TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VỀ LOGARIT
1. Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với \(a \ne 1\). Số \(\alpha \) thỏa mãn đẳng thức \({a^\alpha } = b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \({\log _a}b\) . Ta viết: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b.\)
2. Các tính chất: Cho \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\), ta có:
- \({\log _a}a = 1,\,\,\,{\log _a}1 = 0\)
- \({a^{{{\log }_a}b}} = b,\,\,\,{\log _a}({a^\alpha }) = \alpha \)
3. Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương \(a,\,\,{b_1},\,\,{b_2}\) với \(a \ne 1\), ta có \({\log _a}({b_1}.{b_2}) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}\)
4. Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương \(a,\,\,{b_1},\,\,{b_2}\) với \(a \ne 1\), ta có
- \({\log _a}\dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} – {\log _a}{b_2}\)
- Đặc biệt : với \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\) \({\log _a}\dfrac{1}{b} = – {\log _a}b\)
5. Lôgarit của lũy thừa: Cho \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\), với mọi \(\alpha \), ta có
- \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\)
- Đặc biệt: \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\)
6. Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương \(a,\,\,b,\,\,c\) với \(a \ne 1,c \ne 1\), ta có
- \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\)
- Đặc biệt : \({\log _a}c = \dfrac{1}{{{{\log }_c}a}}\) và \({\log _{{a^\alpha }}}b = \dfrac{1}{\alpha }{\log _a}b\) với \(\alpha \ne 0\).
- Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên
- Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết : \({\log _{10}}b = \log b = \lg b\)
- Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số \(e\) . Viết : \({\log _e}b = \ln b\)
[B]. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Tính giá trị biểu thức
- Rút gọn biểu thức
- So sánh hai biểu thức
- Biểu diễn giá trị logarit qua một hay nhiều giá trị logarit khác
[C]. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH
1. Tính giá trị của một biểu thức chứa logarit
Ví dụ : Cho \(a > 0,a \ne 1\), giá trị của biểu thức \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}}\) bằng bao nhiêu ?
[A]. 16
[B]. 4
[C]. 8
[D]. 2
Ví dụ : Giá trị của biểu thức \(A = 2{\log _2}12 + 3{\log _2}5 – {\log _2}15 – {\log _2}150\) bằng:
[A]. 2
[B]. 3
[C]. 4
[D]. 5
2. Tính giá trị của biểu thức Logarit theo các biểu thức logarit đã cho
Ví dụ: Cho ${\log _2}\left( 5 \right) = a;\,{\log _3}\left( 5 \right) = b.$. Khi đó ${\log _6}5$ tính theo a và b là
[A]. $\dfrac{1}{{a + b}}$
[B]. $\dfrac{{a.b}}{{a + b}}$
[C]. a + b
[D]. ${a^2} + {b^2}$
3. Tìm các khẳng định đúng trong các biểu thức logarit đã cho.
Ví dụ: Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa điều kiện \({a^2} + {b^2} = 7ab\) .Khẳng định nào sau đây đúng:
[A]. $3\log \left( {a + b} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)$
[B]. $\log (a + b) = \dfrac{3}{2}(\log a + \log b)$
[C]. $2(\log a + {\mathop{\rm logb}\nolimits} ) = log(7{\rm{a}}b)$
[D]. $\log \dfrac{{a + b}}{3} = \dfrac{1}{2}(\log a + \log b)$
4. So sánh lôgarit với một số hoặc lôgarit với nhau
Ví dụ: Trong 4 số \({3^{{{\log }_3}4}};\,{3^{2{{\log }_3}2}};\,\,{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{{{\log }_2}5}};\,\,{\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\) số nào nhỏ hơn 1
[A]. \({3^{{{\log }_3}4}}\)
[B]. \({3^{2{{\log }_3}2}}\)
[C]. \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{{{\log }_2}5}}\)
[D]. \({\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(f(x) = {\log _2}(2x – 1)\) xác định?
[A]. \(x \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).
[B]. \(x \in \left( { – \infty ;\dfrac{1}{2}} \right)\).
[C]. \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\).
[D]. \(x \in ( – 1; + \infty )\).
Biểu thức \(f(x)\) xác định \( \Leftrightarrow 2x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\) . Ta chọn đáp án A
Câu 2. Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(f(x) = \ln (4 – {x^2})\) xác định?
[A]. \(x \in ( – 2;2)\).
[B]. \(x \in {\rm{[}} – 2;2]\).
[C]. \(x \in \mathbb{R}\backslash {\rm{[}} – 2;2]\).
[D]. \(x \in \mathbb{R}\backslash ( – 2;2)\).
Biểu thức \(f(x)\) xác định \( \Leftrightarrow 4 – {x^2} > 0 \Leftrightarrow x \in ( – 2;2)\) . Ta chọn đáp án A
Câu 3. Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(f(x) = {\log _{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{x – 1}}{{3 + x}}\) xác định?
[A]. \(x \in {\rm{[}} – 3;1]\).
[B]. \(x \in \mathbb{R}\backslash {\rm{[}} – 3;1]\).
[C]. \(x \in \mathbb{R}\backslash ( – 3;1)\).
[D]. \(x \in ( – 3;1)\).
Biểu thức \(f(x)\) xác định \( \Leftrightarrow \dfrac{{x – 1}}{{3 + x}} > 0 \Leftrightarrow x \in ( – \infty ; – 3) \cup (1; + \infty )\) . Ta chọn đáp án B
Câu 4. Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức: $f(x) = {\log _6}(2x – {x^2})$ xác định?
[A]. $0 < x < 2$.
[B]. $x > 2$.
[C]. $ – 1 < x < 1$.
[D]. $x < 3$.
Biểu thức \(f(x)\) xác định \( \Leftrightarrow 2x – {x^2} > 0 \Leftrightarrow x \in (0;2)\) . Ta chọn đáp án
[A].
Câu 5. Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức: $f(x) = {\log _5}({x^3} – {x^2} – 2x)$ xác định?
[A]. $x \in (0;1)$. B $x \in (1; + \infty )$.
[C]. $x \in ( – 1;0) \cup (2; + \infty )$.
[D]. $x \in (0;2) \cup (4; + \infty )$.
Biểu thức \(f(x)\) xác định \( \Leftrightarrow {x^3} – {x^2} – 2x > 0 \Leftrightarrow x \in ( – 1;0) \cup (2; + \infty )\). Ta chọn đáp án
[C].
Câu 6. Cho \(a > 0,a \ne 1\), giá trị của biểu thức \(A = {a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}}\) bằng bao nhiêu?
[A]. 8.
[B]. 16.
[C]. 4.
[D]. 2.
Ta có \(A = {a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} = {a^{{{\log }_{{a^{1/2}}}}4}} = {a^{2{{\log }_a}4}} = {a^{{{\log }_a}16}} = 16\) . Ta chọn đáp án B
Câu 7. Giá trị của biểu thức \(B = 2{\log _2}12 + 3{\log _2}5 – {\log _2}15 – {\log _2}150\) bằng bao nhiêu?
[A]. 5.
[B]. 2.
[C]. 4.
[D]. 3.
