Bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình Logarit

Biểu thức\({\log _{2x – 3}}16\) xác định$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x – 3 > 0\\2x – 3 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{2}\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} < x \ne 2$

Biểu thức \({\log _x}(2{x^2} – 7x – 12)\) xác định$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\2{x^2} – 7x + 12 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\2\left[ {{{(x – \dfrac{7}{4})}^2} + \dfrac{{47}}{{16}}} \right] > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in (0;1) \cup (1; + \infty )$

Biểu thức \({\log _5}(x – 1)\)và \({\log _5}\dfrac{x}{{x + 1}}\) xác định$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}} > 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – 1 \vee x > 0\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1$
chọn đáp án [A].

Biểu thức \({\log _9}\dfrac{{2x}}{{x + 1}}\) xác định :
$ \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow x < – 1 \vee x > 0 \Leftrightarrow x \in ( – \infty ; – 1) \cup (0; + \infty )$

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – 2 > 0\\3x – 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{2}\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$.

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 > 0\\(x + 3)(x – 1) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} + 2x – 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x = – 8\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 2$.

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 6 > 0\\x – 3 > 0\\{x^2} – 6 = 3(x – 3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – \sqrt 6 \vee x > \sqrt 6 \\x > 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset $.

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x – 1 > 0\\{\log _2}\left[ {x(x – 1)} \right] = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} – x – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$, chọn đáp án [A].

PT\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\{\log ^2}_2(x + 1) – 3{\log _2}(x + 1) + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 1\\\left[ \begin{array}{l}{\log _2}(x + 1) = 1\\{\log _2}(x + 1) = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x > 0\\{\log _4}x > 0\\{\log _{{2^2}}}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {{{\log }_{{2^2}}}x} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {\dfrac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) = 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\dfrac{1}{2} + {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\dfrac{3}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) – 1 = 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}x = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = 16\end{array} \right. \Rightarrow x = 16$.

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2x – 1 > 0\\{\log _2}x.{\log _3}(2x – 1) = 2{\log _2}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{2}\\{\log _2}x\left[ {{{\log }_3}(2x – 1) – 2} \right] = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 0\\{\log _3}(2x – 1) = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.$.

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^3} + 1 > 0\\{x^2} – x + 1 > 0\\{\log _{{2^{}}}}({x^3} + 1) – {\log _2}({x^2} – x + 1) – 2{\log _{{2^{}}}}x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}({x^2} – x + 1)}} = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{(x + 1)({x^2} – x + 1)}}{{{x^2}({x^2} – x + 1)}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = – 1\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset $.

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _5}(5x) – {\log _{25}}(5x) – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _5}(5x) – \dfrac{1}{2}{\log _5}(5x) – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\dfrac{1}{2}{\log _5}(5x) – 3 = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _5}(5x) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\5x = {5^6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = {5^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = {5^5}$.

PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x – 3 > 0\\{\log _3}(5x – 3) + {\log _{\dfrac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{5}\\{\log _3}(5x – 3) – {\log _3}({x^2} + 1) = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{5}\\{\log ^{}}_3(5x – 3) = {\log ^{}}_3({x^2} + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{5}\\5x – 3 = {x^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{5}\\{x^2} – 5x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{5}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.$Vậy \(2{x_1} + 3{x_2} = 2.1 + 3.4 = 14\).

PT1:\(2{\log _5}(3x – 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)\)
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – 1 > 0\\2x + 1 > 0\\2{\log _5}(3x – 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\{\log _5}{(3x – 1)^2} + {\log _5}5 = 3{\log _5}(2x + 1)\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\{\log _5}5{(3x – 1)^2} = {\log _5}{(2x + 1)^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\5{(3x – 1)^2} = {(2x + 1)^3}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\5(9{x^2} – 6x + 1) = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\8{x^3} – 33{x^2} + 36x – 4 = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{8}\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = 2$
PT2:\({\log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 – {\log _{\dfrac{1}{2}}}(x + 2)\)
PT\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x – 8 > 0\\x + 2 > 0\\{\log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 – {\log _{\dfrac{1}{2}}}(x + 2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – 2 \vee x > 4\\x > – 2\\{\log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 + {\log _2}(x + 2)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\{\log _2}({x^2} – 2x – 8) = {\log _2}2(x + 2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\{x^2} – 2x – 8 = 2(x + 2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\{x^2} – 4x – 12 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\\left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow {x_2} = 6\)
Vậy \({x_1} + {x_2} = 2 + 6 = 8\).

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện:\(0 < x \ne 1\)
PT$ \Leftrightarrow {\log _x}2 – {\log _{16}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _x}2 – {\log _{{2^4}}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _x}2 – \dfrac{1}{4}{\log _2}x = 0$
$ \Leftrightarrow {\log _x}2 – \dfrac{1}{{4{{\log }_x}2}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{4{{({{\log }_x}2)}^2} – 1}}{{4{{\log }_x}2}} = 0 \Leftrightarrow 4{({\log _x}2)^2} – 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {({\log _x}2)^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _x}2 = \dfrac{1}{2}\\{\log _x}2 = – \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 = {x^{\dfrac{1}{2}}}\\2 = {x^{ – \dfrac{1}{2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 4\\{x_2} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Vậy \({x_1}.{x_2} = 4.\dfrac{1}{4} = 1\).
[Phương pháp trắc nghiệm]
Đáp án B,D có tích âm thì có thể \({x_1} < 0\)hoặc\({x_2} < 0\)thì không thỏa mãn điều kiện của \(x\)nên loại.

Đặt \(t = {\log _2}x\)
PT$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{5 – t}} + \dfrac{2}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{1 + t + 2(5 – t)}}{{(5 – t)(1 + t)}} = 1 \Leftrightarrow 1 + t + 2(5 – t) = (5 – t)(1 + t)$
$ \Leftrightarrow 11 – t = 5 + 4t – {t^2} \Leftrightarrow {t^2} – 5t + 6 = 0$.

