Lý thuyết về Quá trình đẳng nhiệt, định luật Bôilơ-Mariốt (Boyle-Mariotte)
Quá trình đẳng nhiệt là gì?
Quá trình đẳng nhiệt là Quá trình biến đổi trạng thái khi nhiệt độ không đổi.
Định luật Bôilơ-Mariốt (Boyle-Mariotte)
Đối với lượng khí lí tưởng xác định của một hệ khép kín, trong quá trình biến đổi trạng thái với thông số nhiệt độ không đổi áp suất của khí lí tưởng gây ra áp lực tỉ lệ nghịch với thể tích.
Công thức của Định luật Bôilơ-Mariốt
\[p\sim \dfrac{1}{V}\]
\[p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2} = … = p_{n}V_{n}\]
\[pV\] = hằng số
trong đó:
- p: áp suất
- V: thể tích
Đường đẳng nhiệt
Bài quá trình đẳng nhiệt, định luật Bôilơ-Mariốt
Bài tập quá trình đẳng nhiệt, định luật Bôilơ-Mariốt cơ bản
p1V1 = p2V2 = … =p$_{n}$V$_{n}$
trong đó:
- p: áp suất
- V: thể tích
- đơn vị áp suất 1atm=760mmHg=1,013.105Pa
- đơn vị thể tích: 1 lít=1 dm3=10$^{-3 }$m3=10$^{3 }$cm3
Bài tập quá trình đẳng nhiệt, định luật Bôilơ-Mariốt có thể tích, áp suất khó xác định
áp dụng công thức tính thể tích khí trong ống hình trụ chiều dài l, tiết diện S
V = l.S
áp dụng công thức tính thể tích khi biết khối lượng m và khối lượng riêng ρ của chất khí
\[V=\dfrac{m}{\rho }\]
công thức tính áp suất tại độ sâu h trong lòng chất lỏng
p=po + ρgh
công thức tính áp suất do lực F nén vuông góc lên diện tích S
\[p=\dfrac{F}{S}\]
Bài tập quá trình đẳng nhiệt, định luật Bôilơ-Mariốt bơm khí vào trong bình:
Trạng thái 1: thường lấy là lúc chưa bơm:
- thể tích khí=thể tích khí có sẵn trong bình + thể tích khí x số lần bơm
- áp suất=áp suất có trong bình
Trạng thái 2:
- thể tích khí=thể tích bình chứa
- áp suất tính theo công thức định luật Boyle-Mariotte
Video Bài quá trình đẳng nhiệt, định luật Bôilơ-Mariốt
Bài tập quá trình đẳng nhiệt, định luật Bôilơ-Mariốt
Bài 1: Một lượng khí xác định ở áp suất 3atm có thể tích là 10 lít. Tính thể tích của khối khí khi nén đẳng nhiệt đến áp suất 6atm.
Phân tích bài toán
trạng thái 1: p1=3atm; V1=10lít
trạng thái 2: p2=6atm
Giải:
Quá trình đẳng nhiệt => p1V1=p2V2 => V2=5lít
hoặc: áp suất tăng 2 => thể tích giảm 2 => V2=5lít
Bài 2: Nén đẳng nhiệt khối khí xác định làm áp suất thay đổi một lượng là 0,5atm. Biết thể tích và áp suất ban đầu lần lượt là 5lít và 2atm, tính thể tích của khối khí lúc sau.
Phân tích bài toán
Trạng thái 1: V1=5lít; p1=2atm
Trạng thái 2: p2=2+0,5=2,5atm (nén khí thể tích giảm => áp suất tăng)
Giải
p1V1=p2V2=> V2=4lít
Bài 3: Khối lượng riêng của oxi ở điều kiện tiêu chuẩn là 1,43kg/m3. Tính khối lượng khí oxi ở trong bình kín thể tích 10 lít, áp suất 150atm nhiệt độ 0oC.
