Trắc nghiệm phương trình mũ và bất phương trình mũ

Ta có:
\({3^{{x^2} – 4x + 5}} = 9 \Leftrightarrow {3^{{x^2} – 4x + 5}} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Suy ra \({1^3} + {3^3} = 28\). Chọn đáp án A

\(\begin{array}{l}{3^{{x^2} – 3x + 8}} = {9^{2{\rm{x}} – 1}}\\ \Leftrightarrow {3^{{x^2} – 3x + 8}} = {3^{4{\rm{x}} – 2}} \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 8 = 4{\rm{x}} – 2 \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {2;5} \right\}\)

Phương trình tương đương với $\dfrac{3}{{{3^x}}} = 2 + {\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^x} \Leftrightarrow 3.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x} = 2 + {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{2x}}$.
Đặt \(t = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}\), \(t > 0\). Phương trình trở thành $3t = 2 + {t^2} \Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right.$.
● Với \(t = 1\), ta được \({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
● Với \(t = 2\), ta được \({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\dfrac{1}{3}}}2 = – {\log _3}2 < 0\).
Vậy phương trình có một nghiệm âm.

Phương trình tương đương với ${3^x} + 9.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{x + 1}} – 4 = 0$
$ \Leftrightarrow {3^x} + 3.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x} – 4 = 0 \Leftrightarrow {3^x} + 3.\dfrac{1}{{{3^x}}} – 4 = 0 \Leftrightarrow {3^{2x}} – {4.3^x} + 3 = 0$.
Đặt \(t = {3^x}\), \(t > 0\). Phương trình trở thành \({t^2} – 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right.\).
● Với \(t = 1\), ta được \({3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
● Với \(t = 3\), ta được \({3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1.

${2^{\left| {\dfrac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{{\rm{x}}^2} – 1}} \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{28}}{3}x + 4} \right| = 4\left( {{{\rm{x}}^2} – 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le – 1 \vee x \ge 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x + 3 = 3{{\rm{x}}^2} – 3}\\{7x + 3 = – 3{{\rm{x}}^2} + 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le – 1 \vee x \ge 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 \vee x = – \dfrac{2}{3}}\\{x = 0 \vee x = – \dfrac{7}{3}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = – \dfrac{7}{3}}\end{array}} \right.$.
Nghiệm của phương trình là : \(S = \left\{ { – \dfrac{7}{3};3} \right\}\).
Vì \( – \dfrac{7}{3}.3 = – 7 < 0\). Chọn đáp án A

$\begin{array}{l}{\left( {2.5} \right)^{8 – {x^2}}} = {10^{ – 3}}{.10^{5 – 5x}} \Leftrightarrow {10^{8 – {x^2}}} = {10^{2 – 5x}}\\ \Leftrightarrow 8 – {x^2} = 2 – 5x \Leftrightarrow x = – 1;x = 6\end{array}$
Ta có : \( – 1 + 6 = 5\). Chọn đáp án A

Đặt \(t = {3^x}\) (\(t > 0\)), khi đó phương trình đã cho tương đương với
\({t^2} – 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _3}2\\x = 1\end{array} \right.\)

Đặt \(t = {2^x}\) (\(t > 0\)), khi đó phương trình đã cho tương đương với
\(4{t^2} – 18t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} = – 1\end{array} \right.\)
Vậy \({x_1}.{x_2} = – 1.2 = – 2\). Chọn đáp án A

Đặt \(t = {4^x}\) (\(t > 0\)), khi đó phương trình đã cho tương đương với
\({t^2} – 3t – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = – 1(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Chọn đáp án A

Đặt \(t = {3^{{x^2} + x – 1}}\) (\(t > 0\)), khi đó phương trình đã cho tương đương với
\(3{t^2} – 10t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^{{x^2} + x – 1}} = 3\\{3^{{x^2} + x – 1}} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 1\\x = 0\\x = – 1\end{array} \right.\)
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng – 2.

${2^x} + {2^{x + 1}} = {3^x} + {3^{x + 1}} \Leftrightarrow {3.2^x} = {4.3^x} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = {\log _{\dfrac{3}{2}}}\dfrac{3}{4}$

\({2^{2x}} – {3.2^{x + 2}} + 32 = 0 \Leftrightarrow {2^{2x}} – {12.2^x} + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 8\\{2^x} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)

\({6.4^x} – {13.6^x} + {6.9^x} = 0 \Leftrightarrow 6{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{2x}} – 13{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} + 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} = \dfrac{3}{2}\\{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.\)

\({12.3^x} + {3.15^x} – {5^{x + 1}} = 20\)\( \Leftrightarrow {3.3^x}\left( {{5^x} + 4} \right) – 5\left( {{5^x} + 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{5^x} + 4} \right)\left( {{3^{x + 1}} – 5} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {3^{x + 1}} = 5\) \( \Leftrightarrow x = {\log _3}5 – 1\)

${9^x} – {5.3^x} + 6 = 0$ $\left( 1 \right)$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {{3^2}} \right)^x} – {5.3^x} + 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} – {5.3^x} + 6 = 0{\rm{ }}\left( {1′} \right)$
Đặt $t = {3^x} > 0$. Khi đó: $\left( {1′} \right) \Leftrightarrow {t^2} – 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2{\rm{ }}\left( N \right)\\t = 3{\rm{ }}\left( N \right)\end{array} \right.$
Với $t = 2 \Rightarrow {3^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _3}2$.
Với $t = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = {\log _3}3 = 1$.
Suy ra \(1 + {\log _3}2 = {\log _3}3 + {\log _3}2 = {\log _3}6\)

${2^{1 + 2x}} + {15.2^x} – 8 = 0$ $\left( 2 \right)$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {2.2^{2x}} + {15.2^x} – 8 = 0 \Leftrightarrow 2.{\left( {{2^x}} \right)^2} + {15.2^x} – 8 = 0{\rm{ }}\left( {2′} \right)$
Đặt $t = {2^x} > 0$. Khi đó: $\left( {2′} \right) \Leftrightarrow 2{t^2} + 15t – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2}{\rm{ }}\left( N \right)\\t = – 8{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$
Với $t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {2^x} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = {\log _2}\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = – 1$

${5^x} + {25^{1 – x}} = 6{\rm{ }}\left( 1 \right)$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {5^x} + \dfrac{{25}}{{{{25}^x}}} – 6 = 0 \Leftrightarrow {5^x} + \dfrac{{25}}{{{{\left( {{5^2}} \right)}^x}}} – 6 = 0 \Leftrightarrow {5^x} + \dfrac{{25}}{{{{\left( {{5^x}} \right)}^2}}} – 6 = 0{\rm{ }}\left( {6′} \right)$. Đặt $t = {5^x} > 0$.
Khi đó: $\left( {6′} \right) \Leftrightarrow t + \dfrac{{25}}{{{t^2}}} – 6 = 0 \Leftrightarrow {t^3} – 6t + 25 = 0 \Leftrightarrow \left( {t – 5} \right)\left( {{t^2} – t – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5{\rm{ }}\left( N \right)\\t = \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}{\rm{ }}\left( N \right)\\t = \dfrac{{1 – \sqrt {21} }}{2}{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$
Với \[t = 5 \Rightarrow {5^x} = 5 \Leftrightarrow x = 1\].
Với $t = \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2} \Rightarrow {5^x} = \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)$.
Suy ra: \(1.{\log _5}\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right) = {\log _5}\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\)

Đặt \(t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}\) (\(t > 0\)), khi đó phương trình đã cho tương đương với
\({t^2} + t – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = – 3(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = {\log _{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}2\)

\({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} > 32\) \( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} > {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ – 5}}\)\( \Leftrightarrow x < – 5\)

$f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow \ln \left( {{2^{2{\rm{x}}}}{{.3}^{{{\sin }^2}x}}} \right) < \ln 1 \Leftrightarrow x\ln 4 + {\sin ^2}x\ln 3 < 0$
Chọn đáp án A

\({2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x – 1}}\)\( \Leftrightarrow {3.2^x} \le \dfrac{4}{3}{.3^x}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} \ge \dfrac{9}{4}\)\( \Leftrightarrow x \ge 2\)

Điều kiện: $x \ne – 1$
$pt \Leftrightarrow {3^{ – 2x}} > {3^{\dfrac{{2x}}{{x + 1}}}} \Leftrightarrow – 2x > \dfrac{{2x}}{{x + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{x + 1}} + 2x < 0 \Leftrightarrow 2x\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} + 1} \right) < 0$
${\rm{ }} \Leftrightarrow \dfrac{{2x\left( {x + 2} \right)}}{{x + 1}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < – 2\\ – 1 < x < 0\end{array} \right.$. Kết hợp với điều kiện$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x < – 2\\ – 1 < x < 0\end{array} \right.$

Đặt \(t = {4^x}\) (\(t > 0\)), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
\({t^2} – t – 6 \le 0 \Leftrightarrow – 2 \le t \le 3 \Leftrightarrow 0 < t \le 3 \Leftrightarrow x \le {\log _4}3.\)