Đặt \(t = \lg x\)
PT$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{4 – t}} + \dfrac{2}{{2 + t}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{2 + t + 2(4 – t)}}{{(4 – t)(2 + t)}} = 1 \Leftrightarrow 2 + t + 2(4 – t) = (4 – t)(2 + t)$
$ \Leftrightarrow 10 – t = 8 + 2t – {t^2} \Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0$.

TXĐ:x > 0
PT$ \Leftrightarrow {\log _2}^3x – 2{\log _2}^2x = {\log _2}x – 2 \Leftrightarrow {\log _2}^3x – 2{\log _2}^2x – {\log _2}x + 2 = 0$
$ \Leftrightarrow {\log _2}^3x – {\log _2}x – 2{\log _2}^2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\log _2}x({\log ^2}_2x – 1) – 2({\log ^2}_2x – 1) = 0$
$ \Leftrightarrow ({\log ^2}_2x – 1)({\log _2}x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log ^2}_2x – 1 = 0\\{\log _2}x – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = – 1\\{\log _2}x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{1}{2}\\x = 4\end{array} \right.$
$ \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$là nghiệm nhỏ nhất.

BPT xác định khi:\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\4x + 2 > 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > – \dfrac{1}{2}\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\).

BPT xác định khi :$\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\5 – x > 0\\x – 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 1\\x < 5\\x > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < x < 5$.

BPT xác định khi :$\left\{ \begin{array}{l}2 – {x^2} > 0\\{\log _2}(2 – {x^2}) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\2 – {x^2} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\1 – {x^2} > 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\ – 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow – 1 < x < 1$.

Xét \(x > 0 \Rightarrow {2^x} > {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 > 2 \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) > {\log _2}2 = 1\left( 1 \right)\)
\(x > 0 \Rightarrow {4^x} > {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 > 2 + 1 = 3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} \right) > {\log _3}3 = 1\left( 2 \right)\)
Cộng vế với vế của\(\left( 1 \right)\)và\(\left( 2 \right)\)ta được:${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) > 2$
Mà BPT: ${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \le 2$ nên \(x > 0\left( {loai} \right)\)
Xét \(x \le 0 \Rightarrow {2^x} \le {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 \le 2 \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) \le {\log _2}2 = 1\left( 3 \right)\)
\(x \le 0 \Rightarrow {4^x} \le {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 \le 2 + 1 = 3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} \right) \le {\log _3}3 = 1\left( 4 \right)\)
Cộng vế với vế của\(\left( 3 \right)\)và\(\left( 4 \right)\)ta được:${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \le 2\left( {tm} \right)$
Vậy \(x \le 0\)hay \(x \in \left( { – \infty ;0} \right]\).

TXĐ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – x – 2 > 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – 1 \vee x > 2\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2$
BPT$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x – 1} \right) + 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge {\log _{{2^{ – 1}}}}\left( {x – 1} \right) + 1$
$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) + {\log _2}\left( {x – 1} \right) – 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{\left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}{2} \ge 0$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}{2} \ge 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x – 1} \right) \ge 2 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 2x – 1} \right) \ge 0$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1 – \sqrt 2 \left( {loai} \right)\\x \ge 1 + \sqrt 2 \left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x \ge 1 + \sqrt 2 $

BPT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x > 0\\{\log _4}x > 0\\ + {\log _2}\left( {{{\log }_{{2^2}}}x} \right) \ge {\log _{{2^2}}}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\ + {\log _2}\left( {\dfrac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) \ge \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\ + {\log _2}\left( {\dfrac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) \ge \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) – 1 \ge \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) \ge 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}x \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ge 8\end{array} \right. \Rightarrow x \ge 8$

BPT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 – {x^2} > 0\\1 – x > 0\\{\log _3}\left( {1 – {x^2}} \right) \le – {\log _3}\left( {1 – x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\x < 1\\{\log _3}\left( {1 – {x^2}} \right) + {\log _3}\left( {1 – x} \right) \le 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\{\log _3}\left( {1 – {x^2}} \right)\left( {1 – x} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\{\log _3}\left( {1 – {x^2}} \right)\left( {1 – x} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\\left( {1 – {x^2}} \right)\left( {1 – x} \right) \le 1\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\x({x^2} – x – 1) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 < x < 1\\x \le \dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2} \vee 0 \le x \le \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow – 1 < x \le \dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2} \vee 0 \le x < 1$
\( \Rightarrow x = 0\)là nghiệm nguyên nhỏ nhất.

BPT\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 3x + 1 > 0\\{\log _2}({x^2} – 3x + 1) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 3x + 1 > 0\\{x^2} – 3x + 1 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 3x + 1 > 0\\{x^2} – 3x + 1 \le 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2} \vee x > \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\0 \le x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} \right]\)

