Tổng của hai véc tơ, toán phổ thông

1. Tổng hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $. Từ điểm A tùy ý vẽ $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a $  rồi từ B vẽ $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b $.

Khi đó vectơ $\overrightarrow {AC} $ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $.

Kí hiệu $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b $

b) Tính chất

+ Giao hoán : $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a $

+  Kết hợp : $\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)$

+ Tính chất vectơ – không: $\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow a {\rm{, }}\forall \overrightarrow a $

2. Các quy tắc

Quy tắc ba điểm: Cho $A,B,C$ tùy ý, ta có : $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} $

Quy tắc hình bình hành: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} $

Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm ${A_1},\,{A_2},\,…,\,{A_n}$ thì $\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  + \overrightarrow {{A_2}{A_3}}  + … + \overrightarrow {{A_{n – 1}}{A_n}}  = \overrightarrow {{A_1}{A_n}} $

3. Các điểm đặc biệt

a) Trung điểm

Cho \(I\) là trung điểm \(AB\) và một điểm \(M\) bất kì, khi đó:

+) \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \).

+) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \).

Ngược lại, nếu có 2 tính chất trên ta cũng suy ra $I$ là trung điểm của $AB$

b) Trọng tâm

Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm bất kì, khi đó:

+) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

+) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \).

Chứng minh:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) đối xứng \(G\) qua \(I\)

Khi đó \(BGCD\) là hình bình hành.

Suy ra \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GD} \) (quy tắc hình bình hành)

Mà \(GA = GD = 2GI\) nên \(G\) là trung điểm của \(AD\)

Do đó \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \) (tính chất trung điểm)

Vậy \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

Với \(M\) là điểm bất kì thì:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} \) \( = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} \) \( = 3\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)

Ngược lại, nếu có hai tính chất trên ta cũng suy ra ngược lại rằng $G$ là trọng tâm của tam giác.

4. Vectơ đối của một vec tơ

Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow a $ là vectơ ngược hướng và có cùng độ dài với vectơ $\overrightarrow a $

Kí hiệu $ – \overrightarrow a $

Như vậy $\overrightarrow a  + \left( { – \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow 0 {\rm{, }}\forall \overrightarrow a $ và \(\overrightarrow {AB}  =  – \overrightarrow {BA} \)