Phân tích bài toán:
điều kiện tiêu chuẩn (trạng thái 1) p1=1atm; t1=0oC; ρ=1,43kg/m3
trạng thái 2: V2=10lit; p2=150atm; t2=0oC
Giải
p1V1=p2V2 => V1=1500lít=1,5m3
=> m=ρV=2,145kg
Bài 4: 6 lít khí giãn đẳng nhiệt đến thể tích 9 lit thì áp suất thay đổi một lượng 50kPa. Xác định áp suất ban đầu và áp suất lúc sau của khối khí
Phân tích bài toán
trạng thái 1: V1=6 lít; p1
trạng thái 2: V2=9lít; p2=p1 – 50kPa (thể tích tăng áp suất giảm)
Giải
p1V1=p2V2=(p1 – 50)V2 => p1=150kPa => p2=100kPa
Bài 5: Một bong bóng khí ở độ sâu 5m có thể tích thay đổi như thế nào khi nổi lên mặt nước cho áp suất tại mặt nước là 105Pa, khối lượng riêng của nước là 1000kg/m3, gia tốc trọng trường là 10m/s2.
phân tích bài toán
trạng thái 1: ở độ sâu 5m: V1; p1=ρgh + 105Pa=1,5.105Pa
trạng thái 2: ở mặt nước: V2; p2=105Pa
Giải
p1V1=p2V2 => V2=1,5V1
Bài 6: Tính độ sau của đáy hồ nơi có bong bóng khí nổi lên từ đáy, biết khối lượng riêng của nước là 103kg/m3, thể tích của bong bóng khí tại mặt hồ tăng 1,2 lần và áp suất tại mặt hồ là 105Pa, lấy g=10m/s2.
phân tích bài toán:
trạng thái 1 (tại đáy): V1; p1=po + ρgh
trạng thái 2 (tại mặt): V2=1,2V1; p2=po
Giải:
V1p1=V2p2 => h=2m
Bài 7: Tính thể tích và áp suất của một lượng khí xác định biết nếu áp suất tăng thêm 5.105Pa thì thể tích khí thay đổi 5 lít, nếu áp suất tăng thêm 2.105Pa thì thể tích của khối khí thay đổi 3 lít. Biết quá trình biến đổi trạng thái có nhiệt độ không đổi.
phân tích bài toán:
trạng thái 1: V1; p1
trạng thái 2: V2=V1– 5; p2=p1 + 5.105Pa
trạng thái 3: V3=V1 – 3; p3=p1 + 2.105Pa
lưu ý: áp suất tăng thì thể tích giảm
Giải:
p1V1=p2V2=p3V3 => p1=4.105Pa; V1=9 lít
Bài 8: Một ống thủy tinh hình trụ tiết diện S, một đầu kín một đầu hở. Bên trong ống thủy tinh chứa khí lí tưởng được ngăn với bên ngoài bởi cột thủy ngân có chiều dài 15cm. Tại thời điểm ban đầu ống để thẳng đứng đầu hở quay lên trên (hình vẽ), người ta đo được chiều dài của cột không khí bên trong ống là 30cm. Biết áp suất khí quyển là 1,013.105Pa, lấy g=10m/s2, khối lượng riêng của thủy ngân là 13600 kg/m3. Tính chiều dài của cột không khí trong các trường hợp sau (lưu ý giọt thủy ngân không bị rơi khỏi ống thủy tinh)
a) Ống được đặt nằm ngang.
b) Ống được đặt thẳng đứng, miệng ống ở dưới.
c) Ống được đặt nghiêng một góc 30$^{0 }$so với phương thẳng đứng, miệng ống ở trên.
d) Ống được đặt nghiêng một góc 30$^{0 }$so với phương thẳng đứng, miệng ống ở dưới.