[Phương pháp tự luận]
PT xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 5 > 0\\x + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 5\\x > – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _2}(X – 5) + {\log _3}(X + 2) – 3\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại đáp án B và
[C].
Nhấn CALC và cho $X = 5$(thuộc đáp án D) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại
[D].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 6{\rm{x + 7}} > 0\\x – 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 3 + \sqrt 2 \\x < 3 – \sqrt 2 \end{array} \right.\\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3 + \sqrt 2 \)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\log ({X^2} – 6X + 7) + X – 5 – \log (X – 3)\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại đáp án C và [D].
Nhấn CALC và cho x = 4(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại [B].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\dfrac{1}{3}}}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x + 2{\log _3}x – {\log _3}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x = 3 \Leftrightarrow x = 27$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _3}X + {\log _{\sqrt 3 }}X + {\log _{\dfrac{1}{3}}}X – 6\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Phương pháp tự luận]
$\ln \dfrac{{x – 1}}{{x + 8}} = \ln x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{x – 1}}{{x + 8}} = x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = – 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\ln \dfrac{{X – 1}}{{X + 8}} – \ln X\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\log _2^2x – 4{\log _2}x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 8\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\log _2^2X – 4{\log _2}X + 3\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x \ne – 2$
$pt \Leftrightarrow {\log _2}\left| {x + 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + 2} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 2\\x + 2 = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 4\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\left( {X + 2} \right)}^2}} \right) – 1\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0và ${x^2} – x – 1 > 0$
Với điều kiện đó thì ${\log _2}\dfrac{1}{x} = {\log _{\dfrac{1}{2}}}x$ . Phương trình đã cho tương đương phương trình
${\log _{\dfrac{1}{2}}}x = {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = {x^2} – x – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 – \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 $
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ${\log _2}\dfrac{1}{X} – {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{X^2} – X – 1} \right)$
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Phương pháp tự luận]
${\log _2}\left( {{{3.2}^x} – 1} \right) = 2x + 1 \Leftrightarrow {3.2^x} – 1 = {2^{2x + 1}} \Leftrightarrow {2.4^x} – {3.2^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 1\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _2}\left( {3x{2^X} – 1} \right) – 2X – 1 = 0\)
Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn = . Máy hiện X=0.
Ấn Alpha X Shift STO A
Ấn A
[C]. Viết lại phương trình: \(\dfrac{{{{\log }_2}\left( {3x{2^X} – 1} \right) – 2X – 1}}{{X – A}} = 0\)
Ấn SHIFT CAL
[C]. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1.
Ấn Alpha X Shift STO
[B].
Ấn A
[C]. Viết lại phương trình: $\dfrac{{{{\log }_2}\left( {3{\rm{x}}{2^X} – 1} \right) – 2X – 1}}{{\left( {X – A} \right)\left( {X – B} \right)}} = 0$
Ấn SHIFT CAL
[C]. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1=
Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

[Phương pháp tự luận]
$\ln \left( {{x^2} – 6x + 7} \right) = \ln \left( {x – 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 3 > 0\\{x^2} – 6x + 7 = x – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\{x^2} – 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\ln \left( {{X^2} – 6X + 7} \right) – \ln \left( {X – 3} \right) = 0\)
Ấn SHIFT CALC nhập X=4 (chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình), ấn = . Máy hiện X=5.
Ấn Alpha X Shift STO A
Ấn A
[C]. Viết lại phương trình: \(\dfrac{{\ln \left( {{X^2} – 6X + 7} \right) – \ln \left( {X – 3} \right)}}{{X – A}} = 0\)
Ấn SHIFT CAL
[C]. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =.
Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x > 2$
$\begin{array}{l} – {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow – 2{\log _3}\left( {x – 2} \right).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x – 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}\left( {x – 2} \right) = 0\\{\log _5}x = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}\left( {x – 2} \right) = 0\\{\log _5}x = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\end{array}$
So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x = 3.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính $ – {\log _{\sqrt 3 }}\left( {X – 2} \right).{\log _5}X – 2{\log _3}\left( {X – 2} \right)$
Nhấn CALC và cho $X = \dfrac{1}{5}$ (số nhỏ nhất) ta thấy sai. Vậy loại đáp án
[A].
Nhấn CALC và cho $X = 1$ ta thấy sai. Vậy loại đáp án [D].
Nhấn CALC và cho x = 2 ta thấy sai. Vậy loại đáp án [C].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$ – {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 – \log x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log x = – 1\\\log x = 2\\\log x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{10}}\\x = 100\\x = 10\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính $ – {\log ^3}X + 2{\log ^2}X – 2 + \log X$
Nhấn CALC và cho $X = 1000$ (số lớn nhất) ta thấy sai. Vậy loại đáp án
[D].
Nhấn CALC và cho $X = 100$ ta thấy đúng.

[Phương pháp tự luận]
\({\log _3}\left( {{x^2} – x – 5} \right) = {\log _3}\left( {2x + 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} + 5 > 0\\{x^2} – x – 5 = 2x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – \dfrac{5}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = – 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = – 2\end{array} \right.\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là 5 và –2.

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 4\\x \ne \dfrac{1}{{16}}\end{array} \right.$.
Đặt $t = {\log _2}x$,điều kiện$\left\{ \begin{array}{l}t \ne – 4\\t \ne 2\end{array} \right.$. Khi đó phương trình trở thành:
$\dfrac{1}{{4 + t}} + \dfrac{2}{{2 – t}} = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\\t = – 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Vậy ${x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{8}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là $\dfrac{1}{2}$và $\dfrac{1}{4}$.

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $\left[ \begin{array}{l}x < – 3\\x > 0\end{array} \right.$
\({\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 2 = 0\)
Vậy${x_1} + {x_2} = – 3.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và
[B]. Tính A + B = – 3.

${\log _2}\left( {4x} \right) – {\log _x}2 = 3 \Leftrightarrow {\log _2}4 + {\log _2}x – \dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} = 3 \Leftrightarrow \log _2^2x – {\log _2}x – 1 = 0$

${\log ^2}{x^3} – 20\log \sqrt x + 1 = 0 \Leftrightarrow 9{\log ^2}x – 10\log x + 1 = 0$

$\dfrac{{1 – {{\log }_9}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{1 – \dfrac{1}{2}{{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{2 – {{\log }_3}x}}{{2\left( {1 + {{\log }_3}x} \right)}} \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 1 – \dfrac{{2 – {{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2{{\log }_3}x – 1}}{{1 + {{\log }_3}x}} \ge 0$

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2 > 0\\x + 2 > 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x > – 2\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _5}(X – 2) + {\log _{\dfrac{1}{5}}}(X + 2) – {\log _5}X + 3\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = \dfrac{5}{2}$(thuộc đáp án B) máy tính hiển thị 1,065464369.

