Nhị thức Newton, trắc nghiệm toán 11

Đáp án B.

${{\left( \sqrt[3]{\dfrac{a}{\sqrt{b}}}+\sqrt{\dfrac{b}{\sqrt[3]{a}}} \right)}^{21}}={{\left( {{a}^{\dfrac{1}{3}}}{{b}^{-\dfrac{1}{6}}}+{{b}^{\dfrac{1}{2}}}{{a}^{-\dfrac{1}{6}}} \right)}^{21}}=\sum\limits_{k=0}^{21}{C_{21}^{k}}{{\left( {{a}^{\dfrac{1}{3}}}{{b}^{-\dfrac{1}{6}}} \right)}^{k}}{{\left( {{b}^{\dfrac{1}{2}}}{{a}^{-\dfrac{1}{6}}} \right)}^{21-k}}=\sum\limits_{k=0}^{21}{C_{21}^{k}}{{a}^{\dfrac{k}{3}-\dfrac{21-k}{6}}}{{b}^{-\dfrac{k}{6}+\dfrac{21-k}{2}}}$

Hệ số của số hạng có số mũ $a$và $b$ bằng nhau ứng với: $\dfrac{k}{3}-\dfrac{21-k}{6}=-\dfrac{k}{6}+\dfrac{21-k}{2}\Leftrightarrow k=12$

Vậy số hạng cần tìm là $C_{21}^{12}{{a}^{\dfrac{5}{2}}}{{b}^{\dfrac{5}{2}}}$.

Đáp án A.

Ta có $G\left( x \right)={{\left( ax+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( ax \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}}{{x}^{k}}$

Từ giả thiết ta có:

\[\left\{ \begin{align}
& C_{n}^{1}ax=24x \\
& C_{n}^{2}{{a}^{2}}{{x}^{2}}=252{{x}^{2}} \\
\end{align} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& na=24 \\
& \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{a}^{2}}=252 \\
\end{align} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{n}^{2}}{{a}^{2}}=576 \\
& \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{a}^{2}}=252 \\
\end{align} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& na=24 \\
& \dfrac{2{{n}^{2}}}{n\left( n-1 \right)}=\dfrac{16}{7} \\
\end{align} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& na=24 \\
& 14n=16\left( n-1 \right) \\
\end{align} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& n=8 \\
& a=3 \\
\end{align} \right.\]

Vậy $a=3;n=8$ là các số cần tìm.

Đáp án C.

Số hạng tổng quát sau khi khai triển ${{T}_{k+1}}=C_{10}^{k}{{x}^{k}}$

Số hạng chứa${{x}^{5}}$ trong khai triển là $C_{10}^{5}{{x}^{5}}$. Đề bài hỏi hệ số nên ta chọn C.

Đáp án D.

Ta có ${{\left( \dfrac{4}{x}-3{{x}^{3}} \right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{\left( ax \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{\left( \dfrac{4}{x} \right)}^{k}}}{{\left( -3{{x}^{3}} \right)}^{15-k}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{{{\left( -3 \right)}^{15-k}}{{4}^{k}}C_{15}^{k}{{x}^{45-4k}}}$

Số hạng chứa${{x}^{9}}$ tương ứng với $45-4k=9\Leftrightarrow k=9$ nên hệ số của${{x}^{9}}$ trong khai triển trên là ${{\left( -3 \right)}^{6}}{{4}^{9}}C_{15}^{9}={{3}^{6}}{{4}^{9}}C_{15}^{9}.$

Đáp án C.

Ta có ${{\left( 2\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{\left( 2\sqrt{x} \right)}^{k}}}{{\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{20-k}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{{{2}^{k}}C_{20}^{k}{{\left( {{x}^{\dfrac{1}{2}}} \right)}^{k}}{{\left( {{x}^{-\dfrac{1}{3}}} \right)}^{20-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{{{2}^{k}}C_{20}^{k}{{x}^{\dfrac{5k-40}{6}}}}$

Số hạng không chứa$x$ tương ứng với $\dfrac{5k-40}{6}=0\Leftrightarrow k=8$. Do vậy số hạng đó là${{2}^{8}}C_{20}^{8}$.

Đáp án A.