Ta nhập vào máy tính biểu thức \(2{\log _2}12 + 3{\log _2}5 – {\log _2}15 – {\log _2}150\), bấm =, được kết quả \(B = 3\)
Ta chọn đáp án D
Câu 8. Giá trị của biểu thức $P = 22{\log _2}12 + 3{\log _2}5 – {\log _2}15 – {\log _2}150$ bằng bao nhiêu?
[A]. 2 .
[B]. 3.
[C]. 4 .
[D]. 5.
+Tự luận
$\begin{array}{l}P = 2{\log _2}12 + 3{\log _2}5 – {\log _2}15 – {\log _2}150 = {\log _2}{12^2} + {\log _2}{5^3} – {\log _2}(15.150)\\ = lo{g_2}\dfrac{{{{12}^2}{{.5}^3}}}{{15.150}} = 3\end{array}$
Đáp án [B].
+Trắc nghiệm: Nhập biểu thức vào máy tính và nhấn calc ta thu được kết quả bằng 3.
Câu 9. Cho \(a > 0,a \ne 1\), biểu thức \(D = {\log _{{a^3}}}a\) có giá trị bằng bao nhiêu?
[A]. 3.
[B]. \(\dfrac{1}{3}\).
[C]. \( – 3\).
[D]. \( – \dfrac{1}{3}\).
Ta có \(D = {\log _{{a^3}}}a = \dfrac{1}{3}{\log _a}a = \dfrac{1}{3}\) . Ta chọn đáp án B
Câu 10. Giá trị của biểu thức \(C = \dfrac{1}{2}{\log _7}36 – {\log _7}14 – 3{\log _7}\sqrt[3]{{21}}\) bằng bao nhiêu ?
[A]. \( – 2\).
[B]. 2.
[C]. \( – \dfrac{1}{2}\).
[D]. \(\dfrac{1}{2}\).
Ta nhập vào máy tính biểu thức: \(\dfrac{1}{2}{\log _7}36 – {\log _7}14 – 3{\log _7}\sqrt[3]{{21}}\) bấm = , được kết quả \(C = – 2\). Ta chọn đáp án A
Câu 11. Cho \(a > 0,a \ne 1\), biểu thức \(E = {a^{4{{\log }_{{a^2}}}5}}\) có giá trị bằng bao nhiêu?
[A]. \(5\).
[B]. \(625\).
[C]. \(25\).
[D]. \({5^8}\).
Ta có \(E = {a^{4{{\log }_{{a^2}}}5}} = {a^{\dfrac{4}{2}{{\log }_a}5}} = {a^{{{\log }_a}25}} = 25\) . Ta chọn đáp án C
Câu 12. Trong các số sau, số nào lớn nhất?
[A]. \({\log _{\sqrt 3 }}\sqrt {\dfrac{5}{6}} \).
[B]. \({\log _3}\dfrac{5}{6}\).
[C]. \({\log _{\dfrac{1}{3}}}\dfrac{6}{5}\).
[D]. \({\log _3}\dfrac{6}{5}\).
+ Tự luận: Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh
Ta thấy \({\log _3}\dfrac{6}{5} > {\log _3}\dfrac{5}{6} = {\log _{\dfrac{1}{3}}}\dfrac{6}{5} = {\log _{\sqrt 3 }}\sqrt {\dfrac{5}{6}} \).Ta chọn đáp án D
+ Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính, lấy 1 số bất kỳ trừ đi lần lượt các số còn lại, nếu kết quả \( > 0\) thì giữ nguyên số bị trừ và thay đổi số trừ là số mới; nếu kết quả \( < 0\) thì đổi số trừ thành số bị trừ và thay số trừ là số còn lại; lặp lại đến khi có kết quả.
Câu 13. Trong các số sau, số nào nhỏ nhất ?
[A]. \({\log _5}\dfrac{1}{{12}}\).
[B]. \({\log _{\dfrac{1}{5}}}9\).
[C]. \({\log _{\dfrac{1}{5}}}17\).
[D]. \({\log _5}\dfrac{1}{{15}}\).
+ Tự luận : Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh
Ta thấy \({\log _{\dfrac{1}{5}}}17 < {\log _{\dfrac{1}{5}}}15 = {\log _5}\dfrac{1}{{15}} < {\log _{\dfrac{1}{5}}}12 = {\log _5}\dfrac{1}{{12}} < {\log _{\dfrac{1}{5}}}9\).Ta chọn đáp án
[C].
+ Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính, lấy 1 số bất kỳ trừ đi lần lượt các số còn lại, nếu kết quả \( < 0\) thì giữ nguyên số bị trừ và thay đổi số trừ là số mới; nếu kết quả \( > 0\) thì đổi số trừ thành số bị trừ và thay số trừ là số còn lại; lặp lại đến khi có kết quả.
Câu 14. Cho \(a > 0,a \ne 1\), biểu thức \(A = {(\ln a + {\log _a}e)^2} + {\ln ^2}a – \log _a^2e\) có giá trị bằng
[A]. \(2{\ln ^2}a + 2\).
[B]. \(4\ln a + 2\).
[C]. \(2{\ln ^2}a – 2\).
[D]. \({\ln ^2}a + 2\).
+Tự luận :
Ta có \(A = {\ln ^2}a + 2\ln a.{\log _a}e + \log _a^2e + {\ln ^2}a – \log _a^2e = 2{\ln ^2}a + 2\ln e = 2{\ln ^2}a + 2\). Ta chọn đáp án A
+Trắc nghiệm : Sử dung máy tính, Thay \(a = 2\) rồi lấy biểu thức đã cho trừ đi lần lượt các biểu thức có trong đáp số, nếu kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp số.
Câu 15. Cho \(a > 0,a \ne 1\), biểu thức \(B = 2\ln a + 3{\log _a}e – \dfrac{3}{{\ln a}} – \dfrac{2}{{{{\log }_a}e}}\) có giá trị bằng
[A]. \(4\ln a + 6{\log _a}4\).
[B]. \(4\ln a\).
[C]. \(3\ln a – \dfrac{3}{{{{\log }_a}e}}\).
[D]. \(6{\log _a}e\).
+Tự luận :
Ta có \(B = 2\ln a + 3{\log _a}e – 3{\log _a}e – 2\ln a = 0 = 3\ln a – \dfrac{3}{{{{\log }_a}e}}\). Ta chọn đáp án C
+Trắc nghiệm : Sử dung máy tính, Thay \(a = 2\) rồi lấy biểu thức đã cho trừ đi lần lượt các biểu thức có trong đáp số, nếu kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp số.
Câu 16. Cho \(a > 0,b > 0\), nếu viết ${\log _3}{\left( {\sqrt[5]{{{a^3}b}}} \right)^{\dfrac{2}{3}}} = \dfrac{x}{5}{\log _3}a + \dfrac{y}{{15}}{\log _3}b$ thì \(x + y\) bằng bao nhiêu?
[A]. 3.
[B]. 5.
[C]. 2.
[D]. 4.
