Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp Bài toán đếm
1.Hoán vị
Tập hợp hữu hạn \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của \(A\) được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó.
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
\(P = n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)…2.1 = n!\)
Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp \(3\) bạn vào một bàn có \(3\) chỗ ngồi?
Giải:
Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị khác nhau của \(3\) bạn. Vậy số cách xếp là \({P_3} = 3! = 6\).
2.Chỉnh hợp
Xét một tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\) và một số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Mỗi cách lấy ra \(k\) phần tử của \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của \(A\).
Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
$A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}} = n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)…\left( {n – k + 1} \right)$
Ví dụ: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm \(3\) chữ số đôi một khác nhau và khác \(0\)?
Giải:
Mỗi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \left( {a,b,c \in \left\{ {1;2;3;…;9} \right\},a \ne b \ne c} \right)\).
Mỗi số dạng trên là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(9\). Do đó số các số cần tìm là: \(A_9^3 = \dfrac{{9!}}{{\left( {9 – 3} \right)!}} = 9.8.7 = 504\) số.
3.Tổ hợp
Cho tập hợp hữu hạn \(A\) và số nguyên \(k\) với \(0 \le k \le n\). Mỗi cách lấy ra \(k\) phần tử của tập \(A\) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của \(A\).
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
\(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}} = \dfrac{{A_n^k}}{{k!}}\)
(quy ước \(0! = 1\))
Một số tính chất:
Với \(k,n \in Z,0 \le k \le n\) thì:
+) \(C_n^k = C_n^{n – k}\)
+) \(C_{n + 1}^k = C_n^k + C_n^{k – 1}\)