\(\dfrac{{{3^x}}}{{{3^x} – 2}} < 3 \Leftrightarrow \dfrac{{{3^x} – 3}}{{{3^x} – 2}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} > 3\\{3^x} < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < {\log _3}2\end{array} \right.\)

\({11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x} \Leftrightarrow \sqrt {x + 6} \ge x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\x + 6 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + 6 \ge {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 6 \le x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\ – 2 \le x \le 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow – 6 \le x \le 3\)

Đặt \(t = {3^x}\) (\(t > 0\)), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
\(\dfrac{1}{{t + 5}} \le \dfrac{1}{{3t – 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t – 1 > 0\\3t – 1 \le t + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < t \le 3 \Leftrightarrow – 1 < x \le 1.\)

${\left( {\dfrac{5}{7}} \right)^{{x^2} – x + 1}} > {\left( {\dfrac{5}{7}} \right)^{2{\rm{x}} – 1}} \Leftrightarrow {x^2} – x + 1 < 2{\rm{x}} – 1 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;2} \right)$. Chọn đáp án A

\({4^x} – {3.2^x} + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} > 2\\{2^x} < 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < 0\end{array} \right.\)

\({3^x}{.2^{x + 1}} \ge 72 \Leftrightarrow {2.6^x} \ge 72\)\( \Leftrightarrow x \ge 2\)

\({3^{x + 1}} – {2^{2x + 1}} – {12^{\dfrac{x}{2}}} < 0\)\( \Leftrightarrow {3.9^{\dfrac{x}{2}}} – {2.16^{\dfrac{x}{2}}} – {12^{\dfrac{x}{2}}} < 0\)\( \Leftrightarrow 3. – 2.{\left( {\dfrac{{16}}{9}} \right)^{\dfrac{x}{2}}} – {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{\dfrac{x}{2}}} < 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{\dfrac{x}{2}}} > 1\)\( \Leftrightarrow x > 0\)

\(\dfrac{{{{2.3}^x} – {2^{x + 2}}}}{{{3^x} – {2^x}}} \le 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{2.{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^x} – 4}}{{{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^x} – 1}} \le 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{2.{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^x} – 4}}{{{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^x} – 1}} – 1 \le 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^x} – 3}}{{{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^x} – 1}} \le 0\)\( \Leftrightarrow 1 < {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} \le 3\) \( \Leftrightarrow 0 < x \le {\log _{\dfrac{3}{2}}}3\)

Vì $\dfrac{2}{{\sqrt 5 }} < 1$ nên bất phương trình tương đương với $\dfrac{1}{x} \ge 3 \Leftrightarrow \dfrac{{1 – 3x}}{x} \ge 0 \Leftrightarrow 0 < x \le \dfrac{1}{3}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right]$

${2^x} + {4.5^x} – 4 < {10^x}$$ \Leftrightarrow {2^x} – {10^x} + {4.5^x} – 4 < 0 \Leftrightarrow {2^x}\left( {1 – {5^x}} \right) – 4\left( {1 – {5^x}} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {1 – {5^x}} \right)\left( {{2^x} – 4} \right) < 0$
${\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 – {5^x} < 0\\{2^x} – 4 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 – {5^x} > 0\\{2^x} – 4 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{5^x} > 1\\{2^x} > 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{5^x} < 1\\{2^x} < 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$

${2^{\sqrt x }} – {2^{1 – \sqrt x }} < 1$ $\left( 1 \right)$. Điều kiện: $x \ge 0$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2^{\sqrt x }} – \dfrac{2}{{{2^{\sqrt x }}}} < 1{\rm{ }}\left( 2 \right)$. Đặt $t = {2^{\sqrt x }}.{\rm{ Do }}x \ge 0 \Rightarrow t \ge 1$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 1\\t – \dfrac{2}{t} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 1\\{t^2} – t – 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le t < 2 \Leftrightarrow 1 \le {2^{\sqrt x }} < 2 \Leftrightarrow 0 \le x{\kern 1pt} < 1$
VẬN DỤNG

\({4^{{x^2} – 3x + 2}} + {4^{{x^2} + 6x + 5}} = {4^{2{x^2} + 3x + 7}} + 1\)\( \Leftrightarrow {4^{{x^2} – 3x + 2}} + {4^{{x^2} + 6x + 5}} = {4^{{x^2} – 3x + 2}}{.4^{{x^2} + 6x + 5}} + 1\)
\( \Leftrightarrow {4^{{x^2} – 3x + 2}}\left( {1 – {4^{{x^2} + 6x + 5}}} \right) – \left( {1 – {4^{{x^2} + 6x + 5}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{4^{{x^2} – 3x + 2}} – 1} \right)\left( {1 – {4^{{x^2} + 6x + 5}}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{4^{{x^2} – 3x + 2}} – 1 = 0\\1 – {4^{{x^2} + 6x + 5}} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – 3x + 2 = 0\\{x^2} + 6x + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1 \vee x = – 5\\x = 1 \vee x = 2\end{array} \right.\)

\({\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^x}\)$ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 – \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} \right)^x} = 1$
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 – \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} \right)^x}\)
Ta có: \(f\left( 2 \right) = 1\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) do các cơ số \(\dfrac{{\sqrt 3 – \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1;\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = 2\).