Ta có: ${\log _3}{\left( {\sqrt[5]{{{a^3}b}}} \right)^{\dfrac{2}{3}}} = {\log _3}{({a^3}b)^{\dfrac{2}{{15}}}} = \dfrac{2}{5}{\log _3}a + \dfrac{2}{{15}}{\log _3}b \Rightarrow x + y = 4$. Ta chọn đáp án D
Câu 17. Cho \(a > 0,b > 0\), nếu viết \({\log _5}{\left( {\dfrac{{{a^{10}}}}{{\sqrt[6]{{{b^5}}}}}} \right)^{ – 0,2}} = x{\log _5}a + y{\log _5}b\) thì \(xy\) bằng bao nhiêu ?
[A]. \(3\).
[B]. \(\dfrac{1}{3}\).
[C]. \( – \dfrac{1}{3}\).
[D]. \( – 3\).
Ta có : \({\log _5}{\left( {\dfrac{{{a^{10}}}}{{\sqrt[6]{{{b^5}}}}}} \right)^{ – 0,2}} = {\log _5}({a^{ – 2}}.{b^{\dfrac{1}{6}}}) = – 2{\log _5}a + \dfrac{1}{6}{\log _5}b \Rightarrow x.y = – \dfrac{1}{3}\). Ta chọn đáp án C
Câu 18. Cho \({\log _3}x = 3{\log _3}2 + {\log _9}25 – {\log _{\sqrt 3 }}3\). Khi đó giá trị của \(x\)là :
[A]. \(\dfrac{{200}}{3}\).
[B]. \(\dfrac{{40}}{9}\).
[C]. \(\dfrac{{20}}{3}\).
[D]. $\dfrac{{25}}{9}$.
Ta có: ${\log _3}x = {\log _3}8 + {\log _3}5 – {\log _3}9 = {\log _3}\dfrac{{40}}{9} \Rightarrow x = \dfrac{{40}}{9}$. Ta chọn đáp án B
Câu 19. Cho \({\log _7}\dfrac{1}{x} = 2{\log _7}a – 6{\log _{49}}b\). Khi đó giá trị của \(x\) là :
[A]. \(2a – 6b\).
[B]. $x = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^3}}}$.
[C]. $x = {a^2}{b^3}$.
[D]. $x = \dfrac{{{b^3}}}{{{a^2}}}$.
Ta có: \({\log _7}\dfrac{1}{x} = 2{\log _7}a – 6{\log _{49}}b = {\log _7}{a^2} – {\log _7}{b^3} = {\log _7}\dfrac{{{a^2}}}{{{b^3}}} \Rightarrow x = \dfrac{{{b^3}}}{{{a^2}}}\). Ta chọn đáp án D
Câu 20. Cho $a,b,c > 0;a \ne 1$ và số $\alpha \in \mathbb{R}$, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
[A]. \({\log _a}{a^c} = c\).
[B]. \({\log _a}a = 1\).
[C]. \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\).
[D]. \({\log _a}(b – c) = {\log _a}b – {\log _a}c\).
Câu D sai, vì không có tính chất về logarit của một hiệu
Câu 21. Cho $a,b,c > 0;a \ne 1$, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
[A]. \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\).
[B]. \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c\).
[C]. \({\log _{{a^c}}}b = c{\log _a}b\).
[D]. \({\log _a}(b.c) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
câu C sai, vì ${\log _{{a^c}}}b = \dfrac{1}{c}{\log _a}b$
Câu 22. Cho $a,b,c > 0$và $a,b \ne 1$, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
[A]. \({a^{{{\log }_a}b}} = b\).
[B]. \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c\).
[C]. \({\log _b}c = \dfrac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\).
[D]. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\).
câu D sai, vì khẳng định đó chỉ đúng khi \(a > 1\), còn khi \(0 < a < 1 \Rightarrow {\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\)
Câu 23. Cho $a,b,c > 0$ và $a > 1$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
[A]. \({\log _a}b < {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\).
[B]. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\).
[C]. \({\log _a}b > c \Leftrightarrow b > c\).
[D]. \({a^b} > {a^c} \Leftrightarrow b > c\).
câu C sai, vì \({\log _a}b > c \Leftrightarrow b > {a^c}\)
Câu 24. Cho $a,b,c > 0$ và $a < 1$.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
[A]. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\).
[D]. \({a^{\sqrt 2 }} < {a^{\sqrt 3 }}\).
[C]. \({\log _a}b < {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\).
[D]. \({\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b < 1\).
câu D sai, vì \(\sqrt 2 < \sqrt 3 \Rightarrow {a^{\sqrt 2 }} > {a^{\sqrt 3 }}\,\,(do\,\,0 < a < 1)\)
Câu 25. Số thực a thỏa điều kiện ${\log _3}({\log _2}a) = 0$ là:
[A]. $\dfrac{1}{3}$.
[B]. 3.
[C]. $\dfrac{1}{2}$.
[D]. 2.
Ta có ${\log _3}({\log _2}a) = 0 \Rightarrow {\log _2}a = 1 \Rightarrow a = 2$. Ta chọn đáp án D
Câu 26. Biết các logarit sau đều có nghĩa. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
[A]. \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c\).
[B]. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\)
[C]. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\).
[D]. \({\log _a}b + {\log _a}c < 0 \Leftrightarrow b + c < 0\).
Đáp án A đúng với mọi \(a,b,c\)khi các logarit có nghĩa
Câu 27. Cho $a,b,c > 0$ và $a \ne 1$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
[A]. \({\log _a}(bc) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
[B]. \({\log _a}(\dfrac{b}{c}) = {\log _a}b – {\log _a}c\).
[C]. \({\log _a}b = c \Leftrightarrow b = {a^c}\).
[D]. \({\log _a}(b + c) = {\log _a}b + {\log _a}c\).
Đáp án D sai, vì không có logarit của 1 tổng.
Câu 28. Số thực \(x\) thỏa mãn điều kiện ${\log _2}x + {\log _4}x + {\log _8}x = 11$ là :.
[A]. 64.
[B]. ${2^{\dfrac{{11}}{6}}}$.
[C]. 8.
[D]. 4.
Sử dụng máy tính và dùng phím CALC : nhập biểu thức ${\log _2}X + {\log _4}X + {\log _8}X – 1$ vào máy và gán lần lượt các giá trị của x để chọn đáp án đúng. Với \(x = 64\) thì kquả bằng 0. Ta chọn D là đáp án đúng.
Câu 29. Số thực \(x\) thỏa mãn điều kiện ${\log _x}2\sqrt[3]{2} = 4$ là
[A]. $\sqrt[3]{2}$.
[B]. $\dfrac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$
[C]. 4.
[D]. 2.
Sử dụng máy tính và dùng phím CALC : nhập biểu thức ${\log _x}2\sqrt[3]{2} – 4$ vào máy và gán lần lượt các giá trị của x để chọn đáp án đúng. Với .. thì kquả bằng 0. Ta chọn A là đáp án đúng.
Câu 30. Cho \(a,b > 0\) và $a,b \ne 1$. Biểu thức $P = {\log _{\sqrt a }}{b^2} + \dfrac{2}{{{{\log }_{\dfrac{a}{{{b^2}}}}}a}}$ có giá trị bằng bao nhiêu?
