Công thức cực trị điện xoay chiều, vật lí lớp 12
Đoạn mạch RLC có C thay đổi
Tìm \(C\) để \(\left \{ I,P,U_R,U_L,U_{RC} \right \}\) đạt giá trị cực đại:
\(Z_L=Z_C \Leftrightarrow C=\dfrac{1}{\omega^2 L}\)
Lưu ý: \(L\) và \(C\) mắc liên tiếp nhau
Đoạn mạch RLC có L thay đổi
+) Tìm \(L\) để \(\begin{Bmatrix} I,P,U_R,U_C,U_{RC} \end{Bmatrix}\) để đạt giá trị cực đại:
\(Z_L=Z_C \Leftrightarrow L=\dfrac{1}{\omega^2 C}\)
Lưu ý: \(L \) và \(C\) mắc liên tiếp nhau
Đoạn mạch RrLC có R thay đổi
Có 2 giá trị \(R_1 \neq R_2\) để \(P\) bằng nhau:
\(\left\{\begin{matrix} (R_1+r)(R_2+r)=(Z_L-Z_C)^2=(R_0+r)^2\\ R_1+R_2+2r=\dfrac{U^2}{P} \end{matrix}\right.\).
Gọi độ lệch pha giữa \(u\) và \(i\) qua mạch ứng với \(R_1\) là \(\varphi_1\), ứng với \(R_2\) là \(\varphi_2\): \(\varphi_1+\varphi_2=\pm \dfrac{\pi}{2}\)
\(\Leftrightarrow \tan \varphi_.\tan \varphi_2=1\)
\(\cos \varphi_1=\sqrt{\dfrac{R_1}{R_1+R_2}}\)
\(\cos \varphi_2=\sqrt{\dfrac{R_2}{R_1+R_2}}\)
Giá trị L0 để công suất cực đại khi C thay đổi
Khi \(C=C_1\) hoặc \(C=C_2\) thì \(\left \{ I,P,U_R,U_L,U_{RC} \right \}\) không đổi:
\(Z_L=\dfrac{Z_{C_1}+Z_{C_2}}{2}\)
Giá trị \(L_0\) để công suất của mạch đạt cực đại:
\(Z_C=Z_L=\dfrac{Z_{C_1}+Z_{C_2}}{2}\)
Giá trị L0 để công suất cực đại khi L thay đổi
+) Khi \(L=L_1\) hoặc \(L=L_2\) thì \(\left \{ I,P,U_R,U_C,U_{RC} \right \}\) không đổi:
\(Z_C=\dfrac{Z_{L_1}+Z_{L_2}}{2}\)
+) Giá trị \(L_0\) để công suất của mạch đạt cực đại:
\(Z_{L_0}=Z_C=\dfrac{Z_{L_1}+Z_{L_2}}{2}\)
L biến thiên để URCmax, URCmin
+) Khi \(L\) biến thiên để \(U_{RCmax}\)
Khi \(Z_C=\dfrac{Z_L+\sqrt{4R^2+Z_L^2}}{2}\) thì \(U_{RCmax}=\dfrac{U(Z_L+\sqrt{4R^2+Z_L^2})}{2R}=\dfrac{UZ_C}{R}\)
Khi \(Z_C=0\) thì \(U_{RCmin}=\dfrac{UR}{\sqrt{R^2+Z_L^2}}\)
\(\tan \varphi_0=\dfrac{Z_C-Z_L}{R}=\dfrac{R}{Z_C}=\dfrac{U}{U_{RCmax}}\)
\(\tan 2\varphi_0=\dfrac{R}{Z_L}\)
+) Khi \(L\) biến thiên để \(U_{RCmin}\)
Khi \(Z_C=0\) thì \(U_{RCmin}=\dfrac{UR}{\sqrt{R^2+Z_L^2}}\)
L biến thiên để URLmax, URLmin
+) Khi \(L\) biến thiên để \(U_{RLmax}\)
Khi \(Z_L=\dfrac{Z_C+\sqrt{4R^2+Z_C^2}}{2}\) thì \(U_{RLmax}=\dfrac{U(Z_C+\sqrt{4R^2+Z_C^2})}{2}=\dfrac{UZ_L}{R}\)
Lưu ý: \(R\) và \(L\) mắc liên tiếp nhau
\(\tan \varphi_0=\dfrac{Z_L-Z_C}{R}=\dfrac{R}{Z_L}=\dfrac{U}{U_{RLmax}}\)
\(\tan 2 \varphi_0=\dfrac{2R}{Z_C}\)
+) Khi \(L\) biến thiên để \(U_{RLmin}\)
Khi \(Z_L=0\) thì \(U_{RLmin}=\dfrac{UR}{\sqrt{R^2+Z_C^2}}\)
Tìm C để UCmax
Khi \(C=C_1\) hoặc \(C=C_2\) thì \(U_C\) không đổi và \(\left\{\begin{matrix}\varphi_u-\varphi_i=\varphi_1\\ \varphi_u-\varphi_i=\varphi_2\end{matrix}\right.\)
Tìm \(C\) để \(U_{Cmax}\):
\(\dfrac{1}{Z_C}=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{Z_{C_1}}+\dfrac{1}{Z_{C_2}}\right ) \RightarrowC=\dfrac{C_1+C_2}{2}\)
\(\left\{\begin{matrix}U_C=U_{Cmax} \cos(\varphi_1-\varphi_0)\\ \tan \varphi_0=\dfrac{R}{Z_L}\end{matrix}\right.\)
Tìm giá trị cực đại công suất tiêu thụ
Tìm \(R_0\) để \(P_{max}\):
\(\left\{\begin{matrix} R_0+r=\begin{vmatrix} Z_L-Z_C \end{vmatrix}\\ P_{max}=\dfrac{U^2}{2 \begin{vmatrix} Z_L-Z_C \end{vmatrix}} \end{matrix}\right. \Rightarrow \cos \varphi=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Tìm \(R\) để \(P_{Rmax}\):
\(\left\{\begin{matrix} R=\sqrt{r^2+(Z_L-Z_C)^2}\\ P_{Rmax}=\dfrac{U^2}{2(R+r)}=\dfrac{rU^2}{r^2+(Z_L-Z_C)^2} \end{matrix}\right.\)
Tìm L để ULmax
+) Khi \(L=L_1\) hoặc \(L=L_2\) thì \(U_L\) không đổi và \(\left\{\begin{matrix} \varphi_u-\varphi_i=\varphi_1\\ \varphi_u-\varphi_i=\varphi_2 \end{matrix}\right.\)
Tìm \(L\) để \(U_{Lmax}\):
\(\dfrac{1}{Z_L}=\dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{1}{Z_{L_1}}+\dfrac{1}{Z_{L_2}} \right ) \Rightarrow L= \dfrac{2L_1L_2}{L_1+L_2}\)
\(\left\{\begin{matrix} \varphi_1+\varphi_2=2\varphi_0\\ U_L=U_{Lmax} \cos(\varphi_1-\varphi_0)\\ \tan \varphi_1=\dfrac{R}{Z_C} \end{matrix}\right.\)
Tính tần số góc để công suất cực đại
+) Cho \(\omega=\omega_1, \omega=\omega_2\) thì \(P\) như nhau. Tính \(\omega_0\) để \(P_{max}\): \(\omega_0^2=\omega_1 \omega_2=\dfrac{1}{LC}\)
+) Cho \(\omega=\omega_1\) thì \(U_{Lmax}\), \(\omega=\omega_2\) thì \(U_{Cmax}\). Tính \(\omega\) để \(P_{max}\): \(\omega=\sqrt{\omega_1 \omega_2}\)
Tính tần số góc để ULmax, UCmax
+) Cho \(\omega=\omega_1, \omega=\omega_2\) thì \(U_C\) như nhau và giá trị \(\omega_C\) ;àm cho \(U_{Lmax}\). Tính \(\omega_C\) để \(U_{Cmax}\):
\(\omega_C^2=\left (\dfrac{Z_T^2}{L} \right )^2=\dfrac{1}{2}(\omega_1^2+\omega_2^2)\)
+) Cho \(\omega=\omega_1,\omega=\omega_2\) thì \(U_L\) như nhau. Tính \(\omega_L\) để \(U_{Lmax}\):
\(\dfrac{1}{\omega_L^2}=(CZ_T)^2=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{\omega_1^2}+\dfrac{1}{\omega_2^2} \right )\)
Một số công thức khác
+) \(\tan \varphi_{RC}.\tan \varphi=-\dfrac{1}{2} \) khi \(U_{Cmax}\) với \(\omega\) thay đổi
+) \(\tan \varphi_{RL}.\tan \varphi=-\dfrac{1}{2}\) khi \(U_{Lmax}\) với \(\omega\) thay đổi
+) Khi \(R^2=\dfrac{L}{C} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\tan \varphi_{RL}.\tan \varphi_{RC}=1\\ \vec{U_{RL}} \bot \vec{U_{RC}}\end{matrix}\right.\)
+) \(\left\{\begin{matrix}\varphi_{AM}-\varphi_{MB}=\pm \dfrac{\pi}{2} \rightarrow \tan \varphi_{AM}.\tan \varphi_{MB}=-1\\ \varphi_{AM}+\varphi_{MB}=\pm \dfrac{\pi}{2} \rightarrow \tan \varphi_{AM}.\tan \varphi_{MB}=1\end{matrix}\right.\)
+) \(\tan(\varphi _{AM}-\varphi_{MB})=\dfrac{\tan \varphi_{AM}-\tan \varphi_{MB}}{1+\tan \varphi_{AM}.\tan\varphi_{MB}}\)
+) Cho mạch \(RL\) có \(u=A\cos^2(\omega t+\varphi)\) khi đó:
\(I=\sqrt{I_1^2+I_2^2}\) với \(\left\{\begin{matrix}I_1=\dfrac{A}{2R}\\ I_2=\dfrac{A}{\sqrt{8(R^2+Z_L^2)}}\end{matrix}\right.\)
\(i=I_0\cos \omega t \Rightarrow \left\{\begin{matrix} u_R=I_0R\cos \omega t\\ u_r=I_0r \cos \omega t\\ u_L=I_0Z_L\cos \begin{pmatrix} \omega t+\dfrac{\pi}{2}\\ \end{pmatrix}\\ u_C=I_0Z_C\cos \begin{pmatrix} \omega t-\dfrac{\pi}{2}\\ \end{pmatrix} \end{matrix}\right.\)
Ta có \(Z=\sqrt{(R+r)^2+(Z_L-Z_C)^2}\)
\(U^2=(U_R+U_r)^2+(U_L-U_C)\)
\(\tan \varphi=\dfrac{U_L-U_C}{U_R+U_r}=\dfrac{Z_L-Z_C}{R+r}\) với \(\varphi=\varphi_u-\varphi_i\)
- Nếu \(Z_L > Z_C\): u sớm pha hơn i
- Nếu \(Z_L < Z_C\): u trề pha hơn i
- Nếu \(Z_L=Z_C\): cộng hưởng xảy ra
