Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11
Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác.
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên tập $D$.
a, Hàm số $y=f\left( x \right)$ được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi $x$ thuộc $D$, ta có $-x\in D$ và $f\left( -x \right)=f\left( x \right)$.
b, Hàm số $y=f\left( x \right)$ được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi $x$ thuộc $D$, ta có $-x\in D$ và $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$.
| Để kết luận hàm số $y=f\left( x \right)$ không chẵn không lẻ thì ta chỉ cần chỉ ra điểm ${{x}_{0}}\in D$ sao cho $\left\{ \begin{align} hoặc chỉ ra tập xác định của $f\left( x \right)$m không phải là tập đối xứng. |
Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số, khi đó
* Nếu $D$ là tập đối xứng (tức $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$), thì ta thực hiện tiếp bước 2.
* Nếu $D$ không phải tập đối xứng(tức là $\exists x\in D$ mà $-x\notin D$) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Bước 2: Xác định
$f\left( -x \right)$: * Nếu $f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$
thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
* Nếu $f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.
* Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:
1, Hàm số $y=\sin x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}$
2, Hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn trên $D=\mathbb{R}$
3, Hàm số $y=\tan x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$
4, Hàm số $y=\cot x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$
Bài tập xet Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Câu 1.
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
[A]. $y=-2\cos x$
[B]. $y=-2\sin x$
[C]. $y=2\sin (-x)$
[D]. $y=\sin x-\cos x$
Đáp án A.
Với A: TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có với $x\in \mathbb{R}\Rightarrow -x\in \mathbb{R}\Rightarrow -2\cos \left( -x \right)=-2\cos x.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 2.
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
[A]. $y=-2\cos x$
[B]. $y=-2\sin x$
[C]. $y=-2{{\sin }^{2}}x+2$
[D]. $y=-2\cos x+2$
Đáp án B.
Với A: Ta có $-2\cos \left( -x \right)=-2\cos x.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Với B: Ta có:
$-2\sin \left( -x \right)=-2.\left( -\sin x \right)=2\sin x=-f\left( x \right).$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Vậy ta chọn B.
Câu 3.
Hàm số $y=\sin x.co{{s}^{2}}x+\tan x$ là:
[A]. Hàm số chẵn.
[B]. Hàm số lẻ
[C]. Vừa chẵn vừa lẻ.
[D]. Không chẵn không lẻ.
Đáp án B.
Hàm số đã cho có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z \right\}$.
Vậy với $x\in D\Rightarrow -x\in D$. Ta có $f\left( -x \right)=\sin \left( -x \right){{\cos }^{2}}\left( -x \right)+\tan \left( -x \right)$ $=-\sin x.{{\cos }^{2}}x-\tan x=-f\left( x \right)$.
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Đáp án B.
Câu 4.
Xét tính chẳn lẻ của hàm số $y=\dfrac{1+{{\sin }^{2}}2x}{1+\cos 3x}$ ta kết luận hàm số đã cho là:
[A]. Hàm số chẵn.
[B]. Hàm số lẻ .
[C]. Vừa chẵn vừa lẻ
[D]. Không chẵn không lẻ
Đáp án A.
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \left( 2k+1 \right)\dfrac{\pi }{3}|k\in Z \right\}$ là tập đối xứng.
Ta có $f\left( -x \right)=\dfrac{1+{{\sin }^{2}}\left( -2x \right)}{1+\cos \left( -3x \right)}=\dfrac{1+{{\left( \sin \left( -2x \right) \right)}^{2}}}{1+\cos \left( -3x \right)}=\dfrac{1+{{\sin }^{2}}2x}{1+\cos 3x\to }.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 5.
Xét các câu sau:
I.Hàm số $y=\operatorname{sinx}\sqrt{\sin x}$ là hàm số lẻ.
II.Hàm số $y=\operatorname{cosx}\sqrt{\cos x}$ là hàm số chẵn.
III.Hàm số $y=\operatorname{sinx}\sqrt{\cos x}$ là hàm số lẻ.
Trong các câu trên, câu nào đúng?
[A]. Chỉ (I).
[B]. Chỉ (II).
[C]. Chỉ (III) .
[D]. Cả 3 câu .
Đáp án C.
Ta loại I và II do khi thì $\sin (-x)=-\sin x<0$, do đó $\sqrt{-\sin x}$ không tồn tại.
Với III: Hàm số xác định khi $\cos x\ge 0\Leftrightarrow -\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \le x\le \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định của hàm số là tập đối xứng.
Do vậy, ta xét $f(-x)=\sin (-x)\sqrt{\cos (-x)}=-\sin x\sqrt{\cos x}=-f(x)$ .
Vậy III đúng.
Câu 6.
