Quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, trắc nghiệm toán 11

Đáp án A.

Bước 1: Chọn bạn nam có \[17\] cách. Bước 2: Chọn bạn nữ có \[11\] cách. Theo quy tắc nhân ta có \[17.11=187\] cách

Số cách để chọn ra \[1\] bạn nam làm lớp trường là\[17\]. Số cách để chọn ra \[1\] bạn nữ làm lớp trưởng là\[11\]. Vậy có \[11+17=28\] cách.

Đáp án C.

Đi từ \[A\] đến \[D\] có \[4.2.3=24\] cách.

Đi từ \[D\] về \[B\] có \[3.2=6\] cách.

Vậy đi từ x đến  rồi quay lại B có  cách.

Đáp án B.

Gọi \[A\] là tập các học sinh khá môn Toán,\[B\] là tập các học sinh khá môn Ngữ Văn. Theo đề ta có:$\left| A \right|=25;\left| B \right|=24;\left| A\cap B \right|=10$.

Theo quy tắc tính số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn bất kì ta có: $\left| A\cup B \right|=\left| A \right|+\left| B \right|-\left| A\cap B \right|=25+24-10=39$

Vậy lớp học có \[39+3=42\] học sinh.

Đáp án A.

Kí hiệu \[A,B,C\] tương ứng là tập hợp các thí sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba môn là Toán, Vật lí, Hóa học. $\left| A \right|=51;\left| B \right|=73;\left| C \right|=64;\left| A\cap B \right|=32;\left| B\cap C \right|=45;\left| A\cap C \right|=21;\left| A\cap B\cap C \right|=10.$

Lúc này ta có $A\cup B\cup C$ là tập hợp các học sinh đạt điểm giỏi ở ít nhất một trong ba môn là Toán, Vật lí, Hóa học. Ta có: $\left| A\cup B\cup C \right|=\left| A \right|+\left| B \right|+\left| C \right|-\left| A\cap B \right|-\left| B\cap C \right|-\left| A\cap C \right|+\left| A\cap B\cap C \right|=51+73+64-32-45-21+10=100.$

Vậy số thí sinh dự tuyển vào công ty VEDU là $100+767=867$.

Đáp án B.

Theo quy tắc tính số phần tử của ba tập hợp hữu hạn bất kì, ta có số người xem ít nhất một bộ phim là  người.

Vậy số người không xem bất cứ bộ phim nào là  người.

Đáp án B.

Chọn \[1\] vở kịch có \[2\] cách. Chọn \[1\] điệu múa có \[3\] cách. Chọn \[1\] bài hát có \[6\] cách.

Vậy theo quy tắc nhân ta có \[2.3.6=36\] cách.

Đáp án A.

Nhận xét: Bài toán là sự kết hợp giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Do hai viên bi cùng màu không được ớ cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:

Phương án 1: Các bi đỏ ở vị trí lẻ. Có \[8\] cách chọn bi đỏ ở vị trí số\[1\].

Có \[7\] cách chọn bi đỏ ờ vị trí số\[3\].

….

Có \[1\] cách chọn bi đỏ ờ vị trí số\[15\].

Suy ra có \[8.7.6…3.2.1\] cách xếp \[8\] bi đỏ.Tương tự có \[8.7.6…3.2.1\] cách xếp \[8\] bi xanh.

Vậy có \[{{(8.7…3.2.1)}^{2}}\] cách xếp.

Phương án 2: Các bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.

Vậy theo quy tắc cộng ta có\[{{(8!)}^{2}}+{{(8!)}^{2}}=3251404800\].

Đáp án C.

Cách 1:

Bước 1: Học sinh đầu tiên, giả sử đó là học sinh lớp \[A\] có \[10\] cách chọn ghế.

Bước 2: Có \[5\] cách chọn ra một học sinh lớp \[B\] ngồi vào ghế đối diện.

Bước 3: Có \[8\] cách chọn ra một học sinh lớp \[A\] vào ghế tiếp theo.

Bước 4: Có \[4\] cách chọn ra học sinh lớp \[B\] vào ghế đối diện.

Bước 5: Có \[6\] cách chọn ra học sinh lớp \[A\].

Bước 6: Có \[3\] cách chọn học sinh lớp \[B\] vào ghế đối diện.

Bước 7: Có \[4\] cách chọn học sinh lớp \[A\] vào ghế tiếp.

Bước 8: Có \[2\] cách chọn học sinh lớp \[B\] vào ghế đối diện.