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 15 > 0\\{x^2} + 6{\rm{x}} + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 3\\\left[ \begin{array}{l}x > – 2\\x < – 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > – 2\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{0,5}}(5X + 15) – {\log _{0,5}}({X^2} + 6{\rm{X}} + 8)\)
Nhấn CALC và cho $X = – 3,5$ máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = – 5$(thuộc đáp án B) máy tính không tính được.
Vậy loại B, chọn
[A].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(\dfrac{{{x^2} – 1}}{x} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 1 < x < 0\\x > 1\end{array} \right.\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\ln \dfrac{{{X^2} – 1}}{X}\)
Nhấn CALC và cho x = – 0,5 (thuộc đáp án A và B) máy tính hiển thị 0,4054651081. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = 0,5$(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại B, chọn
[A].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\log _{0,2}^2 – 5{\log _{0,2}}x < – 6 \Leftrightarrow 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{125}} < x < \dfrac{1}{{25}}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\left( {\log _{0,2}^{}X} \right)^2} – 5{\log _{0,2}}X + 6\)
Nhấn CALC và cho $X = 2,5$ (thuộc đáp án B và D) máy tính hiển thị 9.170746391. Vậy loại đáp án B và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = \dfrac{1}{{200}}$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị 0,3773110048.

[Phương pháp tự luận]
${\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) + {\log _3}\left( {x – 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x – 1} \right) \ge {\log _3}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 6x + 5 > 0\\x – 1 \ge {x^2} – 6x + 5\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1 \vee x > 5\\1 \le x \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 < x \le 6$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{X^2} – 6{\rm{X}} + 5} \right) + {\log _3}\left( {X – 1} \right)\)
Nhấn CALC và cho x = 2 (thuộc đáp án A và D) máy tính không tính được. Vậy loại đáp án A và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = 7$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 0,6309297536.
Vậy loại C, chọn
[B].

[Phương pháp tự luận]
${\log _{\dfrac{2}{3}}}\left( {2{x^2} – x + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 2{x^2} – x + 1 > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{\dfrac{2}{3}}}\left( {2{X^2} – X + 1} \right)\)
Nhấn CALC và cho $X = – 5$ (thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị – 9,9277…. Vậy loại đáp án A và
[B].
Nhấn CALC và cho $X = 1$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291. Vậy chọn
[C].

[Phương pháp tự luận]
${\log _3}\dfrac{{4{\rm{x}} + 6}}{x} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4{\rm{x}} + 6}}{x} > 0\\\dfrac{{4{\rm{x}} + 6}}{x} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – \dfrac{3}{2} \vee x > 0\\ – 2 \le x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow – 2 \le x < – \dfrac{3}{2}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _3}\dfrac{{4X + 6}}{X}\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ (thuộc đáp án C và D) máy tính hiển thị 2,095903274. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = – 1$(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại B, chọn
[A].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x > 2$
${\log _{0,2}}x – {\log _5}\left( {x – 2} \right) < {\log _{0,2}}3 \Leftrightarrow {\log _{0,2}}\left[ {x\left( {x – 2} \right)} \right] < {\log _{0,2}}3 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < – 1\\x > 3\end{array} \right.$
So điều kiện suy ra $x > 3$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{0,2}}X – {\log _5}\left( {X – 2} \right) – {\log _{0,2}}3\)
Nhấn CALC và cho $X = 3$ (nhỏ nhất) máy tính hiển thị 0. Vậy loại đáp án [B].
Nhấn CALC và cho x = 4 máy tính hiển thị -0.6094234797.Vậy chọn
[D].

[Phương pháp tự luận]
${\log _3}\left( {{{4.3}^{x – 1}}} \right) > 2x – 1 \Leftrightarrow {4.3^{x – 1}} > {3^{2x – 1}} \Leftrightarrow {3^{2x}} – {4.3^x} < 0 \Leftrightarrow 0 < {3^x} < 4 \Leftrightarrow x < {\log _3}4$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ${\log _3}\left( {{{4.3}^{X – 1}}} \right) – 2X + 1$
Nhấn CALC và cho $X = 3$ (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493. Vậy loại đáp án [A].
Nhấn CALC và cho x = 2 máy tính hiển thị – 0.7381404929. Vậy loại
[B].
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính hiển thị 0.2618595071. Vậy chọn
[C].

[Phương pháp tự luận]
Biểu thức ${\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x – 1} \right) – 1} \right] = x$ xác định khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{l}3{\log _2}\left( {3x – 1} \right) – 1 > 0\\3x – 1 > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {3x – 1} \right) > \dfrac{1}{3}\\x > \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – 1 > {2^{\dfrac{1}{3}}}\\x > \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{{{2^{\dfrac{1}{3}}} + 1}}{3}\\x > \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{{{2^{\dfrac{1}{3}}} + 1}}{3}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = \dfrac{1}{3}\)(thuộc B, C, D) vào biểu thức ${\log _2}\left( {3x – 1} \right)$ được \({\log _2}(0)\) không xác định, vậy loại B, C, D, chọn đáp án [A].