Từ lý thuyết ta có công thức tổng quát như sau: Với $0\le q\le p\le n$ thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức ${{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{x}-1 \right)}^{10}}$là ${{T}_{p}}=C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{10-p}}{{\left( \dfrac{1}{x} \right)}^{p-q}}{{\left( -1 \right)}^{q}}=C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{\left( -1 \right)}^{q}}{{x}^{20+q-3p}}$

Số hạng không chứa$x$ trong khai triển ứng với $20+q-3p=0\Leftrightarrow 3p-q=20$. Mà $0\le q\le p\le n$ và$q,p,n\in \mathbb{N}$ nên $\left( p;q \right)\in \left\{ \left( 7;1 \right),\left( 8;4 \right)\left( 9;7 \right),\left( 10;10 \right) \right\}$. Lúc này số hạng không chứa$x$ trong khai triển là ${{\left( -1 \right)}^{1}}C_{10}^{7}C_{7}^{1}+{{\left( -1 \right)}^{4}}C_{10}^{8}C_{8}^{4}+{{\left( -1 \right)}^{10}}C_{10}^{10}C_{10}^{10}+{{\left( -1 \right)}^{7}}C_{10}^{9}C_{9}^{7}=1951$

Đáp án C.

Từ lý thuyết ta có công thức tổng quát như sau: Với $0\le q\le p\le n$ thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức ${{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-1 \right)}^{8}}$là ${{T}_{p}}=C_{8}^{p}C_{p}^{q}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{8-p}}{{\left( -{{x}^{2}} \right)}^{p-q}}{{\left( -1 \right)}^{q}}=C_{8}^{p}C_{p}^{q}{{x}^{24-3p}}{{x}^{2p-2q}}{{\left( -1 \right)}^{p}}$

Ta có: $24-3p+2p-2q=8\Leftrightarrow 24-p-2q=8\Leftrightarrow p+2q=16$. Suy ra $\left( p;q \right)\in \left\{ \left( 8;4 \right)\left( 6;5 \right) \right\}$. Lúc này hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển là $C_{8}^{8}C_{8}^{4}{{\left( -1 \right)}^{8}}+C_{10}^{6}C_{6}^{5}{{\left( -1 \right)}^{6}}=238$

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có: $C_{n}^{1}+C_{n}^{3}=13n\Leftrightarrow n+\dfrac{n!}{3!\left( n-3 \right)!}=13n\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}=13n\Leftrightarrow n\left( {{n}^{2}}-3n-70 \right)=0\Leftrightarrow n=10$

Khi đó ta có${{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}={{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{k}}{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{10-k}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{x}^{5k-30}}$

Số hạng không chứa$x$ tương ứng với $5k-30=0\Leftrightarrow k=6$. Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển đã cho là$C_{10}^{6}=210$.

Đáp án B.

Ta cần biết công thức tổng quát của ${{a}_{k}}$để thay vào điều kiện ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}=71$, rồi sau đó giải ra để tìm $n$. Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}={{\left( 1-2x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -2 \right)}^{k}}C_{n}^{k}}{{x}^{k}}.$

Do đó ${{a}_{k}}={{\left( -2 \right)}^{k}}C_{n}^{k},\forall k\in \left\{ 0,1,2,…,n \right\}.$. Khi đó theo giả thiết ta có $71={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}={{\left( -2 \right)}^{0}}C_{n}^{0}+{{\left( -2 \right)}^{1}}C_{n}^{1}+{{\left( -2 \right)}^{2}}C_{n}^{2}=1-2n+2n\left( n-1 \right)\Leftrightarrow {{n}^{2}}-2n-35=0\Leftrightarrow n=7.$ Như vậy${{a}_{5}}={{\left( -2 \right)}^{5}}C_{7}^{5}=-672.$.

Đáp án D.

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: ${{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-…+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{3}^{n-k}}C_{n}^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{3}^{n-k}}={{\left( -1+3 \right)}^{n}}={{2}^{n}}.$

Do đó ${{2}^{n}}=2048={{2}^{11}}\Leftrightarrow n=11$. Như vậy ta có${{\left( x+2 \right)}^{n}}={{\left( x+2 \right)}^{11}}=\sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}{{x}^{k}}{{2}^{11-k}}}$, suy ra hệ số của ${{x}^{10}}$ ứng với $k=10$và đó là số $C_{11}^{10}.2=22$

Đáp án A.

