Bài tập phương trình giao thoa sóng cơ

1. DẠNG 1: XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CƠ TẠI MỘT ĐIỂM TRONG TRƯỜNG GIAO THOA:

Giao thoa của hai sóng phát ra từ hai nguồn sóng kết hợp S₁, S₂ cách nhau một khoảng l:

+ Phương trình sóng tại 2 nguồn : (Điểm M cách hai nguồn lần lượt d₁, d₂)

\({u_1} = {\rm{Acos}}(2\pi ft + {\varphi _1})\) và \({u_2} = {\rm{Acos}}(2\pi ft + {\varphi _2})\)

+Phương trình sóng tại M do hai sóng từ hai nguồn truyền tới:

\({u_{1M}} = {\rm{Acos}}(2\pi ft – 2\pi \dfrac{{{d_1}}}{\lambda } + {\varphi _1})\) và \({u_{2M}} = {\rm{Acos}}(2\pi ft – 2\pi \dfrac{{{d_2}}}{\lambda } + {\varphi _2})\)

+Phương trình giao thoa sóng tại M: \({u_M} = {\rm{ }}{u_{1M}} + {\rm{ }}{u_{2M}}\)

\({u_M} = 2Ac{\rm{os}}\left( {\pi \dfrac{{{d_1} – {d_2}}}{\lambda } + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)c{\rm{os}}\left( {2\pi ft – \pi \dfrac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda } + \dfrac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\)

+Biên độ dao động tại M: \({A_M} = 2A\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \dfrac{{{d_1} – {d_2}}}{\lambda } + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)} \right|\) với \(\Delta \varphi  = {\varphi _2} – {\varphi _1}\)

2. XÁC ĐỊNH BIÊN ĐỘ, LY ĐỘ TẠI MỘT ĐIỂM  TRONG MIỀN GIAO THOA CỦA SÓNG CƠ.

Phương trình sóng tại 2 nguồn: (Điểm M cách hai nguồn lần lượt d₁, d₂)

\({u_1} = {{\rm{A}}_1}{\rm{cos}}(2\pi ft + {\varphi _1})\) và \({u_2} = {{\rm{A}}_2}{\rm{cos}}(2\pi ft + {\varphi _2})\)

Phương trình sóng tại M do hai sóng từ hai nguồn truyền tới:

\({u_{1M}} = {{\rm{A}}_1}{\rm{cos}}(2\pi ft – 2\pi \dfrac{{{d_1}}}{\lambda } + {\varphi _1})\) và \({u_{2M}} = {{\rm{A}}_2}{\rm{cos}}(2\pi ft – 2\pi \dfrac{{{d_2}}}{\lambda } + {\varphi _2})\)

– Nếu 2 nguồn cùng pha thì:

\({u_{1M}} = 2{{\rm{A}}_2}{\rm{cos}}(2\pi ft – 2\pi \dfrac{{{d_1}}}{\lambda })\) và \({u_{2M}} = {{\rm{A}}_2}{\rm{cos}}(2\pi ft – 2\pi \dfrac{{{d_2}}}{\lambda })\)

Phương trình giao tổng hợp sóng tại M: \({u_M} = {\rm{ }}{u_{1M}} + {\rm{ }}{u_{2M}}\)

Thế các số liệu  từ đề cho để tính kết quả( giống như tổng hợp dao động nhờ số phức)

– Nếu 2 nguồn cùng biên độ thì:

+ Phương trình sóng tại 2 nguồn :

\({u_1} = {\rm{Acos}}(2\pi ft + {\varphi _1})\) và \({u_2} = {\rm{Acos}}(2\pi ft + {\varphi _2})\)

+ Phương trình sóng tại M do hai sóng từ hai nguồn truyền tới:

\({u_{1M}} = {\rm{Acos}}(2\pi ft – 2\pi \dfrac{{{d_1}}}{\lambda } + {\varphi _1})\) và \({u_{2M}} = {\rm{Acos}}(2\pi ft – 2\pi \dfrac{{{d_2}}}{\lambda } + {\varphi _2})\)

+ Phương trình giao thoa sóng tại M: \({u_M} = {\rm{ }}{u_{1M}} + {\rm{ }}{u_{2M}}\)

\({u_M} = 2Ac{\rm{os}}\left( {\pi \dfrac{{{d_1} – {d_2}}}{\lambda } + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)c{\rm{os}}\left( {2\pi ft – \pi \dfrac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda } + \dfrac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\)

+ Biên độ dao động tại M: \({A_M} = 2A\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \dfrac{{{d_1} – {d_2}}}{\lambda } + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)} \right|\) với \(\Delta \varphi  = {\varphi _2} – {\varphi _1}\)

* TH1: Hai nguồn A, B dao động cùng pha

• Từ phương trình giao thoa sóng: \({u_M} = 2A.cos\left( {\dfrac{{\pi ({d_2} – {d_1}}}{\lambda }} \right).cos\left( {\omega .t – \dfrac{{\pi ({d_1} + {d_2})}}{\lambda }} \right)\)
• Ta nhận thấy biên độ giao động tổng hợp là: \({A_M} = 2A.\left| {\cos (\dfrac{{\pi ({d_2} – {d_1})}}{\lambda }} \right|\)
• Biên độ đạt giá trị cực đại \({A_M} = 2A \Leftrightarrow cos\dfrac{{\pi ({d_2} – {d_1})}}{\lambda } =  \pm 1 \Leftrightarrow {d_2} – {d_1} = k\lambda \)
• Biên độ đạt giá trị cực tiểu \({A_M} = 0 \Leftrightarrow cos\dfrac{{\pi ({d_2} – {d_1})}}{\lambda } = 0 \Leftrightarrow {d_2} – {d_1} = (2k + 1)\dfrac{\lambda }{2}\)

Nếu O là trung điểm của đoạn AB thì tại 0 hoặc các điểm nằm trên đường trung trực của đoạn A,B sẽ dao động với biên độ cực đại và bằng: \({A_M} = 2A\)(vì lúc này \({d_1} = {d_2}\))

* TH2: Hai nguồn A, B dao động ngược pha

Ta nhận thấy biên độ giao động tổng hợp là: \({A_M} = 2A.\left| {\cos (\dfrac{{\pi ({d_2} – {d_1})}}{\lambda } \pm \dfrac{\pi }{2}} \right|\)

Nếu O là trung điểm của đoạn AB thì tại 0 hoặc các điểm nằm trên đường trung trực của đoạn A,B sẽ dao động với biên độ cực tiểu và bằng: \({A_M} = 0\) (vì lúc này \({d_1} = {d_2}\))

* TH3: Hai nguồn A, B dao động vuông pha

Ta nhận thấy biên độ giao động tổng hợp là: \({A_M} = 2A.\left| {\cos (\dfrac{{\pi ({d_2} – {d_1})}}{\lambda } \pm \dfrac{\pi }{4}} \right|\)

Nếu O là trung điểm của đoạn AB thì tại 0 hoặc các điểm nằm trên đường trung trực của đoạn A,B sẽ dao động với biên độ : \({A_M} = A\sqrt 2 \)  (vì lúc này \({d_1} = {d_2}\))