Bài tập thế năng hấp dẫn hay thế năng của vật chuyển động trong trường trọng lực thường liên quan đến chuyển động rơi tự do, hoặc chuyển động ném thẳng đứng hoặc ném xiên …
Bài tập thế năng hấp dẫn, thế năng đàn hồi
Công thức tính thế năng
Chọn gốc thế năng hấp dẫn tại mặt đất → biểu thức thế năng hấp dẫn:
\[{{\text{W}}_{t}}=mg\text{z}=mgh\]
Chọn gốc thế năng tại vị trí lò xo chưa biến dạng Thế năng đàn hồi:
\[W_{\text{đh}}=\dfrac{1}{2}k{{\text{x}}^{2}}\]
Trong đó:
- m: khối lượng của vật (kg)
- h (hoặc z): vị trí của vật so với gốc thế năng đã chọn (m)
- x: li độ (tọa độ của vật so với gốc thế năng đã chọn) (m)
- k: độ cứng của lò xo
Liên hệ giữa biến thiên thế năng và công
\[{{W}_{t2}}-{{W}_{t1}}=-A\]
Bài tập thế năng hấp dẫn, thế năng đàn hồi
Bài tập 1. Một vật có khối lượng 1 kg đang ở cách mặt đất một khoảng H=20 m. Ở chân đường thẳng đứng đi qua vật có một cái hố sâu h=5 m. Cho g=10 m/s2.
a) Tính thế năng của vật khi chọn gốc thế năng là đáy hố.
b) Cho vật rơi không vận tốc ban đầu, tìm vận tốc của vật khi chạm đáy hố. Bỏ qua sức cản của không khí.
c) Với gốc thế năng là mặt đất thì thế năng của vật khi nằm ở đáy hố bằng bao nhiêu?
a) Với gốc thế năng là đáy hố:
z=H + h=25 m; W$_{t}$=mgz=250 J.
b) Theo định luật bảo toàn cơ năng:
mgz1 + 0,5mv12=mgz2 + 0,5mv22 ; vì v1=0 ; z1=z ; z2=0
nên: mgz – 0,5mv22 => v2=\[\sqrt{2gz}\]=22,4 m/s.
c) Với gốc thế năng ở mặt đất: z=- h=- 5 m; W$_{t}$=mgz=- 50 J.
Bài tập 2. Từ độ cao 180 m, người ta thả rơi một vật nặng không vận tốc ban đầu. Bỏ qua sức cản không khí. Lấy g=10 m/s2. Xác định:
a) Độ cao mà ở đó thế năng bằng động năng và tính vận tốc của vật ở độ cao đó.
b) Vận tốc của vật lúc chạm đất.
Chọn gốc thế năng ở mặt đất.
a) Vị trí mà thế năng bằng động năng:
mgz1=mgz2 + 0,5mv22=2mgz2=> z2=z1/2=90 m;
mgz2=0,5mv22 => v2 = 42,4 m/s.
b) Vận tốc của vật lúc chạm đất:
mgz1=0,5mv32 => v3=60 m/s.
Bài tập 3. Từ độ cao 25 m người ta ném thẳng đứng một vật nặng lên cao với vận tốc ban đầu bằng 20 m/s. Bỏ qua sức cản không khí. Lấy g=10 m/s2. Tính:
a) Độ cao cực đại mà vật đạt được.
b) Độ cao mà ở đó thế năng bằng nữa động năng và vận tốc của vật ở độ cao đó.
Chọn gốc thế năng ở mặt đất.
a) Ở độ cao cực đại (v=0):
mgzmax=mgz1 + 0,5mv12 => zmax=45 m.
b) Ở độ cao thế năng bằng nữa động năng (mgz2=0,5.0,5mv22):
mgzmax =mgz2 + 0,5mv22=3mgz$_{2=> }$z2=15 m;
mgz2 =0,5. 0,5mv22 => v2=24,5 m/s.