Phân tích bài toán:
để giải bài toán cần sử dụng công thức tính thể tích hình trụ V= h.S với S là tiết diện ngang, h là chiều cao của ống. Công thức tính áp suất p=F/S với F=mg=ρVg=ρloS.g là trọng lượng của vật nén lên diện tích S.
lo=15cm=0,15m; l1=30cm=0,3m; po=1,013.105(Pa)
Trạng thái 1: khi ống thẳng đứng, miệng ống ở trên
V1=l1.S; p1=po + ρlog
a/ ống đặt nằm ngang
trạng thái 2: V2=l2.S; p2=po
V2p2=V1p1 => l2=0,36m
b/ ống đặt thẳng đứng miệng ống quay xuống dưới:
trạng thái 3: V3=l3.S; p3=po – ρlog => l3=0,45m
c/ ống đặt thẳng đứng miệng ống quay lên, nghiêng góc 30o
trạng thái 4: V4=l4.S; p4=po + ρlog.cos30o
V4p4=V1p1 => l4=0,307m
d/ ống đặt thẳng đứng miệng ống quay xuống, nghiêng góc 30o
trạng thái 5: V5=l5.S; p5=p$_{o }$- ρlog.cos30o
V5p5=V1p1 => l5=0,43m
Lưu ý: nếu áp suất trong bài tính theo mmHg thì áp suất trong ống p=po ± lo
Bài 9: Ấn một ống hình trụ dài 40cm một đầu hở xuống nước theo phương thẳng đứng (như hình vẽ). Tìm chiều cao cột nước dâng lên trong ống, biết khối lượng riêng của nước là 103kg/m3, lấy g=10m/s2, áp suất khi trong ống khi ở trên mặt nước là 105Pa, nhiệt độ không thay đổi trong toàn bộ quá trình.
Phân tích bài toán
l1=40cm=0,4m; ρ=103kg/m3
Trạng thái 1: V1=l1.S; p1=105Pa
Trạng thái 2: V2=l2.S; p2=p1 + ρgl2
Giải
p1V1=p2V2 => l2=0,385 (m)
=> x=l1 – l2=0,015 (m)
Bài 10: Dùng một bơm tay để bơm không khí 1atm vào quả bóng thể tích 2 lít có áp suất bên trong là 1atm. Tính áp suất bên trong quả bóng sau 60 lần bơm, biết mỗi lần bơm được 50cm3 không khí vào quả bóng. Coi quá trình bơm nhiệt độ là không đổi
phân tích bài toán
thể tích khí bơm vào bóng V=50.60=3000cm3=3lít
trạng thái 1: V1=3 + 2=5 lít; p1=1atm
trạng thái 2: V2=2 lít; p2=?
Giải:
p1V1=p2V2 => p2=2,5atm
Bài 11. Nếu áp suất của một lượng khí biến đổi 2.105N/m2 thì thể tích biến đổi 3lít. Nếu áp suất biến đổi 5.105N/m2 thì thể tích biến đổi 5lít. Tính áp suất và thể tích ban đàu của khí biết nhiệt độ của khí không đổi.
Trạng thái 1: p1; V1
trạng thái 2: p2 = p1 + 2.105; V2 = V1 – 3
Trạng thái 3: p3 = p1 + 5.105; V2 = V1 – 5
p1V1 = p2V2 = p3V3 => p1 = 4.105N/m2; V1 = 9lít.
Bài 12. Mỗi lần bơm đưa được Vo = 80cm3 không khí vào ruột xe. Sau khi bơm diện tích tiếp xúc của các vỏ xe với mặt đường là 30cm2. Thể tích của ruột xe sau khi bơm là 2000cm3. Áp suất khí quyển po = 105Pa. Trọng lượng xe là 600N. Coi nhiệt độ là không đổi, tính số lần bơm.
Sau n lần bơm, lượng khí vào trong bánh xe
ở trạng thái 1: p1 =105Pa; V1 =2000 + nVo
ở trạng thái 2: p2 = po + p’ = po + F/S = 3.105Pa; V2 = 2000cm3
p1V1 = p2V2 => n = 50
Bài 13. Một xilanh được đậy bằng pittong. Pittong có thể trượt không ma sát dọc theo thành xilanh. Pittong có khối lượng m, diện tích S. Khí có thể tích ban đầu V. áp suất khí quyển là po. Tìm thể tích khí nếu xilanh chuyển động thẳng đứng với gia tốc a. coi nhiệt độ là không đổi.