[A]. 6.
[B]. 3.
[C]. 4.
[D]. 2.
+Tự luận : Ta có $P = {\log _{\sqrt a }}{b^2} + \dfrac{2}{{{{\log }_{\dfrac{a}{{{b^2}}}}}a}} = 4{\log _a}b + 2{\log _a}\dfrac{a}{{{b^2}}} = 2$. Ta chọn đáp án
[A].
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, thay \(a = b = 2\), rồi nhập biểu thức ${\log _{\sqrt a }}{b^2} + \dfrac{2}{{{{\log }_{\dfrac{a}{{{b^2}}}}}a}}$ vào máy bấm =, được kết quả \(P = 2\). Ta chọn đáp án
[D].
Câu 31. Cho \(a,b > 0\)và $a,b \ne 1$, biểu thức $P = {\log _{\sqrt a }}{b^3}.{\log _b}{a^4}$ có giá trị bằng bao nhiêu?
[A]. 6.
[B]. 24.
[C]. 12.
[D]. 18.
+ Tự luận : Ta có $P = {\log _{\sqrt a }}{b^3}.{\log _b}{a^4} = 2.3.4 = 24$. Ta chọn đáp án
[A].
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính Casio, Thay \(a = b = 2\), rồi nhập biểu thức ${\log _{\sqrt a }}{b^3}.{\log _b}{a^4}$ vào máy bấm =, được kết quả \(P = 24\). Ta chọn đáp án
[B].
Câu 32. Giá trị của biểu thức ${4^{3{{\log }_8}3 + 2{{\log }_{16}}5}}$ là:
[A]. 20.
[B]. 40.
[C]. 45.
[D]. 25 .
+ Tự luận : ${4^{3{{\log }_8}3 + 2{{\log }_{16}}5}} = {\left( {{2^{{{\log }_2}3}}{{.2}^{{{\log }_2}\sqrt 5 }}} \right)^2} = 45$
+ Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, rồi nhập biểu thức ${4^{3{{\log }_8}3 + 2{{\log }_{16}}5}}$vào máy, bấm =, được kết quả bằng 45. Ta chọn đáp án C
Câu 33. Giá trị của biểu thức $P = {\log _a}\left( {{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}} \right)$ là
[A]. $\dfrac{{53}}{{30}}$.
[B]. $\dfrac{{37}}{{10}}$.
[C]. 20.
[D]. $\dfrac{1}{{15}}$.
+Tự luận : ${\log _a}\left( {{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}} \right) = {\log _a}{a^{\dfrac{{37}}{{10}}}} = \dfrac{{37}}{{10}}$
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, Thay \(a = 2\), rồi nhập biểu thức ${\log _a}\left( {{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}} \right)$ vào máy bấm =, được kết quả \(P = \dfrac{{37}}{{10}}\). Ta chọn đáp án
[B].
Câu 34. Giá trị của biểu thức $A = {\log _3}2.{\log _4}3.{\log _5}4…{\log _{16}}15$ là:
[A]. $\dfrac{1}{2}$.
[B]. $\dfrac{3}{4}$.
[C]. $1$.
[D]. $\dfrac{1}{4}$.
+Tự luận : $A = {\log _{16}}15.{\log _{15}}14…{\log _5}4.{\log _4}3.{\log _3}2 = {\log _{16}}2 = \dfrac{1}{4}$
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính Casio, rồi nhập biểu thức ${\log _3}2.{\log _4}3.{\log _5}4…{\log _{16}}15$ vào máy bấm =, được kết quả \(A = \dfrac{1}{4}\). Ta chọn đáp án
[D].
Câu 35. Giá trị của biểu thức ${\log _{\dfrac{1}{a}}}\left( {\dfrac{{{a^3}\sqrt[3]{{{a^2}}}\sqrt[5]{{{a^3}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}} \right)$ là:.
[A]. $\dfrac{1}{5}$.
[B]. $\dfrac{3}{4}$.
[C]. $ – \dfrac{{211}}{{60}}$.
[D]. $\dfrac{{91}}{{60}}$.
+Tự luận : ${\log _{\dfrac{1}{a}}}\left( {\dfrac{{{a^3}\sqrt[3]{{{a^2}}}\sqrt[5]{{{a^3}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}} \right) = – {\log _a}{a^{\dfrac{{91}}{{60}}}} = – \dfrac{{91}}{{60}}$
+Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, Thay \(a = 2\), rồi nhập biểu thức ${\log _{\dfrac{1}{a}}}\left( {\dfrac{{{a^3}\sqrt[3]{{{a^2}}}\sqrt[5]{{{a^3}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}} \right)$ vào máy bấm =, được kết quả $ – \dfrac{{211}}{{60}}$. Ta chọn đáp án
[C].
Câu 36. Trong 2 số ${\log _3}2$ và ${\log _2}3$, số nào lớn hơn 1?.
[A]. ${\log _2}3$.
[B]. ${\log _3}2$.
[C]. Cả hai số .
[D]. Đáp án khác.
Ta có: ${\log _3}2 < {\log _3}3 = 1,{\rm{ }}{\log _2}3 > {\log _2}2 = 1$
Câu 37. Cho 2 số ${\log _{1999}}2000$ và ${\log _{2000}}2001$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
[A]. ${\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$.
[B]. Hai số trên nhỏ hơn 1.
[C]. Hai số trên lớn hơn 2.
[D]. ${\log _{1999}}2000 \ge {\log _{2000}}2001$.
${2000^2} > 1999.2001 \Rightarrow {\log _{2000}}{2000^2} > {\log _{2000}}2001.1999$
$ \Rightarrow 2 > {\log _{2000}}2001 + {\log _{2000}}1999 \Rightarrow {\log _{1999}}2000 > {\log _{2000}}2001$
Câu 38. Các số ${\log _3}2$ , ${\log _2}3$, ${\log _3}11$ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:
[A]. ${\log _3}2,{\rm{ }}{\log _3}11,{\rm{ }}{\log _2}3$.
[B]. ${\log _3}2,{\rm{ }}{\log _2}3,{\rm{ }}{\log _3}11$.
[C]. ${\log _2}3,{\rm{ }}{\log _3}2,{\rm{ }}{\log _3}11$.
[D]. ${\rm{ }}{\log _3}11,{\rm{ }}{\log _3}2,{\rm{ }}{\log _2}3$.
Ta có ${\log _3}2 < {\log _3}{\rm{3 = 1 = lo}}{{\rm{g}}_2}{\rm{2 < }}{\log _2}3 < {\log _3}11$
Câu 39. Số thực \(x\) thỏa mãn điều kiện ${\log _3}\left( {x + 2} \right) = 3$ là:
[A]. $5$.
[B]. $ – 25$.
[C]. $25$.
[D]. $ – 3$.
${\log _3}\left( {x + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow x + 2 = {3^3} \Leftrightarrow x = 25$
Câu 40. Số thực \(x\) thỏa mãn điều kiện ${\log _3}x + {\log _9}x = \dfrac{3}{2}$ là :
[A]. $ – 3$.