Bài tập 4. Một vật có khối lượng m=3 kg được đặt ở một vị trí trong trọng trường và thế năng tại vị trí đó bằng W$_{t1}$=600 J. Thả tự do cho vật rơi tới mặt đất, tại đó thế năng của vật bằng W$_{t2}$=- 900 J.
a) Hỏi vật đã rơi từ độ cao nào so với mặt đất?
b) Xác định vị trí ứng với mức 0 của thế năng đã chọn và tìm vận tốc của vật khi đi qua vị trí này.
Bài tập thế năng hấp dẫn, thế năng đàn hồi
a) Độ cao so với vị trí chọn mốc thế năng:
z1=\[\dfrac{W_{t1}}{mg}\]=20 m.
Vị trí của mặt đất so với vị trí chọn mốc thế năng:
z2=\[\dfrac{W_{t2}}{mg}\]=- 30 m.
Độ cao từ đó vật đã rơi so với mặt đất: z=z1 + |z2|=50 m.
b) Vị trí ứng với mức không của thế năng được chọn cách vị trí thả vật (ở phía dưới vị trí thả vật) 20 m và cách mặt đất (ở phía trên mặt đất) 30 m.
Vận tốc của vật khi đi qua vị trí được chọn làm gốc thế năng:
mgz1=mv=> v$_{m}$= = 20 m/s.
Bài tập 5. Một con lắc đơn có chiều dài l=1 m. Kéo cho dây làm với đường thẳng đứng một góc αo=45o rồi thả tự do. Bỏ qua sức cản không khí. Lấy g=10 m/s2. Tìm vận tốc của con lắc khi nó đi qua:
a) Vị trí ứng với góc α=30o.
b) Vị trí cân bằng.
Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng (α=0).
a) Tại vị trí ứng với α=30o:
mgl(1 – cosαo)=mgl(1 – cosα) + 0,5mv2
=> v=\[\sqrt{2gl(cos\alpha-cos\alpha_{o})}\]=1,78 m/s.
b) Tại vị trí cân bằng α=0o :
mgl(1 – cosαo)=0,5mv
=> vmax=\[\sqrt{2gl(1-cos\alpha_{o})}\]=2,42 m/s.
Bài tập 6. Một con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m=1 kg treo vào sợi dây có chiều dài l = 40 cm. Kéo vật đến vị trí dây làm với đường thẳng đứng một góc αo=60o rồi thả nhẹ. Bỏ qua sức cản không khí. Lấy g=10 m/s2. Tìm vận tốc của con lắc và lực căng của sợi dây khi nó đi qua:
a) Vị trí ứng với góc α = 30o.
b) Vị trí cân bằng.
Bài tập thế năng hấp dẫn, thế năng đàn hồi
Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng (α=0).
a) Tại vị trí ứng với α=30o:
=> v = \[\sqrt{2gl(cos\alpha-cos\alpha_{o})}\]=1,71 m/s.
Chuyển động của vật m là chuyển động tròn trên bán kính quỹ đạo có bán kính l, hợp giữa lực căng của dây treo và thành phần P$_{n }$ = mgcosα của trọng lực đóng vai trò lực hướng tâm => áp dụng định luật II Newton ta có
T – mgcosα = m.\[\dfrac{v^{2}}{l}\]=> T = mgcosα + 2mg(cosα – cosαo) => T=mg(3cosα – 2cosαo)=16 N.
b) Tại vị trí cân bằng α=0:
v$_{max }$= \[\sqrt{2gl(1-cos\alpha_{o})}\] = 2 m/s.
T=mg(3 – 2cosαo)=20 N.
Bài tập 7. Một súng lò xo có hệ số đàn hồi k=50 N/m được đặt nằm ngang, tác dụng một lực để lò xo bị nén một đoạn 2,5 cm. Khi được thả, lò xo bung ra tác dụng vào một mũi tên nhựa có khối lượng m=5 g làm mũi tên bị bắn ra. Bỏ qua lực cản, khối lượng của lò xo. Tính vận tốc của mũi tên được bắn đi.
Theo định luật bảo toàn cơ năng:
0,5kΔl2=0,5mv$^{2 }$=> v=Δl \[\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]=2,5 m/s.