[Phương pháp tự luận]
Phương trình xác định khi và chỉ khi : $\left\{ \begin{array}{l}x – \sqrt {{x^2} – 1} > 0\\x + \sqrt {{x^2} – 1} > 0\\{x^2} – 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay x = – 1(thuộc A, D) vào biểu thức ${\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$ được \({\log _2}( – 1)\) không xác định, Thay \(x = \dfrac{1}{2}\)(thuộc C) vào biểu thức $\sqrt {{x^2} – 1} $ được \(\sqrt {\dfrac{{ – 3}}{4}} \) không xác định
Vậy loại A, C, D chọn đáp án [B].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x \ge 1$
$\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = {\log _6}\left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right|\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}6.{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _3}6.{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) – {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = 0\end{array}$
Đặt $t = {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$ ta được
$\begin{array}{l}{\log _2}6.{\log _3}6.{t^2} – t = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \dfrac{1}{{{{\log }_2}6.{{\log }_3}6}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = 0\\{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = \dfrac{1}{{{{\log }_2}6.{{\log }_3}6}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = {\log _6}3{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} – 1} = 1\\x – \sqrt {{x^2} – 1} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 \in \mathbb{Z}\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} – 1} = {2^{{{\log }_6}3}}\\x – \sqrt {{x^2} – 1} = {2^{ – {{\log }_6}3}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{{2^{{{\log }_6}3}} + {2^{ – {{\log }_6}3}}}}{2} \notin \mathbb{Z}\end{array}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = 1\) vào phương trình ta được \(VT = VP\) chọn đáp án [A].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\begin{array}{l}\log _2^4x – \log _{\dfrac{1}{2}}^2\left( {\dfrac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\dfrac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ – 1}}}^2\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \log _2^4x – {\left( {3{{\log }_2}x – 3} \right)^2} + 9\left( {5 – 2{{\log }_2}x} \right) – 4\log _2^2x < 0\\ \Leftrightarrow \log _2^4x – 13\log _2^2x + 36 < 0\end{array}$

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\begin{array}{l}\log _2^4x – \log _{\dfrac{1}{2}}^2\left( {\dfrac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\dfrac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ – 1}}}^2\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \log _2^4x – {\left( {3{{\log }_2}x – 3} \right)^2} + 9\left( {5 – 2{{\log }_2}x} \right) – 4\log _2^2x < 0\\ \Leftrightarrow \log _2^4x – 13\log _2^2x + 36 < 0\\ \Leftrightarrow 4 < \log _2^2x < 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 < {\log _2}x < 3\\ – 3 < {\log _2}x < – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 < x < 8\\\dfrac{1}{8} < x < \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\end{array}$
chọn đáp án [A].
[Phương pháp trắc nghiệm]
Lần lượt thay \(x = 7;x = 8;x = 4;x = 1\)thấy \(x = 7\)đúng, chọn đáp án [A].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện $x > {\log _3}\sqrt {73} $
${\log _x}\left( {{{\log }_3}\left( {{9^x} – 72} \right)} \right) \le 1 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^x} – 72} \right) \le x \Leftrightarrow {9^x} – {3^x} – 72 \le 0 \Leftrightarrow {3^x} \le 9 \Leftrightarrow x \le 2$
Chọn đáp án [A].
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = {\log _3}\sqrt {73} \)(thuộc B, C, D) vào biểu thức ${\log _x}\left( {{{\log }_3}\left( {{9^x} – 72} \right)} \right)$ được \({\log _x}(0)\) không xác định, vậy loại B, C, D, chọn đáp án [A].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện $x < 0$hoặc $x > 1$
${\log _2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = – 1\\{x_2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} = – 2$
Vậy chọn đáp án [A].

Điều kiện: x > 0
$\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x} – 2} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right).\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {{5^x} – 1} \right)} \right] – 2 = 0\end{array}$
Vậy chọn đáp án [A].

Điều kiện : $0 < x \ne 1$
${\log _4}\left( {x + 12} \right).{\log _x}2 = 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 12} \right) = {\log _2}{x^2} \Leftrightarrow – {x^2} + x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 3\\x = 4\end{array} \right.$
Loại $x = – 3$ chọn đáp án A

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : \(x > \dfrac{1}{2}\)
$\begin{array}{l}\log _5^2(2x – 1) – 8{\log _5}\sqrt {2x – 1} + 3 = 0 \Leftrightarrow \log _5^2(2x – 1) – 4{\log _5}\left( {2x – 1} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _5}\left( {2x – 1} \right) = 1\\{\log _5}\left( {2x – 1} \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 63\end{array} \right.\end{array}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = 1\)(thuộc B, D) vào vế trái ta được \(3 = 0\) vô lý, vậy loại B, D,
Thay x = – 1vào \({\log _5}\left( {2x – 1} \right)\)ta được \({\log _5}\left( { – 3} \right)\)không xác định, nên loại A
Vậy chọn đáp án [C].

Điều kiện: \(x \in ( – \infty ; – 1) \cup (1; + \infty )\)
Sau khi đưa về cùng cơ số 4, rồi tiếp tục biến đổi về cùng cơ số 3 ta được bất phương trình
${\log _3}\dfrac{{x – 1}}{{x + 1}} – \dfrac{1}{{{{\log }_3}\dfrac{{x – 1}}{{x + 1}}}} < 0$
Chọn đáp án [A].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện \(x > \dfrac{3}{2};x \ne 2\)
${\log _{2x – 3}}\left( {3{x^2} – 7x + 3} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 7x + 3 = {\left( {2x – 3} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.$
Lần lượt thay \(x = 1;x = 2\)(thuộc B,A, D) vào vê trái ta được đẳng thức sai, vậy loại B, A,
[D]. Vậy chọn đáp án [C].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(x > 1\)
${\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) > 2 \Leftrightarrow {\log _2}x > 4 \Leftrightarrow x > 16$
Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = 16;15\)(thuộc B, C) vào phương trình ta được bất dẳng thức sai nên loại B, C
Thay \(x = 17;18\) vào phương trình ta được bất đẳng thức đúng
Vậy chọn đáp án [D].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(x > 0,x \ne {e^{ – 2}};x \ne {e^4}\)
$\dfrac{1}{{4 – \ln x}} + \dfrac{2}{{2 + \ln x}} = 1 \Leftrightarrow {\ln ^2}x – 3\ln x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 1\\\ln x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = e\\x = {e^2}\end{array} \right.$
Vậy chọn đáp án [A].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x \ne 1$
$9{x^{{{\log }_9}x}} = {x^2} \Leftrightarrow {\log _9}\left( {9{x^{{{\log }_9}x}}} \right) = {\log _9}\left( {{x^2}} \right) \Leftrightarrow 1 + \log _9^2x – 2{\log _9}x = 0 \Leftrightarrow {\log _9}x = 1 \Leftrightarrow x = 9$
Vậy chọn đáp án [A].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x \ne 1;x \ne 3$
\({\log _x}3 – {\log _{\dfrac{x}{3}}}3 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ – 1}}{{{{\log }_3}x.\left( {{{\log }_3}x – 1} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x < 0\\{\log _3}x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x > 3\end{array} \right.\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Loại B, A vì \(x \ne 1;x \ne 3\)
Loại C vì \(x = 2 \Rightarrow {\log _2}3 – {\log _{\dfrac{2}{3}}}3 > 0\)Vậy chọn đáp án [D].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x \ne 1$
Đặt \(x = {e^t}\)
${x^{\ln 7}} + {7^{\ln x}} = 98 \Leftrightarrow {e^{t.\ln 7}} + {7^{\ln {e^t}}} = 98 \Leftrightarrow {2.7^t} = 98 \Leftrightarrow t = 2$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Lần lượt thay \(x = 2;x = e;x = \sqrt e \) vào phương trình ta được đẳng thức sai, vậy loại A, B, D, vậy chọn đáp án [C].