Ta có $A_{n}^{2}-C_{n+1}^{n-2}=14-14n\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)-\dfrac{\left( n-1 \right)n\left( n+1 \right)}{6}=14-14n$

$\Leftrightarrow \left( n-1 \right)\left[ n-\dfrac{n\left( n+1 \right)}{6}+14 \right]=0\Leftrightarrow \left( n-1 \right)\left( {{n}^{2}}-5n-84 \right)=0\Leftrightarrow n=12$vì $n\ge 2$.

Lúc này ta có${{\left( 1+x+\dfrac{1}{x} \right)}^{n}}={{\left( 1+x+\dfrac{1}{x} \right)}^{12}}$

Từ công thức tổng quát tam thức Newton ta có với $0\le q\le p\le 12$ thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức ${{\left( 1+x+\dfrac{1}{x} \right)}^{12}}$là \[{{T}_{p}}=C_{12}^{p}C_{p}^{q}{{1}^{12-p}}{{\left( x \right)}^{p-q}}{{\left( \dfrac{1}{x} \right)}^{q}}=C_{12}^{p}C_{p}^{q}{{x}^{p-q-q}}=C_{12}^{p}C_{p}^{q}{{x}^{p-2q}}\]

Ta có: $p-2q=0\Leftrightarrow p=2q$. Kết hợp với điều kiện ở trên ta có: $\left( p;q \right)\in \left\{ \left( 0;0 \right),\left( 2;1 \right)\left( 4;2 \right),\left( 6;3 \right),\left( 8;4 \right),\left( 10;5 \right),\left( 12;6 \right) \right\}$. Suy ra số hạng không chứa$x$ là $C_{12}^{0}C_{0}^{0}+C_{12}^{2}C_{2}^{1}+C_{12}^{4}C_{4}^{2}+C_{12}^{6}C_{6}^{3}+C_{12}^{8}C_{8}^{4}+C_{12}^{10}C_{10}^{5}+C_{12}^{12}C_{12}^{6}=73789$

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có: $P\left( x \right)={{\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$

Thay $x=1$ta được$S={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}=P\left( 1 \right)={{3}^{n}}$. Như vậy ta chỉ cần xác định được $n$

Với $0\le q\le p\le n$ thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức ${{\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)}^{n}}$là \[{{T}_{p}}=C_{n}^{p}C_{p}^{q}{{1}^{n-p}}{{x}^{p-q}}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{q}}=C_{n}^{p}C_{p}^{q}{{x}^{p+q}}\]

Hệ số của ${{x}^{3}}$ ứng với: $\left\{ \begin{align}
& p+q=3 \\
& 0\le q\le p\le n \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left( p;q \right)\in \left\{ \left( 3;0 \right),\left( 2;1 \right) \right\}$.
Suy ra ${{a}_{3}}=C_{n}^{3}C_{3}^{0}+C_{n}^{2}C_{2}^{1}=C_{n}^{3}+2C_{n}^{2}.$
Hệ số của ${{x}^{4}}$ ứng với: $\left\{ \begin{align}
& p+q=4 \\
& 0\le q\le p\le n \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left( p;q \right)\in \left\{ \left( 4;0 \right),\left( 3;1 \right),\left( 2;2 \right) \right\}$.

Suy ra \[{{a}_{4}}=C_{n}^{4}C_{4}^{0}+C_{n}^{3}C_{3}^{1}+C_{n}^{2}C_{2}^{2}=C_{n}^{4}+3C_{n}^{3}+C_{n}^{2}.\]

$\dfrac{{{a}_{3}}}{14}=\dfrac{{{a}_{4}}}{41}\Leftrightarrow \dfrac{1}{14}\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n+4 \right)}{6}=\dfrac{1}{41}\left( \dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)}{24}+\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{2}+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2} \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{14}\dfrac{\left( n+4 \right)}{3}=\dfrac{1}{41}\left( \dfrac{{{n}^{2}}-5n+6}{12}+n-1 \right)\Leftrightarrow 7{{n}^{2}}-33n-370=0\Leftrightarrow n=10.$

Vậy $S={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}={{3}^{10}}$

Đáp án D.

