1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a’x + b’y = c’\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0;a{‘^2} + b{‘^2} \ne 0} \right)\)
– Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ.
– Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Gọi \(d,d’\) lần lượt là các đường thẳng \(ax + by = c\) và \(a’x + b’y = c’\). Khi đó:
+) Hệ \(\left( I \right)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow d,d’\) cắt nhau.
+) Hệ \(\left( I \right)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow d,d’\) song song.
+) Hệ \(\left( I \right)\) có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow d,d’\) trùng nhau.
2. Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a’x + b’y = c’\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0;a{‘^2} + b{‘^2} \ne 0} \right)\)
Phương pháp:
– Bước 1: Tính các giá trị:
\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a\\a’\end{array}&\begin{array}{l}b\\b’\end{array}\end{array}} \right| = ab’ – a’b\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}c\\c’\end{array}&\begin{array}{l}b\\b’\end{array}\end{array}} \right| = cb’ – c’b\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a\\a’\end{array}&\begin{array}{l}c\\c’\end{array}\end{array}} \right| = ac’ – a’c\end{array}\)
– Bước 2: Biện luận nghiệm của hệ phương trình:
a) Nếu \(D \ne 0\) thì hệ có một nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\), trong đó: \(x = \dfrac{{{D_x}}}{D};y = \dfrac{{{D_y}}}{D}\)
b) Nếu \(D = 0\) và:
+) \({D_x} \ne 0\) hoặc \({D_y} \ne 0\) thì hệ vô nghiệm.
+) \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình \(ax + by = c\)
– Bước 3: Kết luận
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\x + my = 2\end{array} \right.\)
– Bước 1: Tính:
\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = {m^2} – 1 = \left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = {m^2} + m – 2 = \left( {m – 1} \right)\left( {m + 2} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}\end{array}} \right| = 2m – m – 1 = m – 1\end{array}\)
– Bước 2: Biện luận:
+) Nếu \(D \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) với:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left( {m – 1} \right)\left( {m + 2} \right)}}{{\left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{m + 2}}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{m – 1}}{{\left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{m + 1}}\end{array} \right.\)
+) Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 1\end{array} \right.\) thì:
TH1: \(m = 1\) thì \({D_x} = {D_y} = 0\), hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x + y = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 2 – x\end{array} \right.\)
TH2: \(m = – 1\) thì \({D_x} \ne 0\) nên hệ vô nghiệm.
– Bước 3: Kết luận:
+) Với \(m \ne \pm 1\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {\dfrac{{m + 2}}{{m + 1}};\dfrac{1}{{m + 1}}} \right)\)
+) Với \(m = 1\) thì hệ có vô số nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 2 – x\end{array} \right.\)
+) Với \(m = – 1\) thì hệ vô nghiệm.