Bài tập lũy thừa số mũ hữu tỉ.
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức.
Phương pháp: – Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ (nếu có thể) – Bước 2: Biến đổi các lũy thừa, căn bậc \(n\) sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ. – Bước 3: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính: + Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ. + Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \( \to \) lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: $P = {x^{\dfrac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}$ Ta có: $P = {x^{\dfrac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\dfrac{1}{3}}}.{x^{\dfrac{1}{6}}} = {x^{\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}}} = {x^{\dfrac{1}{2}}}.$ Phương pháp: – Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể) – Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, căn bậc \(n\). – Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa: 1/ Với \(a > 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\) 2/ Với \(0 < a < 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\) 3/ Với \(0 < a < b\) thì: a) \({a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0\) b) \({a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0\) 4/ Với \(a > 0,b > 0\) thì \({a^n} = {b^n} \Leftrightarrow a = b\). Ở đó \(m,n\) là các số hữu tỉ. 5/ Với \(a < b,n\) là số tự nhiên lẻ thì \({a^n} < {b^n}\) Ví dụ 2: Cho \(a > 1\), so sánh \(\sqrt[{15}]{{{a^7}}}\) với \(\sqrt[5]{{{a^2}}}\) Ta có: \(\sqrt[{15}]{{{a^7}}} = {a^{\dfrac{7}{{15}}}};\sqrt[5]{{{a^2}}} = {a^{\dfrac{2}{5}}}\) Vì \(\dfrac{7}{{15}} > \dfrac{2}{5}\) và \(a > 1\) nên \({a^{\dfrac{7}{{15}}}} > {a^{\dfrac{2}{5}}}\) hay \(\sqrt[{15}]{{{a^7}}} > \sqrt[5]{{{a^2}}}\)Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức.