Đại số giải tích 11: Tổ hợp, chỉnh hợp: bài tập sắp xếp vị trí và phân công công việc
Câu 2: Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:
A. 45. B. 90. C. 100. D. 180.
Chọn B Mỗi đội sẽ gặp 9 đội còn lại. Do đó có 10.9=90 trận đấu. Câu 3: Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 180. B. 160. C. 90. D. 45.
Chọn A Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách. Có 10.9=90 trận. Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là 2.90=180 trận. Câu 4: Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là: A. $\dfrac{5!}{2!}$. B. $8$. C. $\dfrac{5!}{3!2!}$. D. ${{5}^{3}}$.
Chọn A Chọn 3 trong 5 màu để tô vào 3 nước khác nhau nên có $A_{5}^{3}=\dfrac{5!}{2!}$ cách. Câu 5: Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 người lần lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người: A. 11. B. 12. C. 33. D. 66.
Chọn B Cứ hai người sẽ có 1 lần bắt tay. Câu 6: Tên 15 học sinh được ghi vào 15 tờ giấy để vào trong hộp. Chọn tên 4 học sinh để cho đi du lịch. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các học sinh: A. 4!. B. 15!. C. 1365. D. 32760.
Chọn C Chọn 4 trong 15 học sinh (không phân biệt thứ tự) là tổ hợp chập 4 của 15. Vậy có $C_{15}^{4}=1365$ cách chọn. Câu 7: Một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh được chọn từ một nhóm 5 giáo viên và 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A. 200. B. 150. C. 160. D. 180.
Chọn A Chọn $2$ trong $5$ giáo viên có: $C_{5}^{2}=10$ cách chọn. Chọn $3$ trong $6$ học sinh có $C_{6}^{3}=20$ cách chọn. Vậy có 10.20=200 cách chọn. Câu 8: Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An: A. 990. B. 495. C. 220. D. 165.
Chọn D Chọn An có 1 cách chọn. Chọn $3$ bạn trong $11$ bạn còn lại có $C_{11}^{3}=165$ cách chọn. Vậy có 165 cách chọn. Câu 9: Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn: A. 25. B. 26. C. 31. D. 32.
Chọn B Chọn lần lượt nhóm có $2,\,3,\,4,\,5$ người, ta có $C_{5}^{2},\,C_{5}^{3},\,C_{5}^{4},\,C_{5}^{5}$ cách chọn. Vậy tổng cộng có: $C_{5}^{2}+C_{5}^{3}+C_{5}^{4}+C_{5}^{5}=26$ cách chọn. Câu 10: Một tổ gồm 7 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực sao cho có ít nhất 2 nữ? A. \[\left( C_{7}^{2}+C_{6}^{5})+(C_{7}^{1}+C_{6}^{3} \right)+C_{6}^{4}\]. B. \[\left( C_{7}^{2}.C_{6}^{2} \right)+\left( C_{7}^{1}.C_{6}^{3} \right)+C_{6}^{4}\]. C. $C_{11}^{2}.C_{12}^{2}$. D. $C_{7}^{2}.C_{6}^{2}+C_{7}^{3}.C_{6}^{1}+C_{7}^{4}$.
Chọn B Chọn nhóm gồm $2$ nam, $2$ nữ, có $C_{7}^{2}.C_{6}^{2}$ cách. Chọn nhóm gồm $1$ nam, $3$ nữ, có $C_{7}^{1}.C_{6}^{3}$ cách. Chọn nhóm gồm $4$ nữ, có $C_{6}^{4}$ cách Vậy có: $\left( C_{7}^{2}.C_{6}^{2} \right)+\left( C_{7}^{1}.C_{6}^{3} \right)+C_{6}^{4}$ cách. Câu 11: Số cách chia $10$ học sinh thành $3$ nhóm lần lượt gồm $2$, $3$, $5$ học sinh là: A. $C_{10}^{2}+C_{10}^{3}+C_{10}^{5}$. B. $C_{10}^{2}.C_{8}^{3}.C_{5}^{5}$. C. $C_{10}^{2}+C_{8}^{3}+C_{5}^{5}$. D. $C_{10}^{5}+C_{5}^{3}+C_{2}^{2}$.
Chọn B Chọn $2$ trong $10$ học sinh chia thành nhóm $2$ có: $C_{10}^{2}$ cách. Chọn $3$ trong $8$ học sinh còn lại chia thành nhóm $3$ có: $C_{8}^{3}$ cách. Chọn $5$ trong $5$ học sinh còn lại chia thành nhóm $5$ có $C_{5}^{5}$ cách. Vậy có $C_{10}^{2}.C_{8}^{3}.C_{5}^{5}$ cách. Câu 12: Một thí sinh phải chọn 10 trong số 20 Câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 Câu hỏi này nếu 3. Câu đầu phải được chọn: A. $C_{20}^{10}$. B. $c_{7}^{10}+C_{10}^{3}$. C. $C_{10}^{7}.C_{10}^{3}$. D. $C_{17}^{7}$.
Chọn D Thí sinh chỉ phải chọn $7$ Câu trong $17$ Câu còn lại. Vậy có $C_{17}^{7}$ cách chọn. Câu 13: Trong các Câu sau Câu nào sai? A. $C_{14}^{3}=C_{14}^{11}$. B. $C_{10}^{3}+C_{10}^{4}=C_{11}^{4}$. C. $C_{4}^{0}+C_{4}^{1}+C_{4}^{2}+C_{4}^{3}+C_{4}^{4}=16$. D. $C_{10}^{4}+C_{11}^{4}=C_{11}^{5}$.
Chọn D Ta có công thức: $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ nên đáp án sai là $C_{10}^{4}+C_{11}^{4}=C_{11}^{5}$. Câu 14: Có tất cả 120 cách chọn 3 học sinh từ nhóm n (chưa biết) học sinh. Số n là nghiệm của phương trình nào sau đây? A. $n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=120$. B. $n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=720$. C. $n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)=120$. D. $n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)=720$.
Chọn D Chọn $3$ trong $n$ học sinh có $C_{n}^{3}=\dfrac{n!}{\left( n-3 \right)!.3!}=\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}$. Khi đó $C_{n}^{3}=120\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)=720$. Câu 15: Số cách chọn một ban chấp hành gồm một trưởng ban, một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ được chọn từ 16 thành viên là: A. 4. B. $\dfrac{16!}{4}$. C. $\dfrac{16!}{12!.4!}$. D. $\dfrac{16!}{12!}$.
Chọn D Chọn 4 trong 16 thành viên để bầu ban chấp hành (có phân biệt thứ tự) có $A_{16}^{4}=\dfrac{16!}{12!}$ Câu 16: Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nằng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên. A. 4. B. 20. C. 24. D. 120.
Chọn C Sắp xếp thứ tự biểu diễn của 4 ban nhạc còn lại có $A_{4}^{4}=4!=20$ cách. Câu 17: Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng: A. 720. B. 1440. C. 18720. D. 40320.
Chọn C Ta dùng phần bù. Sắp 8 người vào 8 vị trí theo hàng dọc có 8! cách sắp xếp. Sắp ông và bà An vào 2 trong 6 vị trí (trừ vị trí đầu và cuối hàng) có $A_{6}^{2}$ cách. Sắp 6 người con vào 6 vị trí còn lại có 6! cách. Câu 18: Trong một hộp bánh có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi. A. 240. B. 151200. C. 14200. D. 210.
Chọn D Chọn 6 trong 10 bánh có $C_{10}^{6}=210$ cách. Câu 19: Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên A. 144 B. 125 C. 140 D. 132
Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền. Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có $2!=2$ cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có $4.2=8$ cách chọn nền. Bước 2: nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có $3!=6$ cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có $3.6=18$ cách chọn nền. Vậy có $8.18=144$ cách chọn nền cho mỗi người Câu 20: Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là: A. 180 B. 160. C. 90. D. 45.
Chọn A Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách. Có 10.9=90 trận. Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là 2.90=180 trận. Câu 21: Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải tích và 3 cuốn Hình học. Ông muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi loại sách còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng. A. 23314 B. 32512 C. 24480 D. 24412
Số cách lấy 5 cuốn sách và đem tặng cho 5 học sinh:$S=A_{10}^{5}=30240$ cách. Số cách chọn sao cho không còn sách Đại số:${{S}_{1}}=C_{7}^{2}.5!=2520$ cách Số cách chọn sao cho không còn sách Giải tích:${{S}_{2}}=C_{6}^{1}.5!=720$ cách Số cách chọn sao cho không còn sách Hình học:${{S}_{3}}=C_{7}^{2}.5!=2520$ cách. Vậy số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán::$S-{{S}_{1}}-{{S}_{2}}-{{S}_{3}}=24480$ cách tặng. Câu 22: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ ? A. 12141421 B. 5234234 C. 4989600 D. 4144880
Có $C_{12}^{4}$ cách phân công 4 nam về tỉnh thứ nhất Với mỗi cách phân công trên thì có $C_{8}^{4}$ cách phân công 4 nam về tỉnh thứ hai và có $C_{4}^{4}$ cách phân công 4 nam còn lại về tỉnh thứ ba. Khi phân công nam xong thì có $3!$ cách phân công ba nữ về ba tỉnh đó. Vậy có tất cả $C_{12}^{4}.C_{8}^{4}.C_{4}^{4}.3!=4989600$ cách phân công. Câu 23: Đội thanh niên xung kích có của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? A. 4123 B. 3452 C. 372 D. 446