Bước 9: Có \[2\] cách chọn học sinh lớp \[A\] vào ghế kế tiếp.

Bước 10: Có \[1\] cách chọn học sinh lớp \[B\] vào ghế đối diện.

Theo quy tắc nhân thì có \[10.5.8.4.6.3.4.2.2.1={{\left( 5! \right)}^{2}}{{.2}^{5}}=460800\] cách.

Cách 2:

Vì \[2\] học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp nên mỗi cặp ghế đối diện nhau sẽ được xếp bởi \[1\] học sinh lớp \[A\] và \[1\] học sinh lớp\[B\].

Số cách xếp \[5\] học sinh lớp \[A\] vào \[5\] cặp ghế là \[5!\] cách. Số cách xếp \[5\] học sinh lớp \[B\] vào \[5\] cặp ghế là \[5!\] cách. Số cách xếp chỗ ở mỗi cặp ghế là \[2\] cách.

Theo quy tắc nhân thì có \[{{\left( 5! \right)}^{2}}{{.2}^{5}}=460800\] cách.

Đáp án A.

Bước 1: Có \[20\] cách chọn người đàn ông đầu tiên.

Bước 2: Sau đó chi có \[1\] cách chọn vợ của anh ta.

Bước 3: Có \[19\] cách chọn người đàn ông tiếp theo.

Bước 4: Sau đó chi có \[1\] cách chọn vợ của anh ta.

Vậy theo quy tắc nhân thì có \[20.1.19.1=380\] cách.

Đáp án A.

TH1: Số có \[10\] chữ số\[5\] : chi có \[1\] số duy nhất.

TH2: Số có \[9\] chữ số \[5\] và \[1\] chữ số\[2\].

Xếp \[9\] số \[5\] thành hàng có \[1\] cách. Khi đó tạo nên \[10\] “vách ngăn” đế xếp số\[2\].

Xếp số \[2\] có $C_{10}^{1}$ cách. Vậy có $C_{10}^{1}$ số.

TH3: Số có \[8\] chữ số \[5\] và \[2\] chữ số\[2\].

Tưong tự sử dụng phương pháp tạo vách ngăn như TH2 thì tìm được $C_{9}^{2}$ số.

TH4: Số có \[7\] chữ số \[5\] và \[3\] chữ số\[2\] : có $C_{8}^{3}$số.

TH5: Số có \[6\] chữ số \[5\] và \[4\] chữ số\[2\] : có $C_{7}^{4}$ số.

TH6: Có \[5\] chữ số \[5\] và \[5\] chữ số\[2\] : có $C_{6}^{5}$ số.

Vậy theo quy tắc cộng thì có \[1+C_{10}^{1}+{{C}_{9}}^{2}+{{C}^{3}}+{{C}_{7}}^{4}+{{C}_{6}}^{5}=144\] số.

Đáp án A.

Ta sử dụng phương pháp tạo “vách ngăn” được giới thiệu ờ phần lí thuyết.

Bước 1: Xếp vị trí cho \[6\] học sinh có \[6!\] cách.

Bước 2: Do đề yêu cầu mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh nên ta chỉ tính \[5\] vách ngăn được tạo ra giữa \[6\] học sinh. Số cách xếp \[3\] thầy giáo vào \[5\] vị trí là $A_{5}^{3}$ cách.

Vậy theo quy tắc nhân thì có $6!.~A_{5}^{3}=43200$ cách.

Đáp án C.

Do ở đây việc tìm trực tiếp sẽ có nhiều trường hợp nên ta sẽ giải bài toán bằng cách gián tiếp. Ta sẽ đi tìm bài toán đối.

Ta đi tìm số cách chọn ra \[5\] bạn mà trong đó có cả hai bạn Thùy và Thiện.

Bước 1: Chọn nhóm \[3\] em trong \[13\] em, trừ Thùy và Thiện thì có $C_{13}^{3}=286$ cách.

Bước 2: Ghép 2 em Thùy và Thiện có \[1\] cách.

Vậy theo quy tắc nhân thì có \[286\] cách chọn \[5\] em trong đó cả Thùy hoặc Thiện đều được chọn.

– Chọn \[5\] em bất kì trong số \[15\] em có $C_{15}^{5}=3003$cách. Vậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả \[3003-286=2717\] cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy và Thiện không được chọn.

Đáp án A.