[B]. $25$.
[C]. $3$.
[D]. $9$.
${\log _3}x + {\log _9}x = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow {\log _3}x + \dfrac{1}{2}{\log _3}x = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x = 3$
Câu 41. Cho ${\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$. Giá trị của \(x\) tính theo \(a,b\) là:
[A]. $ab$.
[B]. ${a^4}b$.
[C]. ${a^4}{b^7}$.
[D]. ${b^7}$.
Ta có \(4{\log _3}a + 7{\log _3}b = {\log _3}({a^4}{b^7}) \Rightarrow x = {a^4}{b^7}\). Ta chọn đáp án
[C].
Câu 42. Cho ${\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 1 + {\log _2}xy{\rm{ }}\left( {xy > 0} \right)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
[A]. x > y.
[B]. x = y.
[C]. x [D]. $x = {y^2}$.
Ta có: ${\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 1 + {\log _2}xy \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\log _2}2xy \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2{\rm{x}}y \Leftrightarrow x = y$
Câu 43. Cho ${\log _{\dfrac{1}{4}}}\left( {y – x} \right) – {\log _4}\dfrac{1}{y}{\rm{ = 1 }}\left( {y > 0,y > x} \right)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
[A]. 3x = 4y.
[B]. $x = – \dfrac{3}{4}y$.
[C]. $x = \dfrac{3}{4}y$.
[D]. 3x = – 4y.
${\log _{\dfrac{1}{4}}}\left( {y – x} \right) – {\log _4}\dfrac{1}{y}{\rm{ = 1}} \Leftrightarrow {\log _4}\dfrac{y}{{y – x}} = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}y$
Câu 44. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
[A]. ${\log _a}{x^2} = 2{\log _a}x{\rm{ }}\left( {{x^2} > 0} \right)$.
[B]. ${\log _a}xy = {\log _a}\left| x \right| + {\log _a}\left| y \right|{\rm{ }}$.
[C]. ${\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y{\rm{ }}\left( {xy > 0} \right)$.
[D]. ${\log _a}xy = {\log _a}\left| x \right| + {\log _a}\left| y \right|{\rm{ }}\left( {xy > 0} \right)$.
Do $\left| x \right|,{\rm{ }}\left| y \right| > 0 \Rightarrow {\log _a}xy = {\log _a}\left| x \right| + {\log _a}\left| y \right|{\rm{ }}$, ta chọn đáp án
[D].
Câu 45. Cho \(x,\,y > 0\) và ${x^2} + 4{y^2} = 12xy$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
[A]. ${\log _2}\left( {\dfrac{{x + 2y}}{4}} \right) = {\log _2}x – {\log _2}y$.
[B]. \({\log _2}(x + 2y) = 2 + \dfrac{1}{2}({\log _2}x + {\log _2}y)\).
[C]. \({\log _2}(x + 2y) = {\log _2}x + {\log _2}y + 1\).
[D]. \(4{\log _2}(x + 2y) = {\log _2}x + {\log _2}y\).
Ta có : Chọn B là đáp án đúng, vì
$\begin{array}{l}{x^2} + 4{y^2} = 12xy \Leftrightarrow {(x + 2y)^2} = 16{\rm{x}}y \Leftrightarrow {\log _2}{(x + 2y)^2} = {\log _2}16{\rm{x}}y\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}(x + 2y) = 4 + {\log _2}x + {\log _2}y \Leftrightarrow {\log _2}(x + 2y) = 2 + \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)\end{array}$
Câu 46. Cho \(a,b > 0\) và ${a^2} + {b^2} = 7ab$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
[A]. \(2\log (a + b) = \log a + \log b\).
[B]. \(4\log \left( {\dfrac{{a + b}}{6}} \right) = \log a + \log b\).
[C]. \(\log \left( {\dfrac{{a + b}}{3}} \right) = \dfrac{1}{2}(\log a + \log b)\).
[D]. \(\log \left( {\dfrac{{a + b}}{3}} \right) = 3(\log a + \log b)\).
Ta có: Chọn C là đáp án đúng, vì
$\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {(a + b)^2} = 9ab \Leftrightarrow \log {(a + b)^2} = \log 9ab\\ \Leftrightarrow 2\log (a + b) = \log 9 + \log a + \log b \Leftrightarrow \log \dfrac{{a + b}}{3} = \dfrac{1}{2}(\log a + \log b)\end{array}$
Câu 47. Cho \({\log _2}6 = a\). Khi đó giá trị của \({\log _3}18\) được tính theo a là:
[A]. a.
[B]. \(\dfrac{a}{{a + 1}}\).
[C]. 2a + 3.
[D]. \(\dfrac{{2a – 1}}{{a – 1}}\).
+Tự luận : Ta có : \(a = {\log _2}6 = {\log _2}(2.3) = 1 + {\log _2}3 \Rightarrow {\log _3}2 = \dfrac{1}{{a – 1}}\)
Suy ra \({\log _3}18 = {\log _3}({2.3^2}) = {\log _3}2 + 2 = \dfrac{1}{{a – 1}} + 2 = \dfrac{{2a – 1}}{{a – 1}}\). Ta chọn đáp án
[A].
+Trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: Gán \({\log _2}6\) cho A
Lấy \({\log _3}18\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
[D]. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D
Câu 48. Cho \({\log _2}5 = a\). Khi đó giá trị của \({\log _4}1250\) được tính theo a là :
[A]. \(\dfrac{{1 – 4a}}{2}\) .
[B]. 2(1 + 4a).
[C]. 1 + 4a.
[D]. \(\dfrac{{1 + 4a}}{2}\).
+Tự luận : Ta có : \({\log _4}1250 = {\log _{{2^2}}}({2.5^4}) = \dfrac{1}{2}{\log _2}({2.5^4}) = \dfrac{1}{2} + 2{\log _2}5 = \dfrac{{1 + 4a}}{2}\). Ta chọn đáp án
[A].
+Trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: Gán \({\log _2}5\) cho A
Lấy \({\log _4}1250\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
[D]. Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D
Câu 49. Biết ${\log _7}2 = m$, khi đó giá trị của ${\log _{49}}28$ được tính theo \(m\) là:
[A]. $\dfrac{{m + 2}}{4}$.
[B]. $\dfrac{{1 + m}}{2}$.
[C]. $\dfrac{{1 + 4m}}{2}$.
[D]. $\dfrac{{1 + 2m}}{2}$.
Sử dụng máy tính: gán \({\log _7}2\) cho A
Lấy \({\log _{49}}28\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
[D]. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D
Câu 50. Biết$a = {\log _2}5,\,b = {\log _5}3$; khi đó giá trị của ${\log _{10}}15$được tính theo a là:
[A]. $\dfrac{{a + b}}{{a + 1}}$.
[B]. $\dfrac{{ab + 1}}{{a + 1}}$.
[C]. $\dfrac{{ab – 1}}{{a + 1}}$.
[D]. $\dfrac{{a(b + 1)}}{{a + 1}}$.