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện 😡 > 2
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x – 1} \right) + 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)} \right] \ge 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x – 1} \right) – 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^3} – 2{x^2} – x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 – \sqrt 2 \le x \le 0\\x \ge 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)[Phương pháp trắc nghiệm]
Dựa vào điều kiện ta loại A, C,
[D]. Vậy chọn đáp án [B].

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.\).
Đặt \(t = {\log _2}x.\) Phương trình đã cho trở thành \(3{t^2} – 7t – 6 = 0\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = – \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 3\\{\log _2}x = – \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {2^3} = 9\\x = {2^{ – \dfrac{2}{3}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{4}}}\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {8;\dfrac{1}{{\sqrt[3]{4}}}} \right\} \Rightarrow x_1^3 + x_2^3 = \dfrac{{2049}}{4}$

Điều kiện: \({2^{x + 1}} – 3 > 0 \Leftrightarrow x > {\log _2}3 – 1\).
Ta có: \({\log _2}\left( {{4^x} + 4} \right) = x – {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{2^{x + 1}} – 3} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{{4^x} + 4}}{{{2^{x + 1}} – 3}} = x \Leftrightarrow \dfrac{{{4^x} + 4}}{{{2^{x + 1}} – 3}} = {2^x}{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = {2^x},t > 0.\) Ta có \(\left( 1 \right) \Rightarrow {t^2} + 4 = 2{t^2} – 3t \Leftrightarrow {t^2} – 3t – 4 = 0 \Rightarrow t = 4.\)
\( \Leftrightarrow {2^x} = {2^2} \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x – 1 > 0\\{\log _2}(2x – 1) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1.\)
Ta có: \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x – 1} \right)} \right) > 0 \Leftrightarrow {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x – 1} \right)} \right) > {\log _{\dfrac{1}{2}}}1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}(2x – 1) < 1\\{\log _2}(2x – 1) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < 2x – 1 < 2\\2x – 1 > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \dfrac{3}{2}.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right)\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 3x + 1 > 0\\2x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < – 1 \vee x > – \dfrac{1}{2}\\x > – \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > – \dfrac{1}{2}.\)
Ta có: \({\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) > {\log _2}\left( {2x + 1} \right) \Leftrightarrow {\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) > {\log _4}{\left( {2x + 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x + 1 > 4{x^2} + 4x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x < 0 \Leftrightarrow – \dfrac{1}{2} < x < 0.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { – \dfrac{1}{2};0} \right)\).

Điều kiện: \(0 < x \ne 1{\rm{ }}\left( * \right).\)
Ta có: \({\log _x}(125x).{\log _{25}}x > \dfrac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow \left( {{{\log }_x}{5^3} + {{\log }_x}x} \right).{\log _{{5^2}}}x > \dfrac{3}{2} + \log _5^2x\)
\( \Leftrightarrow \left( {3{{\log }_x}5 + 1} \right).\left( {\dfrac{1}{2}{{\log }_5}x} \right) > \dfrac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}{\log _5}x > \dfrac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow 2\log _5^2x – {\log _5}x < 0\)
\( \Leftrightarrow 0 < {\log _5}x < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {5^0} < x < {5^{\dfrac{1}{2}}} \Leftrightarrow 1 < x < \sqrt 5 .\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {1;\sqrt 5 } \right)\).

Điều kiện: x > 0
Ta có: \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \dfrac{{81}}{{24}} \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x} \right)\left( {\dfrac{1}{2}{{\log }_2}x} \right)\left( {\dfrac{1}{3}{{\log }_2}x} \right)\left( {\dfrac{1}{4}{{\log }_2}x} \right) = \dfrac{{81}}{{24}}\)
\( \Leftrightarrow \log _2^4 = 81 \Leftrightarrow {\log _2}x = \pm 3 \Leftrightarrow x = 8\) hoặc $x = \dfrac{1}{8}$. (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\dfrac{1}{8};8} \right\} \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 1\).

Điều kiện: \(x \ne – 1\)
Ta có: \({\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| = 3 \Leftrightarrow x + 1 = \pm 3 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = – 4.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { – 4;2} \right\}\).