Bài tập 8. Một khẩu súng đồ chơi có một lò xo dài 10 cm, lúc bị nén chỉ còn dài 4 cm thì có thể bắn thẳng đứng một viên đạn có khối lượng 30 g lên cao 6 m. Tìm độ cứng của lò xo.
Theo định luật bảo toàn cơ năng:
0,5kΔl2=mgz => k=\[\dfrac{2mgz}{(\Delta l)^{2}}\] = 1000 N/m.[/i]
Bài tập 9. Một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, được treo thẳng đứng, đầu dưới gắn với một vật nặng. Từ vị trí cân bằng O, kéo vật nặng thẳng đứng xuống phía dưới đến A với OA=x. Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng O. Tính thế năng của hệ (lò xo và vật nặng) tại A.
Bài tập thế năng hấp dẫn, thế năng đàn hồi
Thế năng của vật tại A gồm thế năng đàn hồi và thế năng trọng lực.
Thế năng đàn hồi:
W$_{t1}$=0,5k(xo + x)2=0,5kxo2 + 0,5kx2 + kxox;
vì chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng O nên thế năng đàn hồi tại vị trí cân bằng:
0,5kxo2=0=> W$_{t1}$=0,5kx2 + kxox.
Thế năng trọng lực: W$_{t2}$=mg(-x) vì A ở dưới mốc thế năng.
Thế năng của hệ tại A: W$_{t}$=W$_{t1}$ + W$_{t2}$=0,5kx2 + kxox – mgx.
Ở vị trí cân bằng lực đàn hồi cân bằng với trọng lực nên: kxo=mg.
=> W$_{t}$=0,5kx2
Bài tập 10. Một quả cầu có khối lượng m=100g treo vào lò xo có độ cứng k=100 N/m. Lấy g=10 m/s2.
a) Tính độ dãn của lò xo khi quả cầu ở vị trí cân bằng.
b) Kéo quả cầu theo phương thẳng đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng một khoảng x=2 cm rồi thả không vận tốc đầu. Tính vận tốc của quả cầu khi nó đi qua vị trí cân bằng.
Bài tập thế năng hấp dẫn, thế năng đàn hồi
a) Ở vị trí cân bằng lực đàn hồi cân bằng với trọng lực (Δlo=xo):
kxo=mg=> xo=\[\dfrac{mg}{k}\]=0,01 m=1 cm.
b) Chọn mốc thế năng và gốc tọa độ tại vị trí cân bằng thì thế năng tại vị trí cân bằng bằng 0, thế năng tại vị trí có tọa độ x là 0,5kx2 nên theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:
0,5kx2= 0,5mvo2 => |vo|=\[\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]|x|=0,2√10 m/s
Bài tập 11. Một vật nhỏ có khối lượng m=160 g gắn vào đầu của một lò xo đàn hồi có độ cứng k=100 N/m, khối lượng không đáng kể; đầu kia của của lò xo được giữ cố định. Tất cả nằm trên một mặt ngang không ma sát. Vật được đưa về vị trí mà tại đó lò xo dãn 5 cm. Sau đó vật được thả nhẹ nhàng. Dưới tác dụng của lực đàn hồi, vật bắt đầu chuyển động. Xác định vận tốc của vật khi:
a) Vật về tới vị trí lò xo không biến dạng.
b) Vật về tới vị trí lò xo dãn 3 cm.
Chọn mốc thế năng và gốc tọa độ tại vị trí lò xo không biến dạng, chiều dương của trục tọa độ trùng chiều lò xo dãn.
a) Tại vị trí lò xo không biến dạng:
0,5kxo2=0,5mvo2 => |vo|=\[\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]|xo| =1,25 m/s=125 cm/s.
b) Tại vị trí lò xo dãn 3 cm:
0,5kxo2=0,5mv2 + 0,5kx2
=> v=\[\sqrt{\dfrac{k}{m}(x_o^{2}-x^{2})}\]=1 m/s
Bài tập 12. Một lò xo đàn hồi có độ cứng 200 N/m, khối lượng không đáng kể, được treo thẳng đứng. Đầu dưới của lò xo gắn vào vật nhỏ khối lượng m=400 g. Vật được giữ tại vị trí lò xo không dãn, sau đó thả nhẹ nhàng cho vật chuyển động. Lấy g=10 m/s2.
a) Xác định vị trí mà lực đàn hồi cân bằng với trọng lực của vật.
b) Tính vận tốc của vật tại vị trí đó.
