1. Hàm số logarit
– Hàm số logarit cơ số \(a\) là hàm số có dạng \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\).
– Hàm số logarit có đạo hàm tại \(\forall x > 0\) và \(y’ = \left( {{{\log }_a}x} \right)’ = \dfrac{1}{{x\ln a}}\)
(đặc biệt \(\left( {\ln x} \right)’ = \dfrac{1}{x}\) )
– Giới hạn liên quan \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\).
– Đạo hàm: \(y = {\log _a}x \Rightarrow y’ = \left( {{{\log }_a}x} \right)’ = \dfrac{1}{{x\ln a}};y = {\log _a}u\left( x \right) \Rightarrow y’ = \dfrac{{u’\left( x \right)}}{{u\left( x \right)\ln a}}\)
(đặc biệt \(\left( {\ln x} \right)’ = \dfrac{1}{x}\) )
Khảo sát \(y = {\log _a}x\):
– TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
– Chiều biến thiên:
+ Nếu \(a > 1\) thì hàm đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
– Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 0\).
+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {a;1} \right)\).
+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung vì \(x > 0\).
+ Dáng đồ thị:
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm điều kiện để các logarit xác định.
Hàm số \({\log _a}\left( {u\left( x \right)} \right)\) xác định \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\u\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)
– Bước 2: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới dấu căn bậc hai, biểu thức dưới mẫu trong các phân thức,…(nếu có).
+ Căn bậc hai \(\sqrt {u\left( x \right)} \) xác định nếu \(u\left( x \right) \ge 0\).
+ Phân thức \(\dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\) xác định nếu \(g\left( x \right) \ne 0\).
– Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên và kết hợp nghiệm ta được tập xác định của hàm số.
Dạng 2: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.
Phương pháp:
– Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.
– Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.
Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.
Phương pháp:
– Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.
+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn \(1\).
+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn \(0\) và nhỏ hơn \(1\).
– Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.
– Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.
Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…
Dạng 4: Tính đạo hàm các hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.
\(\left( {u \pm v} \right)’ = u’ \pm v’;\left( {uv} \right)’ = u’v + uv’;\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}}\)
– Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…
– Bước 3: Tính toán và kết luận.
Dạng 5: Tính giới hạn các hàm số.
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\log }_a}\left( {1 + x} \right)}}{x} = \dfrac{1}{{\ln a}}\)
Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ và hàm số logarit trên một đoạn.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính \(y’\), tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},…,{x_n} \in \left[ {a;b} \right]\) của phương trình \(y’ = 0\).
– Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right)\).
– Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.
+ GTNN \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.
+ GTLN \(M\) là số lớn nhất trong các giá trị tính được.