Gọi V,p là thể tích và áp suất khí trong xilanh khi pittong đứng cân bằng.
Các lực tác dụng vào pitton:
Trọng lực P = mg;
lực đẩy khí trong xilanh F1 = pS;
lực đẩy của khí ngoài xilanh: F2 = poS
pittong cân bằng => pS = poS + mg
Gọi V’; p’ là thể tích và áp suất khí trong xilanh khi pittong chuyển động
Các lực tác dụng vào pitton:
Trọng lực P = mg;
lực đẩy khí trong xilanh F’1 = p’S;
lực đẩy của khí ngoài xilanh: F’2 = poS
Định luật II Newton: mg + poS – p’S = ±ma (đi lên hoặc đi xuống)
quá trình đẳng nhiệt p’V’ = pV => p’ = pV/V’
=> mg + poS – \[\dfrac{V}{V’}\](mg + poS) = ±ma
=> V’ = (mg + poS)V/[m(g ± a) + poS]
Bài 14. Một xilanh nằm ngang kín hai đầu, có thể tích V = 1,2lít và chứa không khí ở áp suất po = 105N/m2. Xilanh được chia thành 2 phần bằng nhau bởi pittong mỏng khối lượng 100g đặt thẳng đứng. Chiều dài xilanh 2L = 0,4m. Xilanh được quay với vận tốc góc ω quanh trục thẳng đứng ở giữa xilanh. Tính ω nếu pittong nằm cách trục quay đoạn r = 0,1m khi có cân bằng tương đối.
khi xilanh đứng yên, khí trong mỗi nửa xilanh có thể tích là V/2 = SL = 0,6lít = 0,6.10-3m3, áp suất là po
khi xilanh quay, khí trong nửa xilanh I có thể tích V1 = S(L –r); áp suất p1
khí trong nửa xilanh II có thể tích V2 = S(L+r), áp suất p2
Định luật Bôilơ-Mariot cho hai nửa xilanh
poSL = p1S(L-r) = p2S(L+r)
=> p1 = po\[\dfrac{L}{L-r}\]; p2 = po\[\dfrac{L}{L+r}\]
Các lực tác dụng lên pittong theo phương ngang F1 = p1S; F2 = p2S; các lực này gây ra gia tốc hướng tâm làm xilanh quay đều
F1 – F2 = mrω2 => ω = 200rad/s
Bài 15. Một bơm hút thể tích ΔV phải bơm bao nhiêu lần hút khí trong bình có thể tích V từ áp suất po đến áp suất p. Coi nhiệt độ của khí là không đổi.
Ban đầu khí trong bình có thể tích V, áp suất po
sau khi bơm lần thứ nhất khí trong bình có thể tích V + ΔV áp suất p1
=> p1/po = V/(V + ΔV)
Sau khi bơm lần thứ hai khí trong bình có thể tích V + ΔV áp suất p2
p2/po = (p2/p1).(p1/po) = (\[\dfrac{V}{V+\Delta V}\])2
tương tự sau lần bơm thứ n khí trong bình có áp suất p
=> p/po = (\[\dfrac{V}{V+\Delta V}\])$^{n}$ => n =\[\dfrac{\lg\dfrac{p}{p_o}}{\lg\dfrac{V}{V+\Delta V}}\]
lg: hàm logarit cơ số 10
Bài 16. Một ống nhỏ tiết diện đều, một đầu kín. Một cột thủy ngân cao 75mm đứng cân bằng, cách đáy 180mm khi ống thẳng đứng miệng ống ở trên và cách đáy 220mm khi ống thẳng đứng miệng ống ở dưới. Tìm áp suất khí quyển và độ dài cột không khí trong ống khi ống nằm ngang.
Khi miệng ống ở trên: V1 = Sx1; p1 = po + h
Khi miệng ống ở dưới: V2 = Sx2; p2 = po – h
Theo định luật Bôilơ-Mariot: p1V1 = p2V2
=> po = h(x2 + x1)/(x2 – x1) = 75(220+180)/(220 – 180) = 750mmHg
Khi đặt ống nằm ngang: Vo = Sxo; po
poVo = p1V1 => xo = (po + h)x1/po = 198mm
Bài 17. Một ống thủy tinh một đầu kín, dài 57cm chứa không khí có áp suất bằng áp suất không khí (76cmHg). Ấn ống vào trong chậu thủy ngân theo phương thẳng đứng, miệng ống ở dưới. Tìm độ cao cột thủy ngân đi vào ống khi đáy ống ngang mặt thoáng thủy ngân.
Gọi L là chiều dài của ống, x là độ cao cột thủy ngân đi vào ống (0 < x < 57cm)
Ban đầu khí trong ống có V1 = S.L; p1 = po = 76cmHg
Sau khi ấn vào trong thủy ngân: V2 = S(L-x); p2 = po + L-x
p1V1 = p2V2 => x = 19cm
Bài 18. Ống thủy tinh một đầu kín dài 112,2cm chứa không khí ở áp suất khí quyển po = 75cmHg. Ấn ống xuống một chậu nước theo phương thẳng đứng, miệng ống ở dưới. Tìm độ cao cột nước đi vào ống khi đáy ống ngang với mặt nước.
Gọi L là chiều dài của ống, x là độ cao cột nước đi vào ống (0 < x < 112,2cm)
Ban đầu khí trong ống có V1 = S.L; p1 = po = 75cmHg
Sau khi ấn vào trong nước: V2 = S(L-x); p2 = po + \[\dfrac{L-x }{13,6}\]
p1V1 = p2V2 => x = 10,2cm
Bài 19. Ống thủy tinh một đầu kín dài 80cm, chứa không khí ở áp suất bằng áp suất khí quyển po = 75cmHg. Ấn ổng thủy ngân theo phương thẳng đứng, miệng ống ở dưới (thấp hơn) mặt thủy ngân 45cm. Tìm độ cao cột thủy ngân đi vào ống.
Gọi L là chiều dài của ống, x là độ cao cột thủy ngân đi vào ống (0 < x < 80cm)
Ban đầu khí trong ống có V1 = S.L; p1 = po = 75cmHg
Sau khi ấn vào trong thủy ngân: V2 = S(L-x); p2 = po + h – x
p1V1 = p2V2 => x = 20cm
Bài 20. Ống thủy tinh dài 60cm, thẳng đứng, đầu kín ở dấu, đầu hở ở trên. Cột không khí cao 20cm trong ống bị giam bởi cột thủy ngân cao 40cm. Áp suất khí quyển po = 80cmHg. Nhiệt độ không đổi. Khi ống bị lật ngược
a/ Tìm độ cao cột thủy ngân còn lại trong ống
b/ Tìm chiều dài ống để toàn bộ cột thủy ngân không chảy ra ngoài.
x = 20cm; h = 40cm; L = 60cm
Ban đầu, khí trong ống có thể tích V1 = Sx, áp suất p1 = po + h
Khi ống bị lật ngược, một phần thủy ngân chảy ra ngoài, phần còn lại có độ cao h’ <h. Khí trong ống lúc này có thể tích V2 = S(L – h’), áp suất p2 = po – h’
Áp dụng định luật Bôilơ-Mariot
p1V1 = p2V2 => h’ = 20cm
b/ Gọi L’ là chiều dài của ống để toàn bộ cột thủy ngân không chảy ra ngoài, lúc đó thể tích trong ống V3 = (L’-h)S, áp suất p3 = po – h
áp dụng định luật Bôilơ-Mariot
p1V1 = p3V3 =>L’ = 100cm
Bài 21. Một ống hình trụ hẹp, kín hai đầu, dài L = 105cm, đặt nằm ngang. Giữa ống có một cột thủy ngân dài h = 21cm, phần còn lại của ống chứa không khí ở áp suất po = 72cmHg. Tìm độ di chuyển của cột thủy ngân khi ống thẳng đứng.
