Đại cương về hàm số: Sự biến thiên, tính chẵn lẽ của hàm số
Câu 1.
Trong các hàm số sau đây. $y=\left| x \right|;y={{x}^{2}}+2x;y=-{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ có bao nhiêu hàm số chãn?
[A]. $0. $
[B]. $1. $
[C]. $2. $
[D]. $3. $
HD: $y={{x}^{2}}+2x$ không phải là hàm số chẵn vì $y\left( 1 \right)=3\ne y\left( -1 \right)=-1$ Hai hàm số $y=\left| x \right|$ và $y=-{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ là các hàm số chẵn. Chọn đáp án C.
Câu 2.
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ?
[A]. \[y=-\dfrac{x}{2}+1. \]
[B]. \[y=\dfrac{x}{2}+1. \]
[C]. \[y=\dfrac{x}{2}. \]
[D]. \[y=\dfrac{x}{2}-1. \]
HD: Hàm số \[y=-\dfrac{x}{2}+1\] không phải hàm số lẻ vì $y\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}\ne -y\left( -1 \right)=-\dfrac{3}{2}$ Hàm số \[y=\dfrac{x}{2}+1\] không phải hàm số lẻ vì $y\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2}\ne -y\left( -1 \right)=-\dfrac{1}{2}$ Hàm số \[y=\dfrac{x}{2}-1\] không phải hàm số lẻ vì $y\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}\ne -y\left( -1 \right)=\dfrac{3}{2}$ Chọn đáp án C.
Câu 3.
Xét tính chẵn, lẻ của hai hàm số $f\left( x \right)=\left| x+1 \right|-\left| x-1 \right|,g\left( x \right)=-\left| x \right|$
[A]. $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, $g\left( x \right)$ là hàm số chẵn;
[B]. $f\left( x \right)$là hàm số lẻ, $g\left( x \right)$là hàm số chẵn;
[C]. $f\left( x \right)$là hàm số lẻ, $g\left( x \right)$là hàm số lẻ;
[D]. $f\left( x \right)$là hàm số chẵn, $g\left( x \right)$là hàm số lẻ.
HD: Hai hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ đều có tập xác định là $\mathbb{R}$ Khi đó, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}. $ $f\left( -x \right)=\left| -x+1 \right|-\left| -x-1 \right|=\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|=-f\left( x \right)$ $\Rightarrow $ $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ. $g\left( -x \right)=-\left| -x \right|=-\left| x \right|=g\left( x \right)$ $\Rightarrow $ $g\left( x \right)$ là hàm số chẵn. Chọn đáp án B.
Câu 4.
Cho hàm số$y=2{{x}^{3}}+3x+1. $ Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?
[A]. $y$ là hàm số chẵn.
[B]. $y$ là hàm số lẻ.
[C]. $y$ là hàm số không có tính chẵn lẻ.
[D]. $y$ là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
HD: Tập xác định. $\mathbb{R}. $ Khi đó, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}. $ $y\left( -x \right)=2{{\left( -x \right)}^{3}}+3\left( -x \right)+1=-2{{x}^{3}}-3x+1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & y\left( x \right)\ne y\left( -x \right) \\ & y\left( x \right)\ne -y\left( -x \right) \\ \end{align} \right. \Rightarrow $ Hàm số không chẵn, không lẻ. Chọn đáp án C.
Câu 5.
Cho hàm số $y=3{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3. $ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
[A]. $y$ là hàm số chẵn.
[B]. $y$ là hàm số lẻ.
[C]. $y$ là hàm số không có tính chẵn lẻ.
[D]. $y$ là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
HD: Tập xác định. $\mathbb{R}. $ Khi đó, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}. $ $y\left( -x \right)=3{{\left( -x \right)}^{4}}-4{{\left( -x \right)}^{2}}+3=3{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3=y\left( x \right)$ $\Rightarrow y$ là hàm số chẵn. Chọn đáp án A.
Câu 6.
Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số lẻ?