Hãy chỉ ra hàm số nào là hàm số lẻ:
[A]. $y=\sqrt{\sin x}$
[B]. $y={{\sin }^{2}}x$
[C]. $y=\dfrac{\cot x}{\cos x}$
[D]. $y=\dfrac{\tan x}{\sin x}$
Đáp án C.
Với A: Tương tự như câu 26, thì ta loại A.
Với B: Tập xác định là tập đối xứng.
Ta có $f(-x)={{\sin }^{2}}(-x)={{(-\sin x)}^{2}}={{\sin }^{2}}x$ Vậy hàm sô ở phương án C là hàm số lẻ.
Câu 7.
Hàm số $y=\dfrac{\tan 2x}{{{\sin }^{3}}x}$ có tính chất nào sau đây?
[A]. Hàm số chẵn.
B.Hàm số lẻ.
[C]. Hàm không chẵn không lẻ.
[D]. Tập xác định $D=R$
Đáp án A.
Ta loại D vì để hàm số đã cho xác định thì
$\left\{ \begin{align}
& \cos 2x\ne 0 \\
& \sin x\ne 0 \\
\end{align} \right.$
nên tập xác định của hàm số đã cho không thể là hàm số chẵn.
Do $f(-x)=\dfrac{\tan (-2x)}{{{\sin }^{3}}x}=f(x)$ .
Câu 8.
Hãy chỉ ra hàm số không có tính chẵn lẻ
[A]. $y=\operatorname{sinx}+tanx$
[B]. $y=\tan x+\dfrac{1}{\sin x}$
[C]. $y=\sqrt{2}\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)$
[D]. $y={{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x$
Đáp án B.
Ta thấy các hàm số ở phương án A,C là các hàm số lẻ, còn ở phương án D là hàm số chẵn. Do vậy, ta chọn [B]. Thật vậy $\sqrt{2}\sin (-x-\dfrac{\pi }{4})=-\sqrt{2}\sin (x+\dfrac{\pi }{4})\ne \sqrt{2}\sin (x-\dfrac{\pi }{4})$ .
Câu 9.
Hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
[A]. $y=\sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)$
[B]. $y=\dfrac{1}{{{\sin }^{2013}}x}$
[C]. $y=\cos \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)$
[D]. $y=\sqrt{1-\sin 2012x}$
Đáp án C.
Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, do đó ta đi tìm hàm số lẻ trong bốn hàm số đã cho. Với bài toán này ta đi tìm hàm số là hàm số lẻ. Với các bạn tinh ý thì ta có thể chọn luôn C.
Lý giải:
Tập xác định là tập đối xứng.
$f(-x)=\dfrac{1}{{{\sin }^{2013}}(-x)}=\dfrac{-1}{{{\sin }^{2013}}x}=-f(x)$ . Vậy hàm số ở phương án C là hàm số lẻ có đồ .thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Câu 10.
Hàm số nào có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?
[A]. $y=\sin 2017x$
[B]. $y=\dfrac{1}{\sin x}$
[C]. $y=\sqrt{\cos x}$
[D]. \[y=\sqrt{\sin 2x}\]
Đáp án B.
Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng do đó ta đi tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho.
Hàm số ở D loại vì lí do tương tự câu 26.
Hàm số A và C là hàm số lẻ. Do vậy ta chọn B.
Câu 11.
Hãy chỉ ra hàm nào là hàm số chẵn:
[A]. \[y={{\sin }^{2016}}x.cosx\]
[B]. \[y=\dfrac{\cot x}{{{\tan }^{2}}x+1}\]
[C]. \[y=\operatorname{sinx}.cos6x\]
[D]. \[y=\cos x.{{\sin }^{3}}x\]
Đáp án A.
Với A: TXĐ: $D=\mathbb{R}$ .
Ta có $f(-x)={{(\sin (-x))}^{2016}}\cos (-x)={{\sin }^{2016}}x\cos x$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Các hàm số ở B, C, D đều là hàm số lẻ.
Câu 12.
Xét hai mệnh đề:
(I)Hàm số \[y=f(x)=tanx+cotx\] là hàm số lẻ
(II) Hàm số \[y=f(x)=tanx-cotx\] là hàm số lẻ
Trong các câu trên, câu nào đúng?
[A]. Chỉ (I) đúng .
[B]. Chỉ (II) đúng .
[C]. Cả hai đúng.
[D]. Cả hai sai.
Đáp án D.
(I) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.
Ta có $f(-x)=\tan (-x)+\cot (-x)=-\tan x-\cot x=-f(x)$ Vậy (I) đúng.
(II) Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.
Ta có $f(-x)=\tan (-x)-\cot (-x)=-\tan x+\cot x=-f(x)$ Vậy (II) đúng.
Câu 13.
Xét hai mệnh đề:
(I)Hàm số \[y=f(x)=tanx+cosx\] là hàm số lẻ
(II) Hàm số \[y=f(x)=tanx+sinx\] là hàm số lẻ
Trong các câu trên, câu nào đúng?