Do ở đây xuất hiện dấu hiệu cúa phương pháp “buộc” phần từ đó là các phần tử được xếp cạnh nhau nên ta áp dụng như sau:

Bước 1: Buộc \[3\] em nữ thành một buộc thì số cách đổi vị trí các em nữ trong buộc đó là \[3!\] cách.

Bước 2: Sau khi buộc \[3\] em nữ thì ta chỉ còn \[8\] phần tử. Số cách xếp \[8\] phần từ này là \[8!\] cách.

Theo quy tắc nhân thì có \[3!.8!=241920\] cách.

Đáp án D.

Gọi $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ là số cần lập. Theo giả thiết ${{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=8.$ Suy ra ${{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\in \left\{ 1;2;5 \right\}$ hoặc ${{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\in \left\{ 1;3;4 \right\}$

TH1: ${{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\in \left\{ 1;2;5 \right\}$

Có $3!$ cách chọn $\overline{{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}}$. Xếp ${{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{6}}$ có $A_{6}^{3}$ cách. Vậy theo quy tắc nhân thì có $3!A_{6}^{3}=720$ số.

TH2: ${{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\in \left\{ 1;3;4 \right\}$

Tương tự ta cũng tìm được \[720\] số.

Vậy có tất cả $720+720=1440$ số.

Đáp án C.

Số tam giác có 3 đỉnh là \[3\] trong \[2n\] điểm \[{{A}_{1}};{{A}_{2}};…;{{A}_{2n}}\] là $C_{2n}^{3}$.

Ứng với hai đường chéo đi qua tâm của đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{2n}}\]cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh

là \[4\] điểm trong \[2n\] điểm \[{{A}_{1}};{{A}_{2}};…;{{A}_{2n}}\]và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra \[2\] đường chéo đi qua tâm$O$ của đa giác.

Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều \[2n\] đỉnh là \[n\] nên số hình chữ nhật có đỉnh là \[4\] trong \[2n\] điểm là $C_{n}^{2}$

Theo đề bài ta có: $C_{2n}^{3}=20C_{n}^{2}\Leftrightarrow \dfrac{2n\left( 2n-1 \right)\left( 2n-2 \right)}{3!}=\dfrac{20n\left( n-1 \right)}{2}\Leftrightarrow n=8$.

Đáp án C.

Số cách chọn ra \[3\] màu trong \[5\] màu mà không có màu nào trùng nhau là $C_{5}^{3}=\dfrac{5!}{3!.2!}$.

Đáp án B.

Bưóc 1: Xếp chỗ cho hai ông bà An có $2$ cách.

Bước 2: xếp chỗ cho \[6\] người con có \[6!\] cách.

Theo quy tắc nhân thì có \[2.6!=1440\] cách

Đáp án A.

Xét các trường hợp:

THI: Đề gồm \[2\] câu dễ, \[2\] câu khó, \[1\] câu trung bình thì có \[C_{15}^{2}C_{5}^{2}C_{10}^{1}=10500\] đề.

TH2: Đề gồm \[2\] câu dễ, \[1\] câu khó và \[2\] câu trung bình thì có \[C_{15}^{2}C_{5}^{1}C_{10}^{2}=23625\]đề.

TH3: Đề gồm \[3\] câu dễ, \[1\] câu khó và \[1\] câu trung bình thì có \[C_{15}^{3}C_{5}^{1}C_{10}^{1}=22750\]đề.

Theo quy tắc cộng thì có \[10500+23625+22750=56875\] đề.

Đáp án A.

Theo quy tắc nhân ta thực hiện từng bước. Chữ cái đầu tiên có \[24\] cách chọn. Chữ cái tiếp theo cũng có \[24\] cách chọn.

Chữ số đầu tiên có \[9\] cách chọn

Chữ số thứ hai có \[10\] cách chọn.

Chữ số thứ ba có \[10\] cách chọn

Chữ số thứ bốn có \[10\] cách chọn

Chữ số thứ năm có \[10\] cách chọn

Chữ số thứ sáu có \[10\] cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân ta có ${{24.24.9.10}^{5}}={{5184.10}^{5}}$ là số ô tô nhiều nhất có thể đăng ký.

Đáp án A.

Có $C_{4}^{2}=6$ cách chọn \[2\] trong \[4\] tiêu chuẩn.

Với hai tiêu chuẩn “chất liệu, cỡ” thì có $1.2=2$ miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.

Với hai tiêu chuẩn “chất liệu, màu” thì có $1.3=3$ miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.

Với hai tiêu chuẩn “chất liệu, dạng” thì có $1.3=3$ miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.