[A]. $y={{x}^{3}}+1. $
[B]. $y={{x}^{3}}+x. $
[C]. $y=-{{x}^{3}}+x. $
[D]. $y=\dfrac{1}{x}. $
HD: Xét hàm số. $y={{x}^{3}}+1. $ Tập xác định. $\mathbb{R}. $ Khi đó, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}. $ $y\left( -x \right)={{\left( -x \right)}^{3}}+1=-{{x}^{3}}+1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & y\left( -x \right)\ne y\left( x \right) \\ & y\left( -x \right)\ne -y\left( x \right) \\ \end{align} \right. \Rightarrow y={{x}^{3}}+1$ không chẵn, không lẻ. Chọn đáp án A.
Câu 7.
Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số chẵn?
[A]. $y=\left| x+1 \right|+\left| 1-x \right|. $
[B]. $y=\left| x+1 \right|-\left| x-1 \right|. $
[C]. $y=\left| {{x}^{2}}-1 \right|-\left| {{x}^{2}}+1 \right|. $
[D]. $y=\left| {{x}^{2}}-1 \right|-\left| 1-{{x}^{2}} \right|. $
HD: Xét hàm số. $y=\left| x+1 \right|-\left| x-1 \right|. $ Tập xác định. $\mathbb{R}. $ Khi đó, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}. $ $y\left( -x \right)=\left| -x+1 \right|-\left| -x-1 \right|=\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|=-y\left( x \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| x+1 \right|-\left| x-1 \right|$là hàm số lẻ. Chọn đáp án B.
Câu 8.
Tìm tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-4 \right)\left| x \right|+3$ là hàm số chẵn?
[A]. $m<2. $
[B]. $m>2. $
[C]. $m=\pm 2. $
[D]. $\forall m\in d\in \mathbb{R}. $
HD: Tập xác định. $\mathbb{R}. $ Khi đó, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}. $ $y\left( -x \right)={{\left( -x \right)}^{4}}-4\left( -{{x}^{2}} \right)+\left( {{m}^{2}}-4 \right)\left| x \right|+3$ $={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-4 \right)\left| x \right|+3=y\left( x \right),\forall m\in \mathbb{R}. $ Chọn đáp án D.
Câu 9.
Tìm tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt[3]{x+2}+m\,\sqrt[3]{x-2}$ là hàm số chẵn?
[A]. $m<-1. $
[B]. $m>1. $
[C]. $m=1. $
[D]. $m=-1. $
HD: Tập xác định. $\mathbb{R}. $ Khi đó, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}. $ $y\left( -x \right)=\sqrt[3]{-x+2}+m\,\sqrt[3]{-x-2}=-\sqrt[3]{x-2}-m\,\sqrt[3]{x+2}$ Để hàm số là hàm số chẵn thì $y\left( -x \right)=y\left( x \right)$ $\Leftrightarrow -\sqrt[3]{x-2}-m\,\sqrt[3]{x+2}=\sqrt[3]{x+2}+m\,\sqrt[3]{x-2},\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow m=-1. $ Chọn đáp án D.
Câu 10.
Tìm tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt[3]{x+2}+m\,\sqrt[3]{x-2}$ là hàm số lẻ?
[A]. $m<-1. $
[B]. $m>1. $
[C]. $m=1. $
[D]. $m=-1. $
HD: Tập xác định. $\mathbb{R}. $ Khi đó, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}. $ $y\left( -x \right)=\sqrt[3]{-x+2}+m\,\sqrt[3]{-x-2}=y=-\sqrt[3]{x-2}-m\,\sqrt[3]{x+2}$ Để hàm số là hàm số lẻ thì $y\left( -x \right)=-y\left( x \right)$ $\Leftrightarrow -\sqrt[3]{x-2}-m\,\sqrt[3]{x+2}=-\sqrt[3]{x+2}-m\,\sqrt[3]{x-2},\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow m=1. $ Chọn đáp án C.
Câu 11.
Giá trị nào của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( x \right)=\left( m+1 \right)x+m-1$ nghịch biến trên tập xác định của hàm số?