Bài tập thế năng hấp dẫn, thế năng đàn hồi
a) Vị trí lực đàn hồi cân bằng với trọng lực:
kxo=mg=> xo=\[\dfrac{mg}{k}\]=0,02 m=2 cm.
b) Vận tốc của vật tại vị trí lực đàn hồi cân bằng với trọng lực:
0,5kxo2= 0,5mv$_{cb}$2 => |v$_{cb}$|=\[\sqrt{\dfrac{k}{m}}\]|xo| =0,2√5 m/s
Bài tập 13. Hai lò xo k1 = 0,2N/cm; k2 = 0,6N/cm nối với nhau và nối với điểm cố định A,vật m = 150g treo ở đầu hai lò xo (hình vẽ).
a/ Tính độ biến dạng của mỗi lò xo tại vị trí cân bằng O.
b/ Kéo m lệch khỏi vị trí cân bằng đoạn x = 2cm. Tính thế năng đàn hồi của hệ hai lò xo tại vị trí x. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng.
Bài tập 14. Tính thế năng của một khối nước có thể tích 0,5m3 ở định một ngọn thác cao 10m so với chân thác. Bỏ qua kích thước của khối nước.
Bài tập 15. Treo một vật nặng vào một lò xo lực kế, kim lực kế chỉ số 4. Tính thế năng của lò xo lực kế lúc này, biết lực kế chia độ ra Newton và khoảng cách giữa hai độ chia liền nhau là 5mm.
Bài tập 16. Cho hệ thống như hình vẽ. m1 = 1kg; m2 = 1.5kg. Bỏ qua ma sát, Khối lượng dây và ròng rọc. Thả cho hệ chuyển động thì vật m1 đi lên hay đi xuống? Khi vật m1 di chuyển 1m tìm độ biến thiên thế năng của hệ suy ra công của trọng lực.
Bài tập 17. Lò xo k = 100N/m đầu trên cố định, đầu dưới treo quả cầu khối lượng m = 100g. Quả cầu chuyển động theo phương thẳng đứng và có thể rời xa vị trí cân bằng một khoảng lớn nhất là A = 2cm. Bỏ qua sức cản của không khí.
a/ Tính độ dãn của lò xo ở vị trí cân bằng.
b/ Tính thế năng của hệ quả cầu, lò o khi quả cầu ở vị trí cân bằng, vị trí thấp nhất, vị trí cao nhất nếu
– Chọn gốc thế năng trọng lực tại vị trí quả cầu ở thấp nhất, gốc thế năng đàn hồi khi lò xo không biến dạng.
– Chọn gốc thế năng trọng lực và lực đàn hồi đều ở vị trí cân bằng của quả cầu.
Bài tập 18. Hai lò xo k1 = 10N/m; k2 = 15N/m, chiều dài tự do l1 = l2 = 20cm. Các lò xo một đầu gắn cố định tại A, B, một đầu nối với m như hình vẽ. Biết AB = 50cm. Bỏ qua kích thước của m, bỏ qua ma sát.
a/ Tính độ dãn của mỗi lò xo tại vị trí cân bằng O.
b/ Kéo m lệch khỏi vị trí cân bằng đoạn x = 2cm. Tính thế năng đàn hồi của hệ hai lò xo tại vị trí x. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng.
Bài tập 19. Hai lò xo k1 = 10N/m; k2 = 20N/m, chiều dài tự do l1 = 24cm; l2 = 15cm. Các lò xo một đầu cố định tại A, một đầu nối với m. Bỏ qua kích thước của m (hình vẽ)
a/ Tính độ biến dạng của mỗi lò xo tại vị trí cân bằng O.
b/ Kéo m lệch khỏi vị trí cân bằng đoạn x = 2cm. Tính thế năng đàn hồi của hệ hai lò xo tại vị trí x. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng.