Với hai tiêu chuẩn “cỡ, dạng” thì có $2.3=6$ miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.

Với hai tiêu chuẩn “cỡ, màu” thì có $3.3=9$ miếng khác ở đúng tiêu chuẩn này.

Tóm lại có $2+3+3+6+6+9=29$ miếng.

Đáp án A.

Ta thấy điều kiện xếp là hai bi cùng màu không nằm cạnh nhau nên ta phải xếp xen kẽ các viên bi.

Có \[2\] cách chọn viên bi đầu tiên (có thể là đỏ hoặc trắng). Mỗi cách chọn có $5!$ cách xếp \[5\] bi đỏ và có $5!$ cách xếp \[5\] bi trắng. Vậy có $2.5!.5!=28800$ cách xếp.

Nhiều bạn có lời giải sai như sau: Ở đây ta áp dụng quy tắc “vách ngăn” để giải quyết bài toán.

Số cách xếp \[5\] bi đỏ là có $5!$ cách. \[5\] bi đỏ tạo ra \[6\] vách ngăn để xếp \[5\] bi trắng vào. Số cách xếp \[5\] bi trắng là $A_{6}^{5}$ cách.

Vậy số cách xếp các viên bi là $5!.A_{6}^{5}=86400$. Từ đây chọn \[B\] là sai. Do nếu theo quy tắc vách ngăn ở đây có \[6\] vách mà có \[5\] bi, tức là có thể có vách ngăn trống khiến cho \[2\] viên bi cùng màu cạnh nhau.

Đáp án A.

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng$\overline{abcde}$.

TH1: Nếu $a=1$ khi đó có$A_{7}^{4}=840$cách chọn \[4\] chữ số xếp vào $b,c,d,e$.

TH2: Nếu $a\ne 1$ , khi đó: Có \[6\] cách chọn a. Có \[2\] cách xếp chữ số \[1\] vào số cần tạo ở vị trí $b$ hoặc$c$. Các chữ số còn lại trong số cần tạo có $A_{6}^{3}$ cách chọn. Như vậy trường hợp này có $2.6.A_{6}^{3}=1440$ số. Vậy có tất cả $840+1440=2280$ số.

Chú ý: Nhiều độc giả quên mất $a\ne 0$ nên tính cả $a=0$ nên dẫn đến ra \[D\] là sai.

Đáp án B.

Các trường hợp lấy được \[4\] bi trong đó số bi đỏ lớn hơn số bi vàng như sau:

*TH1: Số bi lấy được không có bi vàng:

– lấy \[4\] bi đỏ: Có $C_{5}^{4}$ cách

– Lấy \[1\] bi đỏ, \[3\] bi xanh có $C_{5}^{1}C_{4}^{3}$ cách.

– Lấy \[2\] bi đỏ, \[2\] bi xanh có $C_{5}^{2}C_{4}^{2}$ cách.

– Lấy \[3\] bi đỏ, \[1\] bi xanh có $C_{5}^{3}C_{4}^{1}$ cách.

*TH2: \[4\] bi lấy được có đúng \[1\] bi vàng

– Lấy \[2\] bi đỏ, \[1\] bi vàng, \[1\] bi xanh có $C_{5}^{2}C_{3}^{1}C_{4}^{1}$ cách.

– Lấy \[3\] bi đỏ, \[1\] bi vàng có $C_{5}^{3}C_{3}^{1}$ cách.

Vậy số cách là: $C_{5}^{4}+C_{5}^{1}C_{4}^{3}+C_{5}^{2}C_{4}^{2}+C_{5}^{3}C_{4}^{1}+C_{5}^{2}C_{3}^{1}C_{4}^{1}+C_{5}^{3}C_{3}^{1}=275$

Đáp án C.

Ta có 2 trường hợp:

TH1:tam giác gồm hai đỉnh thuộc ${{d}_{1}}$ và một đỉnh thuộc ${{d}_{2}}$. Số cách chọn bộ hai điểm trong \[10\] điểm thuộc ${{d}_{1}}$ là $C_{10}^{2}$. Số cách chọn một điểm trong \[15\] điểm thuộc \[{{d}_{2}}\] là $C_{15}^{1}$.Theo quy tắc nhân thì có $C_{10}^{2}C_{15}^{1}$ tam giác.

TH2: Gồm một đỉnh thuộc \[{{d}_{1}}\] và hai đỉnh thuộc\[{{d}_{2}}\]. Tương tự ta tìm được $C_{10}^{1}C_{15}^{2}$ tam giác thỏa mãn.