\({3^{2x}} + 2x\left( {{3^x} + 1} \right) – {4.3^x} – 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{3^{2x}} – 1} \right) + 2x\left( {{3^x} + 1} \right) – \left( {{{4.3}^x} + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} – 1} \right)\left( {{3^x} + 1} \right) + \left( {2x – 4} \right)\left( {{3^x} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} + 2x – 5} \right)\left( {{3^x} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {3^x} + 2x – 5 = 0\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {3^x} + 2x – 5\) , ta có :\(f\left( 1 \right) = 0\).
\(f’\left( x \right) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0;\forall x \in \mathbb{R}\) . Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: $\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\log _2}{2^{x – 3}} = {\log _2}{3^{{x^2} – 5x + 6}}$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right){\log _2}2 = \left( {{x^2} – 5x + 6} \right){\log _2}3 \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right) – \left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right){\log _2}3 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right).\left[ {1 – \left( {x – 2} \right){{\log }_2}3} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 3 = 0\\1 – \left( {x – 2} \right){\log _2}3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\\left( {x – 2} \right){\log _2}3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x – 2 = \dfrac{1}{{{{\log }_2}3}}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {\log _3}2 + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {\log _3}2 + {\log _3}9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {\log _3}18\end{array} \right.$

${\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 6$ $\left( 8 \right)$
$\left( 8 \right) \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \right]^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} – 6 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}} \right]^2} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} – 6 = 0{\rm{ }}\left( {8′} \right)$
Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} > 0$.
Khi đó: $\left( {8′} \right) \Leftrightarrow {t^2} + t – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2{\rm{ }}\left( N \right)\\t = – 3{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$. Với \[t = 2 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}2\]
Chọn đáp án A

${3^{3 + 3x}} + {3^{3 – 3x}} + {3^{4 + x}} + {3^{4 – x}} = {10^3}$ $\left( 7 \right)$
$\left( 7 \right) \Leftrightarrow {27.3^{3x}} + \dfrac{{27}}{{{3^{3x}}}} + {81.3^x} + \dfrac{{81}}{{{3^x}}} = {10^3} \Leftrightarrow 27.\left( {{3^{3x}} + \dfrac{1}{{{3^{3x}}}}} \right) + 81.\left( {{3^x} + \dfrac{1}{{{3^x}}}} \right) = {10^3}{\rm{ }}\left( {7′} \right)$
Đặt $t = {3^x} + \dfrac{1}{{{3^x}}}\mathop \ge \limits^{C\^o si} 2\sqrt {{3^x}.\dfrac{1}{{{3^x}}}} = 2$
$ \Rightarrow {t^3} = {\left( {{3^x} + \dfrac{1}{{{3^x}}}} \right)^3} = {3^{3x}} + {3.3^{2x}}.\dfrac{1}{{{3^x}}} + {3.3^x}.\dfrac{1}{{{3^{2x}}}} + \dfrac{1}{{{3^{3x}}}} \Leftrightarrow {3^{3x}} + \dfrac{1}{{{3^{3x}}}} = {t^3} – 3t$
Khi đó: $\left( {7′} \right) \Leftrightarrow 27\left( {{t^3} – 3t} \right) + 81t = {10^3} \Leftrightarrow {t^3} = \dfrac{{{{10}^3}}}{{27}} \Leftrightarrow t = \dfrac{{10}}{3} > 2{\rm{ }}\left( N \right)$
Với $t = \dfrac{{10}}{3} \Rightarrow {3^x} + \dfrac{1}{{{3^x}}} = \dfrac{{10}}{3}{\rm{ }}\left( {7”} \right)$
Đặt $y = {3^x} > 0$. Khi đó: $\left( {7”} \right) \Leftrightarrow y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{{10}}{3} \Leftrightarrow 3{y^2} – 10y + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3{\rm{ }}\left( N \right)\\y = \dfrac{1}{3}{\rm{ }}\left( N \right)\end{array} \right.$
Với $y = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1$
Với $y = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {3^x} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = – 1$