Điều kiện: x > 0
Ta có phương trình tương đương \({2^{2{{\log }_9}x}} – {6.2^{{{\log }_9}x}} + {2^3} = 0.{\rm{ (1)}}\)
Đặt \(t = {2^{{{\log }_9}x}},t > 0\). \(\left( 1 \right) \Rightarrow {t^2} – 6t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 4\end{array} \right.\)
– Với \(t = 2 \Leftrightarrow {2^{{{\log }_9}x}} = 2 \Leftrightarrow {\log _9}x = 1 \Leftrightarrow x = 9.\)
– Với \(t = 4 \Leftrightarrow {2^{{{\log }_9}x}} = {2^2} \Leftrightarrow {\log _9}x = 2 \Leftrightarrow x = 81\).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {9;81} \right\} \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 6642\).

Điều kiện: \(x > 0{\rm{ (*)}}\). Đặt \(u = {\log _2}x \Rightarrow x = {2^u}.\)
Bất phương trình đã cho trở thành \({2^{{u^2}}} – 10{\left( {{2^u}} \right)^{ – u}} + 3 > 0 \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} – \dfrac{{10}}{{{2^{{u^2}}}}} + 3 > 0{\rm{ (1)}}\)
Đặt \(t = {2^{{u^2}}},{\rm{ }}t \ge 1.{\rm{ }}\left( 1 \right) \Rightarrow {t^2} + 3t – 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < – 5{\rm{ (l)}}\\t > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} > 2 \Leftrightarrow {u^2} > 1 \Leftrightarrow u > 1\) hoặc \(u < – 1\)
– Với \(u > 1 \Rightarrow {\log _2}x > 1 \Rightarrow x > 2\)
– Với \(u < – 1 \Rightarrow {\log _2}x < – 1 \Rightarrow x < \dfrac{1}{2}.\)
Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2hoặc \(0 < x < \dfrac{1}{2}\).

Điều kiện: \(0 < x \ne 1\)
Ta có: \({4^{{{\log }_2}2x}} – {x^{{{\log }_2}6}} = {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}} \Leftrightarrow {4^{1 + {{\log }_2}x}} – {6^{{{\log }_2}x}} = {2.3^{2 + 2{{\log }_2}x}} \Leftrightarrow {4.4^{{{\log }_2}x}} – {6^{{{\log }_2}x}} = {19.9^{{{\log }_2}x}}{\rm{ (1)}}\)
Chia 2 vế cho \({4^{{{\log }_2}x}}\).
\((1) \Leftrightarrow 18.{\left( {\dfrac{9}{4}} \right)^{{{\log }_2}x}} + {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{{{\log }_2}x}} – 4 = 0\). Đặt \(t = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{{{\log }_2}x}} > 0.{\rm{ }}PT \Rightarrow 18{t^2} + t – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{4}{9}\\t = – \dfrac{1}{2}{\rm{ (l)}}\end{array} \right.\)
\({\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{{{\log }_2}x}} = \left( {\dfrac{4}{9}} \right) = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{ – 2}} \Leftrightarrow {\log _2}x = – 2 \Leftrightarrow x = {2^{ – 2}} = \dfrac{1}{4}.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\dfrac{1}{4}} \right\}\).
VẬN DỤNG CAO

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện x > 2;m > 0
\({\log _3}x – {\log _3}\left( {x – 2} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}m\)\( \Leftrightarrow x = \left( {x – 2} \right){m^2}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} – 1}}\)
Phương trình có nghiệm x > 2khi m > 1,chọn đáp án A
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay m = 0(thuộc C, D) vào biểu thức \({\log _{\sqrt 3 }}m\) không xác định, vậy loại C, D,
Thay m = 1 (thuộc B) ta được phương trình tương đương \(x = x – 2\) vô nghiệm
Vậy chọn đáp án [A].

${\log _3}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) \ge 1{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} + 4x + m – 3 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta \le 0 \Leftrightarrow m \ge 7$
Vậy chọn
[A].

${\log _{\dfrac{1}{5}}}\left( {mx – {x^2}} \right) \le {\log _{\dfrac{1}{5}}}4 \Leftrightarrow mx – {x^2} \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} – mx + 4 \le 0$
${x^2} – mx + 4 \le 0$vô nghiệm $ \Leftrightarrow {x^2} – mx + 4 > 0{\rm{ }}\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow – 4 < m < 4$

\({\log _2}\left( {mx – {x^2}} \right) = 2 \Leftrightarrow – {x^2} + mx – 4 = 0(*)\)
Phương trình (*) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} – 16 < 0 \Leftrightarrow – 4 < m < 4\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 13 – 8m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{13}}{8}\)

BPT\( \Leftrightarrow {\log _2}({5^x} – 1).{\log _2}({2.5^x} – 2) \le m \Leftrightarrow {\log _2}({5^x} – 1).\left[ {1 + {{\log }_2}({5^x} – 1)} \right] \le m\)
Đặt $t = {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$ do\(x \ge 1\)\( \Rightarrow t \in \left[ {2; + \infty } \right)\)
BPT\( \Leftrightarrow t(1 + t) \ge m \Leftrightarrow {t^2} + t \ge m \Leftrightarrow f(t) \ge m\)
Với \(f(t) = {t^2} + t\)
\({f^,}(t) = 2t + 1 > 0\)với \(t \in \left[ {2; + \infty } \right)\)nên hàm đồng biến trên \(t \in \left[ {2; + \infty } \right)\)
Nên \(Minf(t) = f(2) = 6\)
Do đó để để bất phương trình \({\log _2}({5^x} – 1).{\log _2}({2.5^x} – 2) \ge m\) có nghiệm \(x \ge 1\)thì :
\(m \le Minf(t) \Leftrightarrow m \le 6\)

TXĐ:x > 0
PT có nghiệm khi $\Delta ‘ \ge 0 \Leftrightarrow 1 – (m – 1) \ge 0 \Leftrightarrow 2 – m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2$.