Vậy theo quy tắc cộng thì có tất cả $C_{10}^{2}C_{15}^{1}+C_{10}^{1}C_{15}^{2}$ tam giác.

Đáp án B.

Có $C_{7}^{3}$ cách để xếp \[3\] chữ số\[2\]. Khi đó có $A_{6}^{4}$ cách xếp \[4\] chữ số còn lại. Vậy có $C_{7}^{3}A_{6}^{4}=12600$ số.

Đáp án A.

Cách 1: Chú ý: Bài toán không nói vectơ có khác vectơ không nên ta vẫn xét cả vectơ không ở đây. Và 2 điểm khác nhau tạo nên 2 vectơ có điểm đầu và điểm cuối hoán vị cho nhau nên ở đây việc chọn vectơ sẽ sử dụng chỉnh hợp chứ không phải tổ hợp.

TH1: Có $2010$vectơ không được tạo thành.

TH2: Các vectơ khác vectơ không

Mỗi vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán ứng với một chỉnh hợp chập \[2\] của\[2010\] , nên số vectơ cần tìm là $A_{2010}^{2}$. Theo quy tắc cộng thì có $A_{2010}^{2}+2010=4040100$ vectơ tạo thành.

Cách 2: Có \[2010\] cách chọn điểm đầu. có \[2010\] cách chọn điểm cuối. $\Rightarrow $ Có ${{2010}^{2}}=4040100$ vectơ.

Đáp án A.

Tương tự Câu 24 ta có số tam giác được tạo thành theo $n$ là $C_{10}^{1}C_{n}^{2}+C_{10}^{2}C_{n}^{1}=2800\Leftrightarrow 10\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}+45n=2800\Leftrightarrow {{n}^{2}}+8n-560=0\Leftrightarrow n=20$.

Đáp án D.

*Gọi \[n\] điểm đã cho là ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$. Xét một điểm cố định, khi đó có $C_{n-1}^{2}$ đường thẳng được xác định bởi \[2\] trong $n-1$ điểm còn lại nên sẽ có $C_{n-1}^{2}$ đường thẳng vuông góc đi qua điểm cố định đó.

*Do đó có tất cả $nC_{n-1}^{2}=\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{2}$ đường thẳng vuông góc nên có $C_{\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{2}}^{2}$ giao điểm (tính cả những giao điểm trùng nhau)

*Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại

– Qua một điểm có $C_{n-1}^{2}=\dfrac{\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{2}$ đường thẳng vuông góc nên ta phải trừ đi $n\left( C_{n-1}^{2}-1 \right)$ điểm.

– Qua ba điểm \[~{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}}\]của 1 tam giác có 3 đường thẳng cùng vuông góc với ${{A}_{4}}{{A}_{5}}$ và 3 đường thẳng này song song với nhau nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi $3C_{n}^{3}$

– Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất \[2\] điểm cho mỗi tam giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi $2C_{n}^{3}$.

Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: $C_{\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{2}}^{2}-\left[ n\left( C_{n-1}^{2}-1 \right)+5C_{n}^{3} \right]$.

Đáp án A.

Do các thành viên cùng câu lạc bộ thì ngồi cạnh nhau nên ta sử dụng phương pháp “buộc” các phần tưt để giải quyết bài toán.

Lúc này ta có \[3\] phần tử đó là \[3\] câu lạc bộ. Theo công thức hoán vị vòng quanh được giới thiệu ở phần ví dụ thì ta có $2!$ cách xếp \[3\] câu lạc bộ vào bàn tròn. Với mỗi cách xếp thì có:

$3!$ cách xếp các thành viên CLB Máu Sư phạm.

$5!$ cách xếp các thành viên CLB Truyền thông.

$7!$ cách xếp các thành viên CLB Kỹ năng.

Vậy theo quy tắc nhân thì có tất cả: $2!.3!.5!.7!=7257600$ cách xếp.

Đáp án A.

Cách 1: Số cách lấy \[3\] bông hồng bất kì: $C_{25}^{3}=2300$

Số cách lấy \[3\] bông hòng chỉ có một màu: $C_{7}^{3}+C_{8}^{3}+C_{10}^{3}=211$

Số cách lấy \[3\] bông hồng có đúng hai màu: $C_{15}^{3}+C_{17}^{3}+C_{18}^{3}-2\left( C_{7}^{3}+C_{8}^{3}+C_{10}^{3} \right)=1529$

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là$2300-211-1529=560$.