Vì \[C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\]nên ta có \[\left\{ C_{16}^{0},C_{16}^{1},…,C_{16}^{8} \right\}=\left\{ C_{16}^{16},C_{16}^{15},…,C_{16}^{8} \right\}\], suy ra ta chỉ cần tìm số lớn nhất trong các số\[C_{16}^{0},C_{16}^{1},…,C_{16}^{7},C_{16}^{8}\]. Bằng tính toán trực tiếp, ta có \[C_{16}^{0}=1,C_{16}^{1}=16,C_{16}^{2}=120,C_{16}^{3}=560,C_{16}^{4}=1820,C_{16}^{5}=4368,C_{16}^{6}=8008,C_{16}^{7}=11440,C_{16}^{8}=12870\]

Như vậy \[C_{16}^{0}<C_{16}^{1}<C_{16}^{2}<…<C_{16}^{7}<C_{16}^{8}\]

Do đó: $C_{16}^{8}=\max \left\{ C_{16}^{0};C_{16}^{1};C_{16}^{2};…;C_{16}^{15};C_{16}^{16} \right\}$

Đáp án C.

Ta có ${{a}_{k}}={{2}^{10-k}}C_{10}^{k}$ với$k=0,1,2,…,10$. Bài toán tương đương với tìm$k\in \left\{ 0,1,2,…,10 \right\}$ sao cho${{a}_{k}}$ lớn nhất. Xét bất phương trình sau:

$\begin{align}
& {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\Leftrightarrow {{2}^{10-k}}C_{10}^{k}\le {{2}^{9-k}}C_{10}^{k+1}\Leftrightarrow 2\dfrac{10!}{k!\left( 10-k \right)!}\le \dfrac{10!}{\left( k+1 \right)!\left( 9-k \right)!} \\
& \Leftrightarrow 2\left( k+1 \right)\le 10-k\Leftrightarrow k\le \dfrac{8}{3}\Leftrightarrow k\in \left\{ 0,1,2 \right\} \\
\end{align}$

Từ đây ta có:

$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 0;1;2 \right\} \\
& {{a}_{k}}={{a}_{k+1}}\Leftrightarrow k=\dfrac{8}{3},k\notin N \\
& {{a}_{k}}>{{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 3;4;….10 \right\} \\
\end{align} \right.$

Do đó: ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}>{{a}_{4}}>{{a}_{5}}>…>{{a}_{10}}$ hay ${{a}_{3}}$ là hệ số lớn nhất cần tìm. ${{a}_{3}}=C_{10}^{3}{{.2}^{7}}=15360.$

Đáp án B.

\[\begin{align}
& A_{n}^{2}-3.C_{n}^{n-1}=11n\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!}-3n=11n. \\
& \Leftrightarrow n\left( n-1 \right)-3n=11n\Leftrightarrow n=15. \\
& {{\left( x+2 \right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}}{{x}^{k}}{{.2}^{15-k}} \\
\end{align}\]

Xét bất phương trình:\[{{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\Leftrightarrow C_{15}^{k}{{.2}^{15-k}}\le C_{15}^{k+1}{{.2}^{14-k}}\Leftrightarrow \]

\[2\dfrac{15!}{k!.\left( 15-k \right)!}\le 2\dfrac{15!}{\left( k+1 \right)!.\left( 14-k \right)!}\Leftrightarrow \]\[\dfrac{2}{15-k}\le \dfrac{1}{k+1}\Leftrightarrow k\le \dfrac{13}{3},k\in N\Rightarrow k\in \left\{ 0,1,2,3,4 \right\}\]

Từ đây ta có:

$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 0,1,2,3,4 \right\} \\
& {{a}_{k}}={{a}_{k+1}}\Leftrightarrow k=\dfrac{13}{3},k\notin N \\
& {{a}_{k}}>{{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 5;6;….15 \right\} \\
\end{align} \right.$

Do đó: ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<{{a}_{4}}<{{a}_{5}}>{{a}_{6}}>{{a}_{7}}>…>{{a}_{15}}$

