Bài tập cực trị điện xoay chiều L thay đổi

I- L THAY ĐỔI => XẢY RA HIỆN TƯỢNG CỘNG HƯỞNG \({\varphi _{{\bf{u}}/{\bf{i}}}} = {\bf{0}}\) VÀ I_MAX, U_RMAX, U_CMAX, U_LCMIN

\({Z_L} = {Z_C}\)

Khi đó:

\({Z_{\min }} = R,{\rm{  }}{I_{{\rm{max}}}} = \dfrac{U}{R},{\rm{  }}{P_{{\rm{max}}}} = {I^2}R = \dfrac{{{U^2}}}{R}\)

+ Điện áp giữa hai đầu điện trở cực đại và bằng điện áp toàn mạch

\({U_L} = {U_C} \to U = \sqrt {U_R^2 + {{({U_L} – {U_C})}^2}}  = {U_R}\)

+ Điện áp hai đầu đoạn mạch cùng pha với cường độ dòng điện trong mạch: φ=0

II- L THAY ĐỔI ĐỂ U_LMAX VÀ ĐIỆN ÁP HAI ĐẦU ĐOẠN MẠCH VUÔNG PHA VỚI U_RC

Ta có: \({U_L} = I{Z_L} = \dfrac{{U{Z_L}}}{{\sqrt {{R^2} + {{({Z_L} – {Z_C})}^2}} }}\)

Chia cả tử và mẫu cho Z_L, ta được: \({U_L} = \dfrac{U}{{\sqrt {\dfrac{{{R^2}}}{{{Z_L}^2}} + \dfrac{{{{({Z_L} – {Z_C})}^2}}}{{{Z_L}^2}}} }} = \dfrac{U}{{\sqrt {\dfrac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_L}^2}} – \dfrac{{2{Z_C}}}{{{Z_L}}} + 1} }}\)

Đặt \(y = \dfrac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_L}^2}} – \dfrac{{2{Z_C}}}{{{Z_L}}} + 1 = ({R^2} + Z_C^2){x^2} – 2{Z_C}x + 1\) với $x = \dfrac{1}{{{Z_L}}}$

Ta có U_Lmax khi y_min

\({y_{\min }} \leftrightarrow x =  – \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}} = \dfrac{{2{Z_C}}}{{2({R^2} + Z_C^2)}} \to {Z_L} = \dfrac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_C}}}\)

Khi đó: \({U_{Lm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{U_R^2 + U_C^2}}{{{U_C}}} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{R}\)

Hệ quả: \(\left\{ \begin{array}{l}{U_{RC}} \bot {U_{AB}}\\U_{L\max }^2 = {U^2} + U_{RC}^2 = {U^2} + U_R^2 + U_C^2\\U_{L\max }^{}.{U_R} = U.{U_{RC}}\\\dfrac{1}{{U_R^2}} = \dfrac{1}{{{U^2}}} + \dfrac{1}{{U_{RC}^2}}\end{array} \right.\)

III- L THAY ĐỔI ĐỂ U_RLMAX

Ta có: \({U_{RL}} = I{Z_{RL}} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_L^2} }}{{\sqrt {{R^2} + {{({Z_L} – {Z_C})}^2}} }} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_L^2} }}{{\sqrt {{R^2} + {Z_L}^2 – 2{Z_L}{Z_C} + {Z_C}^2} }} = \dfrac{U}{{\sqrt {1 + \dfrac{{ – 2{Z_L}{Z_C} + {Z_C}^2}}{{{R^2} + Z_L^2}}} }}\)

U_RLmax \( \leftrightarrow {\left( {1 + \dfrac{{ – 2{Z_L}{Z_C} + {Z_C}^2}}{{{R^2} + Z_L^2}}} \right)_{\min }}\)

