Phương trình bậc nhất và bậc 2 một ẩn
1. Phương trình bậc nhất \(ax + b = 0\)
+) \(a \ne 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = – \dfrac{b}{a}\)
+) \(a = 0\) và $b \ne 0$ thì phương trình vô nghiệm.
+) \(a = 0\) và $b = 0$ thì phương trình vô số nghiệm.
2. Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)
+) \(a = 0\) thì trở thành phương trình \(bx + c = 0\)
+) \(a \ne 0\)
i) \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \dfrac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
ii) \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x = – \dfrac{b}{{2a}}\)
iii) \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
3. Định lý Vi-et cho phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1} \le {x_2}\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
+) Nếu đa thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì nó viết được thành \(f\left( x \right) = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\)
+) Nếu hai số \({x_1},{x_2}\) có tổng \({x_1} + {x_2} = S\) và tích \({x_1}.{x_2} = P\) thì chúng là nghiệm của phương trình \({x^2} – Sx + P = 0\)
Cho phương trình bậc hai có hai nghiệm \({x_1} \le {x_2}\). Đặt \({x_1} + {x_2} = S,{x_1}.{x_2} = P\), khi đó:
– Nếu \(P < 0\) thì \({x_1} < 0 < {x_2}\) (hai nghiệm trái dấu).
– Nếu \(P > 0\) và \(S > 0\) thì \(0 < {x_1} \le {x_2}\) (hai nghiệm dương).
– Nếu \(P > 0\) và \(S < 0\) thì \({x_1} \le {x_2} < 0\) (hai nghiệm âm).