Vậy \[{{a}_{5}}=max\left\{ {{a}_{i}}\left| i=\overline{0,15} \right. \right\}=C_{15}^{5}{{.2}^{10}}\]

Đáp án A

\[\begin{align}
& {{2}^{12}}={{a}_{0}}+\dfrac{{{a}_{1}}}{2}+\dfrac{{{a}_{2}}}{{{2}^{2}}}+……+\dfrac{{{a}^{n}}}{{{2}^{n}}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}\left( \dfrac{1}{2} \right)+{{a}_{2}}{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n}} \\
& =P\left( \dfrac{1}{2} \right)={{\left( 1+2.\dfrac{1}{2} \right)}^{n}}={{2}^{n}} \\
\end{align}\]

$\Rightarrow n=12$

\[{{\left( 2x+1 \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}}{{\left( 2x \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{k}}}{{2}^{k}}.\]

\[\Rightarrow {{a}_{k}}=C_{12}^{k}{{.2}^{k}}\forall k\overline{0,12}\Rightarrow {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\Leftrightarrow C_{12}^{k}{{.2}^{k}}\le C_{12}^{k+1}{{.2}^{k+1}}\]

\[\begin{align}
& \dfrac{12!}{k!.\left( 12-k \right)!}\le \dfrac{12!}{\left( k+1 \right)!.\left( 11-k \right)!} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{12-k}\le \dfrac{2}{k+1} \\
& \Leftrightarrow k\le \dfrac{23}{3},k\in \mathbb{N}\Rightarrow k\in \left\{ 0,1,2,3,…7 \right\} \\
\end{align}\]

Từ đây ta có:

$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 0,1,2,3,…7 \right\} \\
& {{a}_{k}}={{a}_{k+1}}\Leftrightarrow k=\dfrac{23}{3},k\notin N \\
& {{a}_{k}}>{{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 8;9;….11 \right\} \\
\end{align} \right.$

Do đó: \[{{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<{{a}_{4}}<{{a}_{5}}<…..<{{a}_{8}}>{{a}_{9}}>….>{{a}_{12}}\]

Vậy \[{{a}_{5}}=max\left\{ {{a}_{i}}\left| i=\overline{0,12} \right. \right\}=C_{12}^{8}{{.2}^{8}}\]

Đáp án A

Giả sử  $n$ là số nguyên dương sao cho:

\[max\left\{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},…{{a}_{n}} \right\}={{a}_{10}}\]

Theo công thức khai triển newton ta có:

\[P\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{x}^{k}}{{2}^{n-k}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{k}}}{{2}^{k}}.\]

\[\Rightarrow {{a}_{k}}=C_{n}^{k}{{.2}^{n-k}}\forall k\overline{0,n}\]

Ta có:

\[{{a}_{10}}=max\left\{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},…{{a}_{n}} \right\}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{a}_{9}}\le {{a}_{10}} \\
& {{a}_{10}}\ge {{a}_{11}} \\
\end{align} \right.\]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& C_{n}^{9}{{.2}^{n-9}}\le C_{n}^{10}{{.2}^{n-10}} \\
& C_{n}^{10}{{.2}^{n-10}}\ge C_{n}^{11}{{.2}^{n-11}} \\
\end{align} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \dfrac{2}{n-9}\le \dfrac{1}{10} \\
& \dfrac{1}{11}\le \dfrac{2}{n-10} \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow 29\le n\le 32\]

Các phép biến đổi trên là đương tương nên ta không cần phải thử lại các giá trị trên.

Vậy $n\in \left\{ 29,30,31,32 \right\}$ là tất cả các giá trị thỏa mãn bài toán (thử lại thấy thở mãn).