Ban đầu khi ống nằm ngang, khí ở hai bên cột thủy ngân giống nhau, mỗi bên có thể tích Vo = SL1, áp suất po.
L1 = (L-h)/2 = 42cm; h = 21cm; po = 72cmHg
Khi ống thẳng đứng:
Khí ở phần trên V1 = S(L1 + x); p1
Khí ở phần dưới: V2 = S(L1 – x); p2 = p1 + h
Áp dụng định luật Bôilơ-Mariot cho hai phần
poVo = p1V1 = p2V2
=> poL1/(L1 + x) = poL1(L1 – x) – h
=> x = 6cm
Bài 22. Trong khoảng chân không của một phong vũ biểu thủy ngân có lọt vào một ít không khí nên phong vũ biểu có chỉ số nhỏ hơn áp suất thực của khí quyển. Khi áp suất khí quyển là 768mmHg, phong vũ biểu chỉ 748mmHg, chiều dài khoảng chân không là 56mm. Tìm áp suất của khí quyển khi phong vũ biểu này chỉ 734mmHg. Coi nhiệt độ là không đổi.
p$_{o1}$ = 768mmHg, p’1 = 748mmHg; p’2 = 734mmHg; h’1 = 748mm; h’2 = 734mm; x1 = 56mm.
Ban đầu không khí trong phong vũ biểu có V1 = Sx1; áp suất p1 = p$_{o1}$ – p’1
Lúc sau, không khí trong phong vũ biểu có V2 = Sx2 = S(x1 + h’1 – h’2); p2 = p$_{o2}$ – p’2
Áp dụng định luật Bôilơ-Mariot
p1V1 = p2V2 => p$_{o2}$ = 750mmHg
Bài 23. Một phong vũ biểu chỉ sai vì có một ít không khí lọt vào ống. Ở áp suất khí quyển po = 755mmHg phong vũ biểu này chỉ p1 = 748mmHg. Khi áp suất khí quyển là p’o = 740mmHg, phong vũ biểu chỉ p2 = 736mmHg. Coi diện tích mặt thủy ngân trong chậu là lớn, tiết diện ống nhỏ, nhiệt độ không thay đổi. Tìm chiều dài L của ống phong vũ biểu.
ở áp suất po, lượng khí phía trên cột thủy ngân có V1 = Sx, p1 = po – p’1
Ở áp suất p’o, lượng khí phía trên cột thủy ngân có V2 = Sx’; p2 = p’o – p’2
Áp dụng định luật Bôilơ-Mariot: p1V1 = p2V2
=> (755 – 748)x = (740 – 736)x’ => 7x = 4x’ (1)
L = x + 748 = x’ + 736 (2)
từ (1) và (2) => x = 16mm => L = 764mm
Bài 24. Một ống thủy tinh có chiều dài L = 50cm, tiết diện S = 0,5cm2, được hàn kín một đầu và chứa đầy không khí. Ấn ống chìm vào trong nước theo phương thẳng đứng, đầu kín ở trên. Tính lực F cần đặt lên ống để giữ ống trong nước sao cho đầu trên của ống trong nước thấp hơn mặt nước đoạn h =10cm. Biết khối lượng ống m = 15g áp suất khí quyển po = 760mmHg. Khối lượng riêng của nước ρ = 1000kg/m3
Ban đầu: không khí trong ống có V1 = S.L; p1 = po
khi đặt ống vào trong nước: V2 = Sx, p2 = po + \[\dfrac{h+x}{13,6}\]
áp dụng định luật Bôilơ-Mariot
p1V1 = p2V2 => x = 47,4cm.
F = F$_{A}$ – P = ρ.Sx.g – mg = 87.10-3N
Bài 25. Ở độ sâu h1 = 1m dưới mặt nước có một bọt không khí hình cầu. Hỏi ở độ sâu nào, bọt khí có bán kínhnhỏ đi 2 lần. Cho khối lượng riêng của nước D = 103kg/m3, áp suất khí quyển po = 105N/m, g = 10m/s2, nhiệt độ nước không đổi theo độ sâu.