[Phương pháp tự luận]
\(x \ge 1 \Leftrightarrow {5^x} – 1 \ge 4 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right) \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 2\)

Với \(x \in \left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right]\) hay \(1 \le x \le {3^{\sqrt 3 }} \Rightarrow \sqrt {\log _3^21 + 1} \le \sqrt {\log _3^2x + 1} \le \sqrt {\log _3^2{3^{\sqrt 3 }} + 1} \) hay \(1 \le t \le 2\).

Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\)”. Ta có \(PT \Leftrightarrow 2m = {t^2} + t + 2.\)
Xét hàm số \(f(t) = {t^2} + t – 2,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {1;2} \right],{\rm{ }}f'(t) = 2t + 1 > 0,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {1;2} \right]\)
Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\).
Khi đó phương trình có nghiệm khi \(0 \le 2m \le 4 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2.\)
Vậy \(0 \le m \le 2\) là các giá trị cần tìm.

Với \(x \ge 1 \Rightarrow {5^x} \ge 5 \Rightarrow {\log _2}\left( {{5^x} – 1} \right) \ge {\log _2}\left( {5 – 1} \right) = 2\) hay \(t \ge 2\).

Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm \(t \ge 2\)”.
Xét hàm số \(f(t) = {t^2} + t,{\rm{ }}\forall t \ge 2,{\rm{ }}f'(t) = 2t + 1 > 0,{\rm{ }}\forall t \ge 2\)
Suy ra hàm số đồng biến với \(t \ge 2\).
Khi đó phương trình có nghiệm khi \(2m \ge 6 \Leftrightarrow m \ge 3.\)
Vậy \(m \ge 3\) là các giá trị cần tìm.

Điều kiện x > 0 Đặt \(t = {\log _3}x.\) Khi đó phương trình có dạng: \({t^2} – \left( {m + 2} \right)t + 3m – 1 = 0\).
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} – 4\left( {3m – 1} \right) = {m^2} – 8m + 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 4 – 2\sqrt 2 \\m > 4 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.{\rm{ }}\left( * \right)\)
Với điều kiện \(\left( * \right)\) ta có: \({t_1} + {t_2} = {\log _3}{x_1} + {\log _3}{x_2} = {\log _3}\left( {{x_1}.{x_2}} \right) = {\log _3}27 = 3.\)
Theo Vi-ét ta có: \({t_1} + {t_2} = m + 2 \Rightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Điều kiện: $x > 0.$ Khi đó phương trình tương đương: \(\sqrt {\log _2^2x – 2{{\log }_2}x – 3} = m\left( {{{\log }_2}x – 3} \right)\).
Đặt \(t = {\log _2}x\) với $x \ge 32 \Rightarrow {\log _2}x \ge {\log _2}32 = 5$ hay \(t \ge 5.\)
Phương trình có dạng \(\sqrt {{t^2} – 2t – 3} = m\left( {t – 3} \right){\rm{ }}\left( * \right)\).
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm \(t \ge 5\)”
Với \(t \ge 5\) thì \((*) \Leftrightarrow \sqrt {\left( {t – 3} \right).\left( {t + 1} \right)} = m\left( {t – 3} \right) \Leftrightarrow \sqrt {t – 3} .\left( {\sqrt {t + 1} – m\sqrt {t – 3} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {t + 1} – m\sqrt {t – 3} = 0 \Leftrightarrow m = \sqrt {\dfrac{{t + 1}}{{t – 3}}} \)
Ta có \(\dfrac{{t + 1}}{{t – 3}} = 1 + \dfrac{4}{{t – 3}}.\) Với \(t \ge 5 \Rightarrow 1 < 1 + \dfrac{4}{{t – 3}} \le 1 + \dfrac{4}{{5 – 3}} = 3\) hay \(1 < \dfrac{{t + 1}}{{t – 3}} \le 3 \Rightarrow 1 < \sqrt {\dfrac{{t + 1}}{{t – 3}}} \le \sqrt 3 \)
suy ra \(1 < m \le \sqrt 3 .\) Vậy phương trình có nghiệm với \(1 < m \le \sqrt 3 .\)

\((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 > \dfrac{{{x^2} + 4x + m}}{5}\\{x^2} + 4x + m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > – {x^2} – 4x = f(x)\\m < 4{x^2} – 4x + 5 = g(x)\end{array} \right.\)
Hệ trên thỏa mãn \(\forall x \in \left( {2;3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \mathop {Max}\limits_{2 < x < 3} f(x) = – 12{\rm{ khi }}x = 2\\m \le \mathop {Min}\limits_{2 < x < 3} f(x) = 13{\rm{ khi }}x = 2\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow – 12 \le m \le 13.\)

Bất phương trình tương đương \(7{x^2} + 7 \ge m{x^2} + 4x + m > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {7 – m} \right){x^2} – 4x + 7 – m \ge 0{\rm{ }}(2)\\m{x^2} + 4x + m > 0{\rm{ }}(3)\end{array} \right.,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
 m = 7: (2) không thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)
 m = 0: (3) không thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)
(1) thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 – m > 0\\{{\Delta ‘}_2} = 4 – {\left( {7 – m} \right)^2} \le 0\\m > 0\\{{\Delta ‘}_3} = 4 – {m^2} < 0\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}m < 7\\m \le 5\\m > 0\\m > 2\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2 < m \le 5.\)

Bất phương trình tương đương \(7\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{x^2} + 4x + m > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {5 – m} \right){x^2} – 4x + 5 – m \ge 0{\rm{ (2) }}\\m{x^2} + 4x + m > 0{\rm{ (3)}}\end{array} \right.(*),{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
 m = 0 hoặc \(m = 5\) : (*) không thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)
 \(m \ne 0\) và \(m \ne 5\): (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 – m > 0\\{{\Delta ‘}_2} = 4 – {\left( {5 – m} \right)^2} \le 0\\m > 0\\{{\Delta ‘}_3} = 4 – {m^2} < 0\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2 < m \le 3.\)