Đáp án D

Theo công thức khai triển Newton ta có:

\[{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}=\left( \sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{x}^{2k}} \right)\left( \sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}}{{x}^{i}}{{2}^{n-i}} \right).\]

Số hạng chứa \[{{3}^{3n-3}}\]tương ứng với cặp \[\left( k,i \right)\] thỏa mãn:

\[\left\{ \begin{align}
& 2k+i=3n-3 \\
& 0\le k;i\le n \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left( k;i \right)\in \left\{ \left( n,n-3 \right);\left( n-1,n-1 \right) \right\}\]

Do đó hệ số của \[{{3}^{3n-3}}\]là: \[{{a}_{3n-3}}=C_{n}^{n}{{.2}^{3}}.C_{n}^{n-3}+C_{n}^{n-1}{{.2}^{1}}.C_{n}^{n-1}=8C_{n}^{3}+2{{n}^{2}}=26n\]

\[\Leftrightarrow 8\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}+2{{n}^{2}}=26n\Rightarrow 2{{n}^{2}}-3n-35=0\Rightarrow n=5\]

Đáp án A.

Ta có: $G\left( x \right)={{\left( ax+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{k}}{{x}^{k}}$.

Từ giả thiết ta có:

\[\left\{ \begin{matrix}
C_{n}^{1}ax=24  \\
C_{n}^{2}{{a}^{2}}{{x}^{2}}=252{{x}^{2}}  \\
\end{matrix} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
na=24  \\
\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{a}^{2}}=252  \\
\end{matrix} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{n}^{2}}{{a}^{2}}=576  \\
\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{a}^{2}}=252  \\
\end{matrix} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
na=24  \\
\dfrac{2{{n}^{2}}}{n\left( n-1 \right)}=\dfrac{16}{7}  \\
\end{matrix} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
na=24  \\
14n=16\left( n-1 \right)  \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
n=8  \\
a=3  \\
\end{matrix} \right.\]

Vậy $a=3,n=8$ là các số cần tìm.

Đáp án C

Các số hạng của tổng vế trái có dạng:

${{\left( -1 \right)}^{k-1}}\dfrac{kC_{n}^{k}}{{{2}^{k}}}={{\left( -1 \right)}^{k-1}}\dfrac{nC_{n-1}^{k-1}}{{{2}^{k}}}=\dfrac{n}{2}C_{n-1}^{k-1}{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{k-1}}$

Do đó ta có:

$\dfrac{C_{n}^{1}}{2}-\dfrac{2C_{n}^{2}}{{{2}^{2}}}+\dfrac{3C_{n}^{3}}{{{2}^{3}}}-…+{{\left( -1 \right)}^{n-2}}\dfrac{\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}}{{{2}^{n-1}}}+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\dfrac{nC_{n}^{n}}{{{2}^{n}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k-1}}\dfrac{kC_{n}^{k}}{{{2}^{k}}}}$

$=\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{n}{2}C_{n-1}^{k-1}}{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{k-1}}$$=\dfrac{n}{2}\sum\limits_{k=1}^{n-1}{C_{n-1}^{k}}{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{k}}=\dfrac{n}{2}{{\left( -\dfrac{1}{2}+1 \right)}^{n-1}}=\dfrac{n}{{{2}^{n}}}$.

Như vậy ta cần dùng số nguyên dương $n$ thỏa mãn:$\dfrac{n}{{{2}^{n}}}=\dfrac{1}{32}\Leftrightarrow {{2}^{n-5}}=n\Leftrightarrow n=8$.

Đáp án A

Cách 1: Ta có

$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}$

$C_{n-1}^{k}=C_{n-2}^{k}+C_{n-2}^{k-1}$

$C_{n-2}^{k}=C_{n-3}^{k}+C_{n-3}^{k-1}$

$………………………$

$C_{k+1}^{k}=C_{k}^{k}+C_{k}^{k-1}$

$C_{k}^{k}=C_{k-1}^{k}+C_{k-1}^{k-1}$

Cộng các dẳng thức trên vế theo vế ta được:

$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-2}^{k-1}+…+C_{k}^{k-1}+C_{k-1}^{k-1}$ $\left( * \right)$

Ta có: $1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}$

$=\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{\left( k+2 \right)!}{\left( k-1 \right)!}}=6\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{\left( k+2 \right)!}{3!\left( k-1 \right)!}}=6\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{k+2}^{3}}$$=6\left( C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+…+C_{n+1}^{3}+C_{n+2}^{3} \right)$.