[A]. $m<-1. $
[B]. $m>-1. $
[C]. $m=-1. $
[D]. $m<2. $
HD: Tập xác định. $D=\mathbb{R}. $ Lấy ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ bất kì thuộc $\mathbb{R}. $ $\begin{align} & f\left( {{x}_{2}} \right)=\left( m+1 \right){{x}_{2}}+m-1; \\ & f\left( {{x}_{1}} \right)=\left( m+1 \right){{x}_{1}}+m-1; \\ \end{align}$ $f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)=\left( m+1 \right)\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)$ $\Rightarrow A=\dfrac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\dfrac{\left( m+1 \right)\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=m+1. $ Hàm số nghịch biến trên tập xác định $\Leftrightarrow m+1<0\Leftrightarrow m<-1. $ Chọn đáp án A.
Câu 12.
Giá trị nào của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( x \right)=\left( m+1 \right)x+2x-m+1$ đồng biến trên tập xác định của hàm số?
[A]. $m>-1. $
[B]. $m<-1. $
[C]. $m<-3. $
[D]. $m>-3. $
Ta có. $y=f\left( x \right)=\left( m+1 \right)x+2x-m+1=\left( m+3 \right)x-m+1. $
Tập xác định. $D=\mathbb{R}. $
Lấy ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ bất kì thuộc $\mathbb{R}. $
$\begin{align} & f\left( {{x}_{2}} \right)=\left( m+3 \right){{x}_{2}}-m+1; \\ & f\left( {{x}_{1}} \right)=\left( m+3 \right){{x}_{1}}-m+1; \\ \end{align}$
$f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)=\left( m+3 \right)\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)$
$\Rightarrow A=\dfrac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\dfrac{\left( m+3 \right)\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=m+3. $
Hàm số đồng biến trên tập xác định $\Leftrightarrow m+3>0\Leftrightarrow m>-3. $ Chọn đáp án D.
Câu 13.
Không vẽ đồ thị hãy cho biết cặp đường thẳng nào sau đây trùng nhau?
[A]. $y=\dfrac{x}{\sqrt{3}}-1$ và $y=\sqrt{3}x-1$
[B]. $y=\dfrac{x}{\sqrt{3}}+2$và $y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x-2$
[C]. $y=\dfrac{x}{2}+1$ và $x-2y+2=0$
[D]. $y=-\dfrac{x}{\sqrt{2}}+3$và $y=-(\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+3)$
HD: Đường thẳng $y=ax+b$ trùng với đường thẳng $y=a’x+b’$ khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{align} & a=a’ \\ & b=b’ \\ \end{align} \right. \] Ta có. $x-2y+2=0\Leftrightarrow y=\dfrac{x}{2}+1. $ Chọn đáp án C.
Câu 14.
Hình bên không phải là đồ thị hàm số vì nguyên nhân nào sau đây?
[A]. Vì có tập xác định là $\left[ 1;2 \right]. $
[B]. Vì với $x=1$ có đến hai giá trị tương ứng của hàm số là $1$ và $-1. $
[C]. Vì đồ thị hàm số không phải là đường thẳng.
[D]. Vì đồ thị hàm số không phải là Parabol.
HD: Với $x=1$ ta thu được $2$ giá trị của hàm số là $1$ và $-1$ $\Rightarrow $ không phải là hàm số. Chọn đáp án B.
Câu 15.
Mệnh đề nào sau đây sai?
[A]. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
[B]. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
[C]. Hàm số có thể không chẵn không lẻ.
[D]. Không thể có hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
HD: Xét hàm số $f\left( x \right)=0$ Tập xác định. $D=\mathbb{R}. $ Khi đó, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}. $ $f\left( -x \right)=0=f\left( x \right)$ $\Rightarrow f\left( x \right)=0$ là hàm số chẵn $f\left( -x \right)=0=-f\left( -x \right)\Rightarrow f\left( x \right)=0$ là hàm số lẻ. $\Rightarrow f\left( x \right)=0$ là hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. Chọn đáp án D.
Câu 16.