Sử dụng máy tính: gán lần lượt \({\log _2}5;{\rm{ }}{\log _5}3\) cho A, B
Lấy \({\log _{10}}15\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
[D]. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D
Câu 51. Cho \(a = {\log _3}15;b = {\log _3}10\). Khi đó giá trị của \({\log _{\sqrt 3 }}50\) được tính theo \(a,b\) là :
[A]. 2(a – b – 1).
[B]. 2(a + b – 1).
[C]. 2(a + b + 1).
[D]. 2(a – b + 1).
+Tự luận : Ta có : \(a = {\log _3}15 = {\log _3}(3.5) = 1 + {\log _3}5 \Rightarrow {\log _3}5 = a – 1\).
Khi đó : \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 2{\log _3}(5.10) = 2({\log _3}5 + {\log _3}10) = 2(a – 1 + b)\) Ta chọn đáp án
[B].
+Trắc nghiệm
Sử dụng máy tính: gán lần lượt \({\log _3}15;{\log _3}10\) cho A,
[B].
Lấy \({\log _{\sqrt 3 }}50\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
[D]. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án B
Câu 52. Biết ${\log _5}3 = a$, khi đó giá trị của ${\log _{15}}75$được tính theo a là:
[A]. $\dfrac{{2 + a}}{{1 + a}}$.
[B]. $\dfrac{{1 + 2a}}{{a + 1}}$.
[C]. $\dfrac{{1 + a}}{{2 + a}}$.
[D]. $2$.
Sử dụng máy tính: Gán \({\log _5}3\) cho A
Lấy \({\log _{15}}75\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
[D]. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án A
Câu 53. Biết ${\log _4}7 = a$, khi đó giá trị của ${\log _2}7$ được tính theo a là:
[A]. $2a$.
[B]. $\dfrac{1}{2}a$.
[C]. $\dfrac{1}{4}a$.
[D]. $4a$.
Ta có:${\log _2}7 = 2.\dfrac{1}{2}{\log _2}7 = 2{\log _4}7 = 2a$. Ta chọn đáp án A
Câu 54. Biết ${\log _5}3 = a$, khi đó giá trị của ${\log _3}\dfrac{{27}}{{25}}$ được tính theo a là:
[A]. $\dfrac{3}{{2a}}$.
[B]. $\dfrac{{3a}}{2}$.
[C]. $\dfrac{{3a – 2}}{a}$.
[D]. $\dfrac{a}{{3a – 2}}$.
Ta có: ${\log _3}\dfrac{{27}}{{25}} = {\log _3}27 – {\log _3}25 = 3 – 2{\log _3}5 = 3 – \dfrac{2}{a} = \dfrac{{3{\rm{a}} – 2}}{a}$. Ta chọn đáp án
[C].
Câu 55. Biết $a = {\log _2}5,b = {\log _5}3$. Khi đó giá trị của ${\log _{24}}15$ được tính theo a là :
[A]. $\dfrac{{ab + 1}}{b}$.
[B]. $\dfrac{{ab + 1}}{{a + 1}}$.
[C]. $\dfrac{{b + 1}}{{a + 1}}$.
[D]. $\dfrac{{a(b + 1)}}{{3 + ab}}$.
Sử dụng máy tính: Gán lần lượt ${\log _2}5;{\log _5}3$ cho A, B
Lấy \({\log _{24}}15\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
[D]. Kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án
[D].
Câu 56. Cho ${\log _{12}}27 = a$. Khi đó giá trị của ${\log _6}16$ được tính theo a là:
[A]. $\dfrac{{4\left( {3 + a} \right)}}{{3 – a}}$.
[B]. $\dfrac{{4\left( {3 – a} \right)}}{{3 + a}}$.
[C]. $\dfrac{{4a}}{{3 – a}}$.
[D]. $\dfrac{{2a}}{{3 + a}}$.
Ta có: $a = {\log _{12}}27 = \dfrac{{{{\log }_2}27}}{{{{\log }_2}12}} = \dfrac{{3{{\log }_2}3}}{{2 + {{\log }_2}3}} \Rightarrow {\log _2}3 = \dfrac{{2{\rm{a}}}}{{3 – a}} \Rightarrow {\log _6}16 = \dfrac{{4\left( {3 – a} \right)}}{{3 + a}}$
Câu 57. Cho $\lg 3 = a,{\rm{ }}\lg 2 = b$. Khi đó giá trị của ${\log _{125}}30$ được tính theo a là:
[A]. $\dfrac{{1 + a}}{{3\left( {1 – b} \right)}}$.
[B]. $\dfrac{{4\left( {3 – a} \right)}}{{3 – b}}$.
[C]. $\dfrac{a}{{3 + b}}$.
[D]. $\dfrac{a}{{3 + a}}$.
Ta có: ${\log _{125}}30 = \dfrac{{\lg 30}}{{\lg 125}} = \dfrac{{1 + \lg 3}}{{3\left( {1 – \lg 2} \right)}} = \dfrac{{1 + a}}{{3\left( {1 – b} \right)}}$
Câu 58. Cho ${\log _a}b = \sqrt 3 $ . Giá trị của biểu thức $A = {\log _{\dfrac{{\sqrt b }}{a}}}\dfrac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt a }}$ được tính theo a là:
[A]. $ – \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$.
[B]. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$.
[C]. $\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$
[D]. $ – \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$.
Ta có : ${\log _a}b = \sqrt 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt b }}{a} = {a^{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} – 1}} = {a^\alpha } \Rightarrow \dfrac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt a }} = {a^{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\alpha }} \Rightarrow A = – \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$
Câu 59. Cho ${\log _{27}}5 = a,{\rm{ lo}}{{\rm{g}}_8}7 = b,{\rm{ lo}}{{\rm{g}}_2}3 = c$. Giá trị của ${\log _6}35$ được tính theo \(a,b,c\) là:
[A]. $\dfrac{{ac}}{{1 – c}}$.
[B]. $\dfrac{{ac}}{{1 + b}}$.
[C]. $\dfrac{{3\left( {{\rm{a}}c + b} \right)}}{{1 + c}}$.
[D]. $\dfrac{{3ac + 3b}}{{3 + a}}$.
Ta có ${\log _{27}}5 = a \Rightarrow {\rm{ }}{\log _3}5 = 3a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b \Rightarrow {\log _3}7 = \dfrac{{3b}}{c} \Rightarrow {\log _2}5 = 3ac$
$ \Rightarrow {\log _6}35 = \dfrac{{3\left( {{\rm{a}}c + b} \right)}}{{1 + c}}$
Câu 60. Cho $x = 2000!$. Giá trị của biểu thức $A = \dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + … + \dfrac{1}{{{{\log }_{2000}}x}}$ là:
[A]. $1$.
[B]. $ – 1$.
[C]. $\dfrac{1}{5}$.
[D]. $2000$.
Ta có: $A = {\log _x}2 + {\log _x}3 + … + {\log _x}2000 = {\log _x}\left( {1.2.3…2000} \right) = {\log _x}x = 1$
Câu 61. Biết$a = {\log _7}12,b = {\log _{12}}24$. Khi đó giá trị của ${\log _{54}}168$ được tính theo a là:
[D]. $\dfrac{{a(8 – 5b)}}{{1 + ab – a}}$.