Áp dụng câu $\left( * \right)$ với $k=4$, thay $n$ bởi $n+3$ ta được:

$C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+…+C_{n+1}^{3}+C_{n+2}^{3}=C_{n+3}^{4}$

Vậy $1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=$$6C_{n+3}^{4}=\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{4}$.

Cách 2: Với bài toán này ta có thể dùng máy tính để thử trường hợp riêng.

Đáp án D

Xét khai triển:

${{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{b}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+…+C_{n}^{n-2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+C_{n}^{n-1}{{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+C_{n}^{n}{{a}^{n}}$.

Chọn $a=b=1$ ta được $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+…+C_{n}^{n}={{2}^{n}}$

Đáp án C

Xét khai triển: ${{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{b}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+…+C_{n}^{n-2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+C_{n}^{n-1}{{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+C_{n}^{n}{{a}^{n}}$.

Chọn $a=2,b=1$ ta được:

${{3}^{n}}={{\left( 2+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+{{2}^{2}}C_{n}^{2}+…+{{2}^{n}}C_{n}^{n}=243$$\Rightarrow n=5$

Đáp án A

Các số hạng của $S$ có dạng:

$\dfrac{1}{\left( 2k \right)!\left( 2019-2k \right)!}=\dfrac{1}{2019!}\dfrac{2019!}{\left( 2k \right)!\left( 2019-2k \right)!}=\dfrac{1}{2019!}C_{2019}^{2k}$.

Do đó $\Rightarrow 2019!S=C_{2019}^{2}+C_{2019}^{4}+…+C_{2019}^{2016}+C_{2019}^{2018}$.

Nhận thấy $C_{2019}^{2k}$ là hệ số của ${{x}^{2k}}$ trong khai triến ${{\left( x+1 \right)}^{2019}}$.

Vì vậy xét $P\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2019}}$, theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

$P\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2019}}$=$C_{2019}^{0}+C_{2019}^{1}x+C_{2019}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{2019}^{2019}{{x}^{2019}}$

Từ đó ta có:

$P\left( 1 \right)=$$C_{2019}^{0}+C_{2019}^{1}+C_{2019}^{2}+…+C_{2019}^{2019}$.

$P\left( -1 \right)=$$C_{2019}^{0}-C_{2019}^{1}+C_{2019}^{2}-…+C_{2019}^{2018}-C_{2019}^{2019}$

Suy ra: $2019!S+1=C_{2019}^{0}+C_{2019}^{2}+C_{2019}^{4}+…+C_{2019}^{2018}=\dfrac{P\left( 1 \right)+P\left( -1 \right)}{2}={{2}^{2018}}$

$\Leftrightarrow S=\dfrac{{{2}^{2018}}-1}{2019!}$

Đáp án D

Theo giả thiết ta có:

$P\left( x \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$.

Khi đó $P\left( 1 \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}$và $P\left( -1 \right)={{a}_{0}}-{{a}_{1}}+{{a}_{2}}-…+{{a}_{2n}}$.

Suy ra $T={{a}_{0}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}=\dfrac{P\left( 1 \right)+P\left( -1 \right)}{2}=\dfrac{{{2}^{2n-1}}+{{2}^{2n}}}{2}={{3.2}^{2n-2}}$

$\Rightarrow 768={{3.2}^{2n-2}}\Leftrightarrow n=5$

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

$P\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2n}}+x{{\left( x+1 \right)}^{2n-1}}=\sum\limits_{k=1}^{2n}{C_{2n}^{k}{{x}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{2n-k}}+x}\sum\limits_{k=1}^{2n-1}{C_{2n-k}^{k}{{x}^{k}}}$

$=\sum\limits_{k=1}^{2n}{C_{2n}^{k}{{x}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{2n-k}}+}\sum\limits_{k=1}^{2n}{C_{2n-k}^{k-1}{{x}^{k}}}=1+\sum\limits_{k=1}^{2n}{\left( C_{2n}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}+C_{2n-1}^{k-1} \right)}{{x}^{k}}=1+\sum\limits_{k=1}^{10}{\left( C_{10}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}+C_{9}^{k-1} \right)}{{x}^{k}}$.

Vậy ${{a}_{5}}=C_{10}^{5}{{\left( -1 \right)}^{5}}+C_{9}^{4}=-126.$

Đáp án B.