[A]. Chỉ (I) đúng .
[B]. Chỉ (II) đúng .
[C]. Cả hai đúng.
[D]. Cả hai sai.
Đáp án A.
– Với (I) ta có $f(-x)=\tan (-x)+\cos (-x)=-\tan x+\cos x\ne -f(x)$
Vậy hàm số ở (I) không phải hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ.
– Với (II) ta có $f(-x)=\tan (-x)+\sin (-x)=-\tan x-\sin x=-f(x)$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 14.
Hàm số \[y=1-{{\sin }^{2}}x\]là:
[A]. Hàm số chẵn.
B.Hàm số lẻ.
[C]. Hàm không chẵn không lẻ.
D.Hàm số không tuần hoàn.
Đáp án C.
Tập xác định của hàm số $D=\mathbb{R}$
Ta có $f(-x)=1-{{\sin }^{2}}(-x)=1-{{\sin }^{2}}x=f(x)$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 15.
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
[A]. \[y=\sin 2x\]
[B]. \[y=x.cosx\]
[C]. \[y=\cos x.\cot x\]
[D]. \[y=\dfrac{\operatorname{tanx}}{\sin x}\]
Đáp án D.
Dễ thấy hàm số $y=\sin 2x$ là hàm số lẻ.
Với B ta có $f(-x)=-x\cos (-x)=-x\cos x=-f(x)$
Vậy hàm số ở B là hàm số lẻ.
Với C ta có TXĐ $D=\mathbb{R}\backslash \{k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$ là tập đối xứng.
$f(-x)=\cos (-x)\cot (-x)=\cos x(-\cot x)=-f(x)$
Vậy hàm số ở C là hàm số lẻ. Vậy ta chọn D.
Câu 16.
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
[A]. \[y=\sin \left| x \right|\]
[B]. \[y={{x}^{2}}.sinx\]
[C]. \[y=\dfrac{x}{\cos x}\]
[D]. \[y=x+\sin x\]
Đáp án A.
Ta chọn luôn A vì ở phần ví dụ ta có đưa ra hàm số $y=f(|x|)$ là hàm số chẵn trên D.
Câu 17.
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
[A]. \[y=\dfrac{1}{2}\sin x.cos2x\].
[B]. \[y=2\cos 2x\].
[C]. \[y=\dfrac{x}{\sin x}\].
[D]. \[y=1+\tan x\].
Đáp án A.
Với A: Tập xác định $D=\mathbb{R}$
Ta có $f(-x)=\dfrac{1}{2}\sin (-x)\cos (-2x)=-\dfrac{1}{2}\sin x\cos 2x=f(x)$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Câu 18.
Khẳng định nào sau đây là sai?
[A]. \[y=\left| \operatorname{sinx} \right|\] có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ .
[B]. \[y=\cos x\] có đồ thị đối xứng qua trục $Oy$ .
[C]. \[y=\left| \tan x \right|\] có đồ thị đối xứng qua trục $Oy$.
[D]. \[y=\cot x\] có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Đáp án A.
Ta thấy hàm số ở phương án A là hàm số chẵn thì ta có đồ thị đối xứng qua trục tung, chứ không phải đối xứng qua gốc tọa độ.
Câu 19.
Cho hàm số \[y=\sqrt{\cos x}\] xét trên \[\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
[A]. Hàm không chẳn không lẻ.
[B]. Hàm lẻ.
[C]. Hàm chẳn.
[D]. Có đồ thị đối xứng qua trục hoành.
Đáp án C.
Tập $D=\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$ là tập đối xứng.
Ta có $f(-x)=\sqrt{\cos (-x)}=\sqrt{\cos x}=f(x)$ . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn
Câu 20.
Tìm kết luận sai:
[A]. Hàm số \[y=x.{{\sin }^{3}}x\] là hàm chẵn .
[B]. Hàm số \[y=\dfrac{\sin x.cosx}{\tan x+\cot x}\] là hàm lẻ .
[C]. Hàm số \[y=\dfrac{\sin x-\tan x}{\sin x+\cot x}\] là hàm chẵn.
[D]. Hàm số \[y={{\cos }^{3}}x+{{\sin }^{3}}x\] là hàm số không chẵn không lẻ.
Đáp án B.
Vói A: Ta có $f(-x)=-x{{\sin }^{3}}(-x)=x{{\sin }^{3}}x=f(x)$ vậy A đúng.
Với B : Tập xác định D là tập đối xứng .
Ta có $f(-x)=\dfrac{\sin (-x)\cos (-x)}{\tan (-x)+\cot (-x)}=\dfrac{-\sin x\cos x}{-(\tan x+\cot x)}=\dfrac{\sin x\cos x}{\tan x+\cot x}=f(x)$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Vậy B sai.
