Bài tập cực trị điện xoay chiều C thay đổi

1. C THAY ĐỔI => XẢY RA HIỆN TƯỢNG CỘNG HƯỞNG \({\varphi _{{\bf{U}}/{\bf{I}}}} = {\bf{0}}\) VÀ \({{\bf{I}}_{{\bf{MAX}}}},{\rm{ }}{{\bf{U}}_{{\bf{RMAX}}}},{\rm{ }}{{\bf{U}}_{{\bf{LMAX}}}},{\rm{ }}{{\bf{U}}_{{\bf{LCMIN}}}}\)

\({Z_L} = {Z_C}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}{Z_{\min }} = R\\{I_{{\rm{max}}}} = \dfrac{U}{R}\\{P_{{\rm{max}}}} = {I^2}R = \dfrac{{{U^2}}}{R}\end{array}\)

+ Điện áp giữa hai đầu điện trở cực đại và bằng điện áp toàn mạch

\({U_L} = {U_C} \to U = \sqrt {U_R^2 + {{({U_L} – {U_C})}^2}}  = {U_R}\)

+ Điện áp hai đầu đoạn mạch cùng pha với cường độ dòng điện trong mạch: φ=0

2. C THAY ĐỔI ĐỂ U_CMAX VÀ ĐIỆN ÁP HAI ĐẦU ĐOẠN MẠCH VUÔNG PHA VỚI U_RL

Ta có: \({U_C} = I{Z_C} = \dfrac{{U{Z_C}}}{{\sqrt {{R^2} + {{({Z_L} – {Z_C})}^2}} }}\)

Chia cả tử và mẫu cho Z_L, ta được: \({U_C} = \dfrac{U}{{\sqrt {\dfrac{{{R^2}}}{{{Z_C}^2}} + \dfrac{{{{({Z_L} – {Z_C})}^2}}}{{{Z_C}^2}}} }} = \dfrac{U}{{\sqrt {\dfrac{{{R^2} + Z_L^2}}{{{Z_C}^2}} – \dfrac{{2{Z_L}}}{{{Z_C}}} + 1} }}\)

Đặt \(y = \dfrac{{{R^2} + Z_L^2}}{{{Z_C}^2}} – \dfrac{{2{Z_L}}}{{{Z_C}}} + 1 = ({R^2} + Z_L^2){x^2} – 2{Z_L}x + 1\) với $x = \dfrac{1}{{{Z_C}}}$

Ta có U_Cmax khi y_min

\({y_{\min }} \leftrightarrow x =  – \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}} = \dfrac{{2{Z_L}}}{{2({R^2} + Z_L^2)}} \to {Z_C} = \dfrac{{{R^2} + Z_L^2}}{{{Z_L}}}\)

Khi đó: \({U_{Cm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{U_R^2 + U_L^2}}{{{U_L}}} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_L^2} }}{R}\)

Hệ quả: \(\left\{ \begin{array}{l}{U_{RL}} \bot {U_{AB}}\\U_{C\max }^2 = {U^2} + U_{RL}^2 = {U^2} + U_R^2 + U_L^2\\U_{C\max }^{}.{U_R} = U.{U_{RL}}\\\dfrac{1}{{U_R^2}} = \dfrac{1}{{{U^2}}} + \dfrac{1}{{U_{RL}^2}}\end{array} \right.\)

3. C THAY ĐỔI ĐỂ U_RCMAX

Ta có: \({U_{RC}} = I{Z_{RC}} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{{\sqrt {{R^2} + {{({Z_L} – {Z_C})}^2}} }} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{{\sqrt {{R^2} + {Z_L}^2 – 2{Z_L}{Z_C} + {Z_C}^2} }} = \dfrac{U}{{\sqrt {1 + \dfrac{{ – 2{Z_L}{Z_C} + {Z_L}^2}}{{{R^2} + Z_C^2}}} }}\)

