rightarrow {{Q}_{\left( O,-{{90}^{0}} \right)}}\left( A \right)={A}’\]
(Do $A$ nằm ở góc phần tư thứ hai, \[{A}’\] nằm ở góc phần tư thứ nhất)
Câu 10
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho phép quay tâm \[O\] góc quay $\alpha $ biến điểm $M\left( x;y \right)$ thành điểm $M’\left( \dfrac{1}{2}x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y;\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{1}{2}y \right)$ . Tìm $\alpha $.
[A]. $\alpha =\dfrac{\pi }{6}$ .
[B]. $\alpha =\dfrac{\pi }{3}$.
[C]. $\alpha =\dfrac{2\pi }{3}.$
[D]. $\alpha =\dfrac{3\pi }{4}$.
(Do $A$ nằm ở góc phần tư thứ hai, \[{A}’\] nằm ở góc phần tư thứ nhất)
Đáp án B.
Theo biểu thức tọa độ: \[\left\{ \begin{align}
& {x}’=x.\cos \alpha -y.\sin \alpha \\
& {y}’=x.\sin \alpha +y.\cos \alpha \\
\end{align} \right.\]. Do giá trị tọa độ \[{M}’\Rightarrow \alpha =\dfrac{\pi }{3}\]
Câu 11
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho $I\left( 2;1 \right)$ và đường thẳng $d:\,\,2x+3y+4=0$. Tìm ảnh của \[d\] qua ${{Q}_{\left( I,{{45}^{0}} \right)}}$
[A]. $-x+5y-2+3\sqrt{2}=0$.
[B]. $-x+5y-3+10\sqrt{2}=0$.
[C]. $x-5y+3+\sqrt{2}=0$.
[D]. $-x+5y-3+11\sqrt{2}=0$.
Đáp án D.
Chọn 2 điểm \[M\left( -2;0 \right),\,N\left( 1;-2 \right)\in d\]. Gọi \[{M}’\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\] và \[{N}’\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] là ảnh của $M,\,N$ qua \[{{Q}_{\left( I,{{45}^{0}} \right)}}\]. Áp dụng biểu thức tọa độ:
\[\left\{ \begin{align}
& {x}’-{{x}_{0}}=\left( x-{{x}_{0}} \right)\cos \varphi -\left( y-{{y}_{0}} \right)\sin \varphi \\
& {y}’-{{y}_{0}}=\left( x-{{x}_{0}} \right)\sin \varphi +\left( y-{{y}_{0}} \right)\cos \varphi \\
\end{align} \right.\Rightarrow {M}’\left( 2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2};1-\dfrac{5\sqrt{2}}{2} \right),\,{N}’\left( 2+\sqrt{2};1-2\sqrt{2} \right)\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{{M}'{N}’}=\left( \dfrac{5\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\]
Gọi \[{d}’={{Q}_{\left( I,{{45}^{0}} \right)}}\left( d \right)\,\Rightarrow \,{d}’\] đi qua \[{M}’,\,{N}’\] và có vtcp \[\overrightarrow{u}=\left( 5;1 \right)\]\[\Rightarrow {d}’:\,-x+5y-3+11\sqrt{2}=0.\]
Câu 12
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường tròn $\left( C \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x+5=0$. Tìm ảnh đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ của $\left( C \right)$ qua ${{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}$.
[A]. ${{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4$.
[B]. $\left( C \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6y-6=0$.
[C]. ${{x}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=4$.
[D]. $\left( C \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-5=0$.
Đáp án C.
Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( -3;0 \right)\] và bán kính \[R=2.\,\,{{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}\left( I \right)={I}’\Rightarrow \,{I}’\left( 0;-3 \right)\].
Phương trình đường tròn \[\left( {{C}’} \right):\,{{x}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=4.\]
Câu 13
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho phép quay tâm $O$ góc quay ${{45}^{0}}$ ${{Q}_{\left( O,{{45}^{0}} \right)}}$. Tìm ảnh của đường tròn $\left( C \right):\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$.
[A]. ${{\left( x-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=4$
[B]. ${{\left( x+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=4$.
[C]. ${{\left( x-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=4$.
[D]. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-2=0$.
Đáp án A.
Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm $I\left( 1;0 \right)$ và bán kính $R=2$.
\[{{Q}_{\left( O,{{45}^{0}} \right)}}\left( I \right)={I}’\left( {x}’;{y}’ \right)\]\[\Rightarrow \,\left\{ \begin{align}
& {x}’=1.\cos {{45}^{0}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
& {y}’=1.\sin {{45}^{0}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{align} \right.\].
Phương trình đường tròn: \[{{\left( x-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=4\]
Câu 14
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], viết phương trình các cạnh $AB,\,BC$ của $\Delta ABC$ biết $A\left( 1;2 \right)$, $B\left( 3;4 \right)$ và \[\cos A=\dfrac{2}{\sqrt{5}},\,\cos B=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\].
[A]. \[AC:\,x-y-1=0,\,BC:\,x-y+5=0\].
[B]. \[AC:\,3x-y-2=0,\,BC:\,x-2y+3=0\].
[C]. \[AC:\,3x-y-1=0,\,BC:\,x-2y+5=0\].
[D]. \[AC:\,3x-y-4=0,\,BC:\,x-2y+2=0\].
Đáp án C.
Sử dụng tính chất của phép quay tâm \[I\left( a;b \right)\in d:\,Ax+By+C=0\] thành \[{d}’:\,\left( A-B\tan \varphi \right)\left( x-a \right)+\left( A\tan \varphi +B \right)\left( y-b \right)=0\]. Khi đó ta được phương trình:
\[AC:\,3x-y-1=0,\,BC:\,x-2y+5=0\]