Câu 21.
Nhận xét nào sau đây là sai?
[A]. Đồ thị hàm số \[y=\dfrac{\sin x-\tan x}{2\sin x+3\cot x}\] nhận trục $Oy$làm trục đối xứng.
[B]. Đồ thị hàm số \[y=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sin x+\tan x}\] nhận góc tọa độ làm tâm đối xứng.
[C]. Đồ thị hàm số \[y=\dfrac{{{\sin }^{2008n}}x+2009}{\cos x},\left( n\in Z \right)\] nhận trục $Oy$làm trục đối xứng.
[D]. Đồ thị hàm số \[y={{\sin }^{2009}}x+\cos nx,\left( n\in Z \right)\] nhật góc tọa độ làm tâm đối xứng.
Đáp án D.
Với A : Tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng . Ta có
$f(-x)=\dfrac{\sin (-x)-\tan (-x)}{2\sin (-x)+3\tan (-x)}=\dfrac{\sin x-\tan x}{2\sin x+3\cot x}=f(x)$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng . Vậy A đúng.
Với B : Ta có $f(-x)=\dfrac{{{(-x)}^{2}}}{\sin (-x)+\tan (-x)}=\dfrac{{{x}^{2}}}{-\sin x-\tan x}=-f(x)$ . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng . vậy B đúng .
Với C : Ta có $f(-x)=\dfrac{{{\sin }^{2008n}}(-x)+2009}{\cos (-x)}=\dfrac{{{\sin }^{2008n}}x+2009}{\cos x}=f(x)$ Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng . Vậy C đúng .
Từ đây ta chọn D.
Câu 22.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có trục đối xứng.
[A]. \[y=\dfrac{{{\cos }^{2008n}}x+2003}{2012\sin x}\] .
[B]. \[y=\tan x+\cot x\] .
[C]. \[y=\dfrac{\cos x}{6{{x}^{6}}+4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+15}\].
[D]. \[y=\dfrac{1}{2\sin x-1}\] .
Đáp án [C].
Bài toán trở thành tìm hàm số chẵn trong bốn hàm số đã cho phần phương án .
Với A : Ta có $f(-x)=\dfrac{{{\cos }^{2008n}}(-x)+2003}{2012\sin (-x)}=\dfrac{{{\cos }^{2008n}}(-x)+2003}{-2012\sin x}=-f(x)$ Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ, (loại).
Với B : Ta có $f(-x)=\tan (-x)+\cot (-x)=-\tan x-\cot x=-f(x)$ Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ (loại).
Với C : Ta có $f(-x)=\dfrac{\cos (-x)}{6{{(-x)}^{6}}+4{{(-x)}^{4}}+2{{(-x)}^{2}}+15}=\dfrac{\cos x}{6{{x}^{6}}+4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+15}=f(x)$
vậy ta chon C
Câu 23.
Cho hàm số \[y=\dfrac{\sqrt{\cos x+2}+{{\cot }^{2}}x}{\sin 4x}\]. Hàm số trên là hàm số.
[A]. Hàm lẻ.
[B]. Hàm không tuần hoàn.
[C]. Hàm chẳn.
[D]. Hàm không chẳn không lẻ.
Đáp án A.
Vì $\cos x+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó điều kiện là
$\left\{ \begin{align}
& \sin x\ne 0 \\
& \sin 4x\ne 0 \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x\ne k\pi \\
& x\ne \dfrac{k\pi }{4} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x\ne \dfrac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$
vậy tập xác định của D là tập đối xứng.
Ta có $f(-x)=\dfrac{\sqrt{\cos x+2}+{{\cot }^{2}}(-x)}{\sin (-4x)}=-\dfrac{\sqrt{\cos x+2}+{{\cot }^{2}}(-x)}{\sin 4x}=-f(x)$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ.
Câu 24.
Hàm số là
[A]. Hàm lẻ.
[B]. Hàm không tuần hoàn.
[C]. Hàm chẳn.
[D]. Hàm không chẳn không lẻ.
Đáp án D.
Tập xác định Với
Ta có $f(-x)=\cos (-2x)\sin (-x-\dfrac{\pi }{4})=-\cos 2x\sin (x+\dfrac{\pi }{4})$
Ta thấy $\left\{ \begin{align}
& f(-x)\ne f(x) \\
& f(-x)\ne -f(x) \\
\end{align} \right.$ . Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.
Câu 25.
Xác định tĩnh chẳn lẻ của hàm số:
[A]. Hàm lẻ.
[B]. Hàm không tuần hoàn.
[C]. Hàm chẳn.
[D]. Hàm không chẳn không lẻ.
Đáp án [C].
Tập xác định $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng .
$f(-x)=1+2{{(-x)}^{3}}=1+2{{x}^{3}}-\cos 3x=f(x)$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.