\({U_{RLmax}} \leftrightarrow {\left( {1 + \dfrac{{ – 2{Z_L}{Z_C} + {Z_L}^2}}{{{R^2} + Z_C^2}}} \right)_{\min }}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1 + \dfrac{{ – 2{Z_L}{Z_C} + {Z_L}^2}}{{{R^2} + Z_C^2}}}\\{y’ = {{(1 + \dfrac{{ – 2{Z_L}{Z_C} + {Z_L}^2}}{{{R^2} + Z_C^2}})}^\prime } = \dfrac{{2{Z_C}^2 – 2{R^2} – 2{Z_L}{Z_C}}}{{{{({R^2} + Z_C^2)}^2}}}}\\{y’ = 0 \leftrightarrow 2{Z_C}^2 – 2{R^2} – 2{Z_L}{Z_C} = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}{Z_C} > 0\\{Z_C} = \dfrac{{ – b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \dfrac{{{Z_L} + \sqrt {4{R^2} + Z_L^2} }}{2}\end{array} \right.}\end{array}\)

Khi đó:

\({U_{R{C_{max}}}} = \dfrac{{2UR}}{{\sqrt {4{R^2} + Z_L^2 – {Z_L}} }}\)

4. C THAY ĐỔI ĐỂ U_RL KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO R

U_RC không phụ thuộc vào R

\( \leftrightarrow {U_{RL}} = {U_{AB}}\)

Từ giản đồ:

\(\begin{array}{l} \to {U_C} = 2{U_L}\\ \to {Z_C} = 2{Z_L}\end{array}\)

5. C THAY ĐỔI ĐỂ \({U_{RC}} \bot {U_{RL}}\)

\(\begin{array}{l}{U_{RL}} \bot {U_{RC}}\\ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin {\varphi _1} = c{\rm{os}}{\varphi _2}\\c{\rm{os}}{\varphi _1} = \left| {\sin {\varphi _2}} \right|\end{array} \right. \to \left| {\tan {\varphi _1}\tan {\varphi _2}} \right| = 1\\ \leftrightarrow \dfrac{{{U_L}}}{{{U_R}}}\dfrac{{{U_C}}}{{{U_R}}} = 1 \leftrightarrow {U_L}{U_C} = {U_R}^2 \leftrightarrow {Z_L}{Z_C} = {R^2}\end{array}\)

6. C=C₁ HOẶC C=C₂ THÌ U_C CÓ CÙNG GIÁ TRỊ

C₁+C₂=2C_max

7. C THAY ĐỔI CÓ 2 GIÁ TRỊ LÀM CHO: \({{\bf{I}}_{\bf{1}}} = {{\bf{I}}_{\bf{2}}},{\rm{ }}{{\bf{P}}_{\bf{1}}} = {{\bf{P}}_{\bf{2}}},{\rm{ }}{\bf{cos}}{\varphi _{\bf{1}}} = {\bf{cos}}{\varphi _{\bf{2}}},{\rm{ }}{{\bf{Z}}_{\bf{1}}} = {{\bf{Z}}_{\bf{2}}}\)

– Z₁=Z₂

\({R^2} + {({Z_L} – {Z_{C1}})^2} = {R^2} + {({Z_L} – {Z_{C2}})^2} \to \left| {{Z_L} – {Z_{C1}}} \right| = \left| {{Z_L} – {Z_{C2}}} \right|\)

Với Z_C2>Z_C1 \( \to {Z_{C1}} + {Z_{C2}} = 2{Z_L}\)

– I₁=I₂ hoặc P₁=P₂ => L=? để cộng hưởng điện

\( \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I = {I_{{\rm{max}}}}\\{\varphi _u} = {\varphi _i}\\\left| {{\rm{cos}}\varphi } \right| = 1\end{array} \right. \to 2{Z_{Cm{\rm{ax}}}} = {Z_{C1}} + {Z_{C2}}\)