[B]. $\dfrac{{ab + 1 – a}}{{a(8 – 5b)}}$.
[C]. $\dfrac{{a(8 – 5b)}}{{1 + ab}}$.
[A]. $\dfrac{{ab + 1}}{{a(8 – 5b)}}$.
Sử dụng máy tính: Gán lần lượt ${\log _7}12;{\log _{12}}24$ cho A, B
Lấy \({\log _{54}}168\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
[D]. kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D
Câu 62. Biết ${\log _a}b = 2,{\log _a}c = – 3$. Khi đó giá trị của bieeur thức ${\log _a}\dfrac{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{b^3}}}{{{c^4}}}$ bằng:
[A]. 20.
[B]. -2/3.
[C]. – 1.
[D]. 1,5.
Ta có ${\log _a}\dfrac{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{b^3}}}{{{c^4}}} = {\log _a}{a^2} + {\log _a}{b^3} – {\log _a}{c^4} = 2 + 3.2 – 4.( – 3) = 20$. Ta chọn đáp án
[A].
Câu 63. Biết ${\log _a}b = 3,{\log _a}c = – 4$. Khi đó giá trị của biểu thức ${\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{b}{c^2}} \right)$ bằng:
[A]. $ – \dfrac{{16\sqrt 3 }}{3}$.
[B]. – 5.
[C]. – 16.
[D]. – 48.
Ta có ${\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{b}{c^2}} \right) = 2{\log _a}a + \dfrac{1}{3}{\log _a}b + 2{\log _a}c = 2 + \dfrac{1}{3}.3 + 2.( – 4) = – 5$. Ta chọn đáp án
[B].
Câu 64. Rút gọn biểu thức $A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}$, ta được kết quả là:
[A]. $\dfrac{{37}}{{10}}$.
[B]. $\dfrac{{35}}{{10}}$.
[C]. $\dfrac{3}{{10}}$.
[D]. $\dfrac{1}{{10}}$.
Thay a = c, rồi sử dụng máy tính sẽ được kết quả A = 37/10. Ta chọn đáp án
[A].
Câu 65. Rút gọn biểu thức $B = {\log _{\dfrac{1}{a}}}\dfrac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}$, ta được kết quả là :
[A]. $ – \dfrac{{91}}{{60}}$.
[B]. $\dfrac{{60}}{{91}}$.
[C]. $\dfrac{{16}}{5}$.
[D]. $ – \dfrac{5}{{16}}$.
Thay \(a = e\), rồi sử dụng máy tínhsẽ được kết quả \(B = – \dfrac{{91}}{{60}}\). Ta chọn đáp án A
Câu 66. Biết$a = {\log _2}5,b = {\log _3}5$. Khi đó giá trị của ${\log _6}5$ được tính theo \(a,b\) là :
[A]. $\dfrac{{ab}}{{a + b}}$.
[B]. $\dfrac{1}{{a + b}}$.
[C]. $a + b$.
[D]. ${a^2} + {b^2}$.
Ta có: ${\log _6}5 = \dfrac{1}{{{{\log }_5}6}} = \dfrac{1}{{{{\log }_5}(2.3)}} = \dfrac{1}{{{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}} = \dfrac{{{{\log }_2}5.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}5 + {{\log }_3}5}} = \dfrac{{ab}}{{a + b}}$
Câu 67. Cho \(a = {\log _2}3;b = {\log _3}5;c = {\log _7}2\). Khi đó giá trị của biểu thức \({\log _{140}}63\) được tính theo \(a,b,c\) là:
[A]. \(\dfrac{{2ac – 1}}{{abc + 2c + 1}}\).
[B]. \(\dfrac{{abc + 2c + 1}}{{2ac + 1}}\).
[C]. \(\dfrac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}\).
[D]. \(\dfrac{{ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}\).
Sử dụng máy tính: gán lần lượt \({\log _2}3;{\log _3}5;{\log _7}2\) cho A, B, C
Lấy \({\log _{140}}63\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
[D]. kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án C
Câu 68. Cho \(a = {\log _5}2;b = {\log _5}3\). Khi đó giá trị của \({\log _5}72\) được tính theo \(a,b\) là :
[A]. 3a + 2b.
[B]. \({a^3} + {b^2}\).
[C]. 3a – 2b.
[D]. 6ab.
Sử dụng máy tính: gán lần lượt \({\log _5}2;{\log _5}3\) cho A, B
Lấy \({\log _5}72\) trừ đi lần lượt các đáp số ở A, B, C,
[D]. kết quả nào bẳng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án A
Câu 69. Biết$a = {\log _{12}}18,b = {\log _{24}}54$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
[A]. $ab + 5(a – b) = – 1$.
[B]. $5ab + a + b = 1$.
[C]. $ab + 5(a – b) = 1$.
[D]. $5ab + a – b = 0$.
Sử dụng máy tính Casio, gán lần lượt ${\log _{12}}18;{\log _{24}}54$ cho A và
[B].
Với đáp án C nhập vào máy : \(AB + 5(A – B) – 1\), ta được kết quả bằng \(0\). Vậy C là đáp án đúng
Câu 70. Biết ${\log _3}\left( {{{\log }_4}\left( {{{\log }_2}y} \right)} \right) = 0$, khi đó giá trị của biểu thức \(A = 2y + 1\) là:
[A]. 33.
[B]. 17.
[C]. 65.
[D]. 133.
Vì ${\log _3}\left( {{{\log }_4}\left( {{{\log }_2}y} \right)} \right) = 0$ nên ${\log _4}({\log _2}y) = 1 \Rightarrow {\log _2}y = 4 \Rightarrow y = {2^4} \Rightarrow 2y + 1 = 33$.
Đáp án [A].
Câu 71. Cho ${\log _5}x > 0$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
[A]. ${\log _x}5 \le {\log _x}4$.
[B]. ${\log _x}5 > {\log _x}6$.
[C]. ${\log _5}x = {\log _x}5{\rm{ }}$.
[D]. ${\log _5}x > {\log _6}x$.
Vì ${\log _5}x > 0 \Rightarrow x > 1$ . Khi đó ${\log _5}x > {\log _6}x$. Chọn đáp án
[D].
Câu 72. Cho $0 < x < 1$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
[A]. $\sqrt[3]{{{{\log }_x}5}} + \sqrt[3]{{{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}5}} < 0$
[B]. $\sqrt[3]{{{{\log }_x}5}} > \sqrt {{{\log }_x}\dfrac{1}{2}} $
[C]. $\sqrt {{{\log }_x}\dfrac{1}{2}} < {\log _5}\dfrac{1}{2}.$
[D]. $\sqrt {{{\log }_x}\dfrac{1}{2}} .\sqrt[3]{{{{\log }_x}5}} > 0$
Sử dụng máy tính Casio, Chọn $x = 0,5$ và thay vào từng đáp án, ta được đáp án
[A].
Câu 73. Trong bốn số ${3^{{{\log }_3}4}},\,\,{3^{2{{\log }_3}2}},\,\,{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{{{\log }_2}5}},\,\,{\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}$số nào nhỏ hơn 1?