Cách 2: Có \[7\] cách chọn bông hồng màu đỏ. Có \[8\] cách chọn bông hồng màu vàng. Có \[10\] cách chọn bông hồng màu trắng. $\Rightarrow $ Có $7.8.10=560$ cách.

Đáp án B.

Áp dụng quy tắc “buộc” các phần tử ta có $2!$ cách xếp hai vợ chồng. Sau khi “buộc” hai vợ chồng lại thì ta có tất cả \[5\] phần tử. Theo công thức hoán vị vòng quanh thì số cách xếp \[5\] phần tử quanh bàn tròn là $4!$.

Vậy theo quy tắc nhân thì có $2!.4!=48$.

Đáp án A.

Ta lần lượt đánh số các ghế từ \[1\] đến\[10\].

• Nếu người chồng ở vị trí số \[1\] thì có \[9\] cách xếp người vợ.
• Nếu người chồng ở vị trí số \[2\] thì có \[8\] cách xếp người vợ.
• ….
• Nếu người chồng ở vị trí số \[9\] thì có \[1\] cách xếp người vợ.

Vậy có tất cả $9+8+7+6+5+4+3+2+1=45$ cách.

Đáp án D.

Bước 1:Chọn bi

• Số cách chọn ra \[5\] viên bi bất kì là $C_{45}^{5}$ cách.
• Số cách chọn ra \[5\] viên bi trong đó không có viên bi đỏ nào là $C_{35}^{5}$ cách.
• Số cách chọn ra 5 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi màu đỏ là $C_{45}^{5}-C_{35}^{5}$ cách.

Bước 2: Sắp xếp các viên bi.

Số cách xếp 5 viên bi vào 5 ô là $5!$

Theo quy tắc nhân thì có $5!.(C_{45}^{5}-C_{35}^{5})=107655240$.

Đáp án A.

Xét các trường hợp sau:

– Lấy được 1 lá cờ, 3 lá rô và 4 chuồn thì có $C_{3}^{1}C_{13}^{3}C_{13}^{1}C_{13}^{3}=22620312$ cách lấy.

Theo quy tắc cộng thì có tất cả $22620312+13823524+2658370=39102206$ cách lấy.

Đáp án A.

Gọi số cần tìm là $\overline{abcab}$.

Có 9 cách chọn a.

Có 10 cách chọn b.

Có 10 cách chọn c.

Vậy có tất cả $9.10.10=900$ số.

Đáp án A.

Gọi \[{{A}_{k}}\] là phương án: Chọn nhóm có $k$ học sinh và chỉ định nhóm trưởng của nhóm.

Thầy chủ nhiệm có các phương án ${{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},…,{{A}_{n-1}}$. Ta tính xem có bao nhiêu cách thực hiện.

Phương án ${{A}_{k}}$ có hai công đoạn:

– Công đoạn 1: Chọn $k$ học sinh có $C_{n}^{k}$ cách chọn.

– Công đoạn 2: Chỉ định nhóm trưởng: có $k$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân thì phương án ${{A}_{k}}$ có $kC_{n}^{k}$ cách thực hiện.

Vậy theo quy tắc cộng thì $T=\sum\limits_{k=2}^{n-1}{kC_{n}^{k}}$.

a) Đáp án C.

* Có $8+4=12$ nam họ Nguyễn và có $8+5=13$ nữ họ Nguyễn. Vậy có $12.13=156$ cặp cùng họ Nguyễn mà khắc giới tính.

* Tương tự có $5.6=30$ cách chọ cặp cùng họ Trần mà khác giới tính.

Vậy có $156+30=186$ cách chọn hai người cùng họ và khác giới tính.

b) Đáp án A.

Ta có $8+3=11$ cặp anh em trong đó 8 cặp họ Nguyễn và 3 cặp họ Trần.

Chọn bất kì 2 người trong số 36 người thì có $C_{36}^{2}=630$ cách chọn.

Vậy có tất cả $630-11=619$ cách chọn các cặp sao cho không có cặp anh em nào.

Đáp án B.

Chọn toa cho vị khách thứ nhất có \[4\] cách. Chọn toa cho vị khách thứ hai có \[4\] cách.

Chọn toa cho vị khách thứ ba có \[4\] cách. Chọn toa cho vị khách thứ tư có \[4\] cách.

Theo quy tắc nhân thì có ${{4}^{4}}=256$ cách chọn toa cho bốn khách.