\(\begin{array}{l}y = 1 + \dfrac{{ – 2{Z_L}{Z_C} + {Z_C}^2}}{{{R^2} + Z_L^2}}\\y’ = (1 + \dfrac{{ – 2{Z_L}{Z_C} + {Z_C}^2}}{{{R^2} + Z_L^2}})’ = \dfrac{{2{Z_L}^2 – 2{R^2} – 2{Z_L}{Z_C}}}{{{{({R^2} + Z_L^2)}^2}}}\\y’ = 0 \leftrightarrow 2{Z_L}^2 – 2{R^2} – 2{Z_L}{Z_C} = 0\\\left\{ \begin{array}{l}{Z_L} > 0\\x =  – \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}} \leftrightarrow {Z_L} = \dfrac{{{Z_C}}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó: \({y_{\min }} = \dfrac{{ – \Delta }}{{4{\rm{a}}}} = \dfrac{{4{R^2} – Z_C^2}}{4},{\rm{ }}{{\rm{U}}_{RLm{\rm{ax}}}} = \dfrac{U}{{\sqrt {\dfrac{{4{R^2} – Z_C^2}}{4}} }} = \dfrac{{2U}}{{\sqrt {4{R^2} – Z_C^2} }}\)

IV – L THAY ĐỔI ĐỂ U_RC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO R

U_RC không phụ thuộc vào R

\( \leftrightarrow {U_{RC}} = {U_{AB}}\)

Từ giản đồ:

\(\begin{array}{l} \leftrightarrow {U_C} = {U_L} – {U_C}\\ \to {U_L} = 2{U_C}\\ \to {Z_L} = 2{Z_C}\end{array}\)

V – L THAY ĐỔI ĐỂ \({U_{RC}} \bot {U_{RL}}\)

\(\begin{array}{l}{U_{RL}} \bot {U_{RC}}\\ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin {\varphi _1} = c{\rm{os}}{\varphi _2}\\c{\rm{os}}{\varphi _1} = \left| {\sin {\varphi _2}} \right|\end{array} \right. \to \left| {\tan {\varphi _1}\tan {\varphi _2}} \right| = 1\\ \leftrightarrow \dfrac{{{U_L}}}{{{U_R}}}\dfrac{{{U_C}}}{{{U_R}}} = 1 \leftrightarrow {U_L}{U_C} = {U_R}^2 \leftrightarrow {Z_L}{Z_C} = {R^2}\end{array}\)

VI – L=L₁HOẶC L=L₂ THÌ U_L CÓ CÙNG GIÁ TRỊ

\(\dfrac{1}{{{L_{{\rm{max}}}}}} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{{{L_1}}} + \dfrac{1}{{{L_2}}})\)

VII – L THAY ĐỔI, CÓ 2 GIÁ TRỊ CỦA L LÀM CHO \({{\bf{I}}_{\bf{1}}} = {{\bf{I}}_{\bf{2}}},{\rm{ }}{{\bf{P}}_{\bf{1}}} = {{\bf{P}}_{\bf{2}}},{\rm{ }}{\bf{cos}}{\varphi _{\bf{1}}} = {\bf{cos}}{\varphi _{\bf{2}}},{\rm{ }}{{\bf{Z}}_{\bf{1}}} = {{\bf{Z}}_{\bf{2}}}\)

– Z₁=Z₂

\({R^2} + {({Z_{L1}} – {Z_C})^2} = {R^2} + {({Z_{L2}} – {Z_C})^2} \to \left| {{Z_{L1}} – {Z_C}} \right| = \left| {{Z_{L2}} – {Z_C}} \right|\)

Với Z_L2>Z_L1 \( \to {Z_{L1}} + {Z_{L2}} = 2{Z_C}\)

– I₁=I₂ hoặc P₁=P₂ => L=? để cộng hưởng điện

\( \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I = {I_{{\rm{max}}}}\\{\varphi _u} = {\varphi _i}\\\left| {{\rm{cos}}\varphi } \right| = 1\end{array} \right. \to L = \dfrac{{{L_1} + {L_2}}}{2}\)