[A]. ${\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}$.
[B]. ${3^{2{{\log }_3}2}}$.
[C]. ${3^{{{\log }_3}4}}$.
[D]. ${\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{{{\log }_2}5}}$.
+Tự luận:
Ta có: ${3^{{{\log }_3}4}} = 4;{3^{2{{\log }_3}2}} = {3^{{{\log }_3}4}} = 4;\,\,{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {2^{ – 2{{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}{5^{ – 2}}}} = {5^{ – 2}} = \dfrac{1}{{25}}\,$,
${\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}} = {\left( {{2^{ – 4}}} \right)^{ – {{\log }_2}2}} = {2^{{{\log }_2}{2^4}}} = {2^4} = 16$.
Chọn : Đáp án [D].
Trắc nghiệm: nhập vào máy tính từng biểu thức tính kết quả, chọn kết quả nhỏ hơn 1.
Câu 74. Gọi $M = {3^{{{\log }_{0,5}}4}}{\rm{ ; N = }}{{\rm{3}}^{{{\log }_{0,5}}13}}$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
[A]. M < 1 < N.
[B]. N < M < 1.
[C]. M < N < 1.
[D]. N < 1 < M.
+Tự luận:
Ta có ${\log _{0,5}}13 < {\log _{0,5}}4 < 0 \Rightarrow {3^{{{\log }_{0,5}}13}} < {3^{{{\log }_{0,5}}4}} < 1 \Rightarrow N < M < 1$.
Chọn : Đáp án [B].
+ Trắc nghiệm: Nhập các biểu thức vào máy tính, tính kết quả rồi so sánh, ta thấy đáp án B đúng.
Câu 75. Biểu thức ${\log _2}\left( {2\sin \dfrac{\pi }{{12}}} \right) + {\log _2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{{12}}} \right)$ có giá trị bằng:
[A]. -2.
[B]. -1.
[C]. 1.
[D]. ${\log _2}\sqrt 3 – 1$.
Ta có ${\log _2}\left( {2\sin \dfrac{\pi }{{12}}} \right) + {\log _2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{{12}}} \right) = {\log _2}\left( {2\sin \dfrac{\pi }{{12}}.\cos \dfrac{\pi }{{12}}} \right) = {\log _2}\left( {\sin \dfrac{\pi }{6}} \right) = {\log _2}\dfrac{1}{2} = – 1$
Chọn: Đáp án [B].
Câu 76. Với giá trị nào của \(m\) thì biểu thức \(f(x) = {\log _{\sqrt 5 }}(x – m)\) xác định với mọi \(x \in ( – 3; + \infty )\)?
[A]. \(m > – 3\).
[B]. \(m < – 3\).
[C]. \(m \le – 3\).
[D]. \(m \ge – 3\).
Biểu thức \(f(x)\) xác định $ \Leftrightarrow $ \(x – m > 0 \Leftrightarrow x > m\).
Để \(f(x)\) xác định với mọi \(x \in ( – 3; + \infty )\) thì \(m \le – 3\) Ta chọn đáp án [C].
Câu 77. Với giá trị nào của \(m\) thì biểu thức \(f(x) = {\log _{\dfrac{1}{2}}}(3 – x)(x + 2m)\) xác định với mọi \(x \in {\rm{[}} – 4;2]\)?
[A]. \(m \ge 2\).
[B]. \(m \ge \dfrac{3}{2}\).
[C]. m > 2 .
[D]. \(m \ge – 1\).
Thay \(m = 2\) vào điều kiện \((3 – x)(x + 2m) > 0\) ta được \((3 – x)(x + 4) > 0 \Leftrightarrow x \in ( – 4;3)\) mà \({\rm{[}} – 4;2] \not\subset ( – 4;3)\) nên các đáp án B, A, D loại. Ta chọn đáp án đúng là
[C].
Câu 78. Với giá trị nào của \(m\) thì biểu thức \(f(x) = {\log _3}\sqrt {(m – x)(x – 3m)} \) xác định với mọi \(x \in ( – 5;4]\)?
[A]. \(m \ne 0\).
[B]. \(m > \dfrac{4}{3}\).
[C]. \(m < – \dfrac{5}{3}\).
[D]. \(m \in \emptyset \).
– Thay \(m = 2\) vào điều kiện \((m – x)(x – 3m) > 0\) ta được \((2 – x)(x – 6) > 0 \Leftrightarrow x \in (2;6)\) mà \(( – 5;4] \not\subset (2;6)\) nên các đáp án B, A loại.
– Thay \(m = – 2\) vào điều kiện\((m – x)(x – 3m) > 0\) ta được \(( – 2 – x)(x + 6) > 0 \Leftrightarrow x \in ( – 6; – 2)\) mà \(( – 5;4] \not\subset ( – 6; – 2)\) nên các đáp án C loại. Do đó Ta chọn đáp án đúng là D
Câu 79. Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn: ${a^{{{\log }_3}7}} = 27,{b^{{{\log }_7}11}} = 49,{c^{{{\log }_{11}}25}} = \sqrt {11} $. Giá trị của biểu thức $A = {a^{{{({{\log }_3}7)}^2}}} + {b^{^{{{({{\log }_7}11)}^2}}}} + {c^{^{{{({{\log }_{11}}25)}^2}}}}$là:
[A]. 519.
[B]. 729.
[C]. 469.
[D]. 129.
Ta có
$\begin{array}{l}{\left( {{a^{{{\log }_3}7}}} \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( {{b^{{{\log }_7}11}}} \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {{c^{{{\log }_{11}}25}}} \right)^{^{{{\log }_{11}}25}}} = {27^{{{\log }_3}7}} + {49^{{{\log }_7}11}} + {\left( {\sqrt {11} } \right)^{{{\log }_{11}}25}}\\ = {7^3} + {11^2} + {25^{\dfrac{1}{2}}} = 469\end{array}$
Suy ra : Đáp án [C].
Câu 80. Kết quả rút gọn của biểu thức \(C = \sqrt {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a + 2} \left( {{{\log }_a}b – {{\log }_{ab}}b} \right)\sqrt {{{\log }_a}b} \) là:
[A]. $\sqrt[3]{{{{\log }_a}b}}$.
[B]. \(.\sqrt {{{\log }_a}b} \).
[C]. \({\left( {\sqrt {{{\log }_a}b} } \right)^3}\).
[D]. ${\log _a}b$.
\(C = \sqrt {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a + 2} \left( {{{\log }_a}b – {{\log }_{ab}}b} \right)\sqrt {{{\log }_a}b} \)
\( = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}^2}}}{{\log _a^2b}}} \left( {{{\log }_a}b – \dfrac{{{{\log }_a}b}}{{1 + {{\log }_a}b}}} \right)\sqrt {{{\log }_a}b} = \dfrac{{\left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}}{{{{\log }_a}b}}\left( {\dfrac{{\log _a^2b}}{{1 + {{\log }_a}b}}} \right)\sqrt {{{\log }_a}b} = {\left( {\sqrt {{{\log }_a}b} } \right)^3}\)