Cho hai hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}. $ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
[A]. Hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ thì hàm $f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm lẻ.
[B]. Hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ thì hàm $f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm chẵn.
[C]. Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm chẵn và $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ thì hàm $f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm chẵn.
[D]. Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm chẵn và $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ thì hàm $f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm lẻ.
HD: Ta có. $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là hàm lẻ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & f\left( x \right)=-f\left( -x \right) \\ & g\left( x \right)=-g\left( -x \right) \\ \end{align} \right. \Rightarrow f\left( x \right)+g\left( x \right)=-\left[ f\left( -x \right)+g\left( -x \right) \right]$ $\Rightarrow f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm lẻ. Chọn đáp án A.
Câu 17.
Hàm số nào sau đây có đồ thị trùng với đồ thị hàm số $y=\left| x-1 \right|. $
[A]. $y=\dfrac{\left| x-1 \right|x}{x}. $
[B]. $y={{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{2}}. $
[C]. $y=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}. $
[D]. $y=\dfrac{{{\left| x-1 \right|}^{2}}}{\left| x-1 \right|}. $
HD: Ta có. hàm số $y=\left| x-1 \right|$ có tập xác định là $\mathbb{R}. $ Các hàm số. $y=\dfrac{\left| x-1 \right|x}{x},y={{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{2}},y=\dfrac{{{\left| x-1 \right|}^{2}}}{\left| x-1 \right|}$đều không có tập xác định là $\mathbb{R}$ $\Rightarrow $ Chọn đáp án C.
Câu 18.
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
[A]. Hàm số $y=f\left( x \right)$luôn đồng biến trên $\mathbb{R}. $
[B]. Hàm số $y=f\left( x \right)$luôn đồng biến trên $\left( -1;2 \right)$ và $\left( 5;+\infty \right). $
[C]. Hàm số $y=f\left( x \right)$luôn đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right). $
[D]. Hàm số $y=f\left( x \right)$luôn nghịch biến trên $\left( -1;5 \right). $
HD: Dựa vào đồ thị hàm số, phần đồ thị có xu hướng đi lên là thể hiện tính đồng biến, phần đồ thị có xu hướng đi xuống là thể hiện tính nghịch biến của hàm số. Chọn đáp án B.
Câu 19.
Để có đồ thị hàm số $y=3\left( x+2 \right)+1$ ta tịnh tiến đồ thị hàm số $y=3x$
[A]. lên trên $7$ đơn vị.
[B]. xuống dưới $7$ đơn vị.
[C]. sang trái $7$ đơn vị.
[D]. sang phải $7$đơn vị.
HD: Ta có. $y=3\left( x+2 \right)+1=3x+7. $ Chọn đáp án A.
Câu 20.
Để có đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}+3x+2$ ta tịnh tiến đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-x$
[A]. lên trên $2$ đơn vị.
[B]. xuống dưới $2$ đơn vị.
[C]. sang trái $2$ đơn vị.
[D]. sang phải $2$đơn vị.
HD: Ta chuyển hàm số$y={{x}^{2}}+3x+2$về dạng $y={{\left( x+a \right)}^{2}}-\left( x+a \right)$ Ta có. $y={{\left( x+a \right)}^{2}}-\left( x+a \right)={{x}^{2}}+2ax+{{a}^{2}}-x-a={{x}^{2}}+\left( 2a-1 \right)x+{{a}^{2}}-a$ $\Rightarrow {{x}^{2}}+\left( 2a-1 \right)x+{{a}^{2}}-a={{x}^{2}}+3x+2,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2a-1=3 \\ & {{a}^{2}}-a=2 \\ \end{align} \right. \Leftrightarrow a=2. $ $\Rightarrow y={{x}^{2}}+3x+2={{\left( x+2 \right)}^{2}}-\left( x+2 \right)$ $\Rightarrow $ Đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}+3x+2={{\left( x+2 \right)}^{2}}-\left( x+2 \right)$được suy ra bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-x$ sang trái $2$ đơn vị. Chọn đáp án C.