Xét khai triển ${{\left( a+b \right)}^{2n}}=C_{2n}^{0}{{b}^{2n}}+C_{2n}^{1}{{a}^{1}}{{b}^{2n-1}}+…+C_{2n}^{2n-1}{{a}^{2n-2}}{{b}^{1}}+C_{2n}^{2n}{{a}^{2n}}$

Chọn $a=b=1$, ta được:

${{2}^{2n}}=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{1}+C_{2n}^{2}+…+C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}$

Chọn $a=1$,$b=-1$, ta được:

$0=C_{2n}^{0}-C_{2n}^{1}+C_{2n}^{2}+…-C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}$

Trừ hai đẳng thức trên vế theo vế ta được:

\[{{2}^{2n}}=2\left( C_{2n}^{1}+C_{2n}^{3}+…+C_{2n}^{2n-1} \right)=2.2048={{2}^{12}}\Leftrightarrow n=6\]

Đáp án A.

Nhận thấy rằng:

$3S=3{{a}_{1}}+{{3}^{3}}{{a}_{3}}+…+{{3}^{2011}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2013}}{{a}_{2013}}$

Lần lượt thay $x=3$,$x=-3$ vào khai triển đã cho ta được:

\[P\left( 3 \right)={{7}^{2014}}={{a}_{0}}+3{{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{2}}+…+{{3}^{2013}}{{a}_{2013}}+{{3}^{2014}}{{a}_{2014}}\]

\[P\left( -3 \right)={{5}^{2014}}={{a}_{0}}-3{{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{2}}-…-{{3}^{2013}}{{a}_{2013}}+{{3}^{2014}}{{a}_{2014}}\]

Trừ hai đẳng thức này vế theo vế, ta được:

\[2\left( 3{{a}_{1}}+{{3}^{3}}{{a}_{3}}…+{{3}^{2011}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2013}}{{a}_{2013}} \right)={{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}\]

\[\Leftrightarrow 3S=\dfrac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{2}\Leftrightarrow S=\dfrac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{6}\]

Vậy $S={{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{3}}+…+{{3}^{2010}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2012}}{{a}_{2013}}=\dfrac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{6}$

Đáp án B.

Nhận thấy ${{\left( -5 \right)}^{k}}C_{100}^{k}$ là hệ số của ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{\left( 1-5x \right)}^{100}}$

Vì thế xét $P\left( x \right)={{\left( 1-5x \right)}^{100}}$, theo khai triển nhị thức NewTon, ta có:

$P\left( x \right)={{\left( 1-5x \right)}^{100}}=C_{100}^{0}-C_{100}^{1}5x+C_{100}^{2}{{\left( 5x \right)}^{2}}-…+C_{100}^{100}{{\left( 5x \right)}^{100}}$

Thay $x=1$ vào ta được:

$P\left( x \right)={{\left( 4 \right)}^{100}}=C_{100}^{0}-C_{100}^{1}5+C_{100}^{2}{{5}^{2}}-…+C_{100}^{100}{{5}^{100}}$

Chú ý: Ta cũng có thể xét khai triển ${{\left( 1+5x \right)}^{100}}$ rồi sau đó thay $x=-1$ vào.

Đáp án C.

Ta có ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$

Cho $x=1$ thì A đúng.

Cho $x=-1$ thì B đúng.

Cho $x=2$ thì D đúng.

Cho $x=-2$ thì ${{\left( -1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}-2C_{n}^{1}+C_{n}^{2}{{2}^{2}}-…+C_{n}^{n}{{\left( -2 \right)}^{n}}$.

Vậy C sai.

Đáp án B.

${{\left( 2x+y \right)}^{5}}={{\left( 2x \right)}^{5}}+5{{\left( 2x \right)}^{4}}y+10{{\left( 2x \right)}^{3}}{{y}^{2}}+10{{\left( 2x \right)}^{2}}{{y}^{3}}+5\left( 2x \right){{y}^{4}}+{{y}^{5}}$

$=32{{x}^{5}}+80{{x}^{4}}y+80{{x}^{3}}{{y}^{2}}+40{{x}^{2}}{{y}^{3}}+10x{{y}^{4}}+{{y}^{5}}$.