TH 1: 4 học sinh được chọn thuộc một lớp: $\bullet $ A: có $C_{5}^{4}=5$ cách chọn $\bullet $ B: có $C_{4}^{4}=1$ cách chọn Trường hợp này có: $6$ cách chọn. TH 2: 4 học sinh được chọn thuộc hai lớp: $\bullet $ A và B: có $C_{9}^{4}-(C_{5}^{4}+C_{4}^{4})=120$ $\bullet $ B và C: có $C_{9}^{4}-C_{4}^{4}=125$ $\bullet $ C và A: có $C_{9}^{4}-C_{5}^{4}=121$ Trường hợp này có 366 cách chọn. Vậy có 372 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán. Câu 24: Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội cờ đỏ. A. 131444 B. 141666 C. 241561 D. 111300
Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau: $\bullet $ chọn 1 nữ và 4 nam. +) Số cách chọn 1 nữa: 5 cách +) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^{2}$ +) Số cách chọn 2 nam còn lại: $C_{13}^{2}$ Suy ra có $5A_{15}^{2}.C_{13}^{2}$ cách chọn cho trường hợp này. $\bullet $ chọn 2 nữ và 3 nam. +) Số cách chọn 2 nữ: $C_{5}^{2}$ cách. +) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^{2}$cách. +) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách. Suy ra có \[13A_{15}^{2}.C_{5}^{2}\] cách chọn cho trường hợp này. $\bullet $ Chọn 3 nữ và 2 nam. +) Số cách chọn 3 nữ : $C_{5}^{3}$ cách. +) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^{2}$ cách. Suy ra có $A_{15}^{2}.C_{5}^{3}$ cách chọn cho trường hợp 3. Vậy có $5A_{15}^{2}.C_{13}^{2}+13A_{15}^{2}.C_{5}^{2}+A_{15}^{2}.C_{5}^{3}=111300$ cách. Câu 25: Một Thầy giáo có 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Văn và 7 cuốn sách anh văn và các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy giáo muốn tặng 6 cuốn sách cho 6 học sinh. Hỏi Thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu: 1/ Thầy giáo chỉ muốn tặng hai thể loại A. 2233440 B. 2573422 C. 2536374 D. 2631570 2/ Thầy giáo muốn sau khi tặng xong mỗi thể loại còn lại ít nhất một cuốn. A. 13363800 B. 2585373 C. 57435543 D. 4556463
1/ Tặng hai thể loại Toán, Văn có :$A_{11}^{6}$ cách Tặng hai thể loại Toán, Anh Văn có :$A_{12}^{6}$ cách Tặng hai thể loại Văn, Anh Văn có :$A_{13}^{6}$ cách Số cách tặng: $A_{11}^{6}+A_{12}^{6}+A_{13}^{6}=2233440$ 2/ Số cách tặng hết sách Toán : $5!.13=1560$ Số cách tặng hết sách Văn: $6!=720$ Số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán: $A_{18}^{6}-1560-720=13363800$. Câu 26: Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn A. 41811 B. 42802 C. 41822 D. 32023
Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là: $C_{13}^{8}+C_{11}^{8}+C_{12}^{8}=1947$. Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: $C_{18}^{8}-1947=41811$. Câu 27: Một cuộc họp có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay? A. 69 B. 80 C. 82 D. 70
Số bắt tay 12 người (trừ chủ tọa) $C_{12}^{2}$ Vậy có : $C_{12}^{2}+3=69$ bắt tay. Câu 28: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn A. 41811 B. 42802 C. 41822 D. 32023
Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là: $C_{13}^{8}+C_{11}^{8}+C_{12}^{8}=1947$. Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: $C_{18}^{8}-1947=41811$. Câu 29: Trong một môn học, Thầy giáo có 30 Câu hỏi khác nhau gồm 5 Câu khó, 10 Câu trung bình và 15 Câu dễ.Từ 30 Câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,mỗi đề gồm 5 Câu hỏi khác nhau,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 Câu ( khó, dễ, Trung bình) và số Câu dễ không ít hơn 2? A. 41811 B. 42802 C. 56875 D. 32023
Ta có các trường hợp sau TH 1: Đề thi gồm 2 D, 2 TB, 1 K: $C_{15}^{2}.C_{10}^{2}.C_{5}^{1}$ TH 1: Đề thi gồm 2 D, 1 TB, 2 K: $C_{15}^{2}.C_{10}^{1}.C_{5}^{2}$ TH 1: Đề thi gồm 3 D, 1 TB, 1 K: $C_{15}^{3}.C_{10}^{1}.C_{5}^{1}$ Vậy có: $56875$ đề kiểm tra. Câu 30: Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác A. 111300 B. 233355 C. 125777
Khi đó $C_{n}^{2}=66\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!.2!}=66\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)=132\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
n=12 \\
n=-11 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow n=12$ $\left( n\in \mathbb{N} \right)$