${9^{{{\sin }^2}x}} + {9^{{{\cos }^2}x}} = 6$ $ \Leftrightarrow {9^{1 – {{\cos }^2}x}} + {9^{{{\cos }^2}x}} = 6 \Leftrightarrow \dfrac{9}{{{9^{{{\cos }^2}x}}}} + {9^{{{\cos }^2}x}} – 6 = 0{\rm{ }}\left( * \right)$
Đặt $t = {9^{{{\cos }^2}x}},{\rm{ }}\left( {1 \le t \le 9} \right)$. Khi đó: $\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{9}{t} + t – 6 = 0 \Leftrightarrow {t^2} – 6t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3$
Với $t = 3 \Rightarrow {9^{{{\cos }^2}x}} = 3 \Leftrightarrow {3^{2{{\cos }^2}x}} = {3^1} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x – 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

câu 8 & 9
Nhận xét: $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 – \sqrt 3 } \right) = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^x} = 1$.
Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} \Rightarrow {\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^x} = \dfrac{1}{t},\forall t \in \left( {0, + \infty } \right)$.
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow t + \dfrac{1}{t} = m \Leftrightarrow f\left( t \right) = t + \dfrac{1}{t} = m{\rm{ }}\left( {1′} \right),\forall t \in \left( {0, + \infty } \right)$.
Xét hàm số$f\left( t \right) = t + \dfrac{1}{t}$ xác định và liên tục trên$\left( {0, + \infty } \right)$.
Ta có: $f’\left( t \right) = 1 – \dfrac{1}{{{t^2}}} = \dfrac{{{t^2} – 1}}{{{t^2}}}$. Cho $f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1$.
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên:
+ Nếu $m < 2$ thì phương trình $\left( {1′} \right)$vô nghiệm$ \Rightarrow pt\left( 1 \right)$vô nghiệm.

\({2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} \right)}} – {2^{{x^2} + 3}} + 1} \Leftrightarrow {8.2^{{x^2} + 1}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} + \sqrt {{{4.2}^{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} – {{4.2}^{{x^2} + 1}} + 1} \)
Đặt \(t = {2^{{x^2} + 1}}\left( {t \ge 2} \right)\) , phương trình trên tương đương với
\(8t = {t^2} + \sqrt {4{t^2} – 4t + 1} \Leftrightarrow {t^2} – 6t – 1 = 0 \Leftrightarrow t = 3 + \sqrt {10} \) (vì \(t \ge 2\)). Từ đó suy ra
\({2^{{x^2} + 1}} = 3 + \sqrt {10} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt {{{\log }_2}\dfrac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \\{x_2} = – \sqrt {{{\log }_2}\dfrac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \end{array} \right.\)
Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.

Đặt \({4^x} = t > 0\). Phương trình đã cho trở thành: $\underbrace {\left( {m + 1} \right){t^2} – 2\left( {2m – 3} \right)t + 6m + 5}_{f\left( t \right)} = 0.$ \(\left( * \right)\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm \({t_1},{\rm{ }}{t_2}\) thỏa mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\left( {m + 1} \right)f\left( 1 \right) < 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {6m + 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {3m + 12} \right) < 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {6m + 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow – 4 < m < – 1.\)

$\dfrac{1}{{{5^{x + 1}} – 1}} \ge \dfrac{1}{{5 – {5^x}}} \Leftrightarrow \dfrac{{6\left( {1 – {5^x}} \right)}}{{\left( {{{5.5}^x} – 1} \right)\left( {5 – {5^x}} \right)}} \ge 0\,\,(1)$.
Đặt $t = {5^x}$, BPT $(1) \Leftrightarrow \dfrac{{6\left( {1 – t} \right)}}{{\left( {5t – 1} \right)\left( {5 – t} \right)}} \ge 0\,$. Đặt $f(t) = \dfrac{{6\left( {1 – t} \right)}}{{\left( {5t – 1} \right)\left( {5 – t} \right)}}$.
Lập bảng xét dấu $f(t) = \dfrac{{6\left( {1 – t} \right)}}{{\left( {5t – 1} \right)\left( {5 – t} \right)}}$, ta được nghiệm: $\left[ \begin{array}{l}5 < t\\\dfrac{1}{5} < t \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 < {5^x}\\\dfrac{1}{5} < {5^x} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x\\ – 1 < x \le 0\end{array} \right.$.
Vậy tập nghiệm của BPT là $S = \left( { – 1;\,0} \right] \cup \left( {1;\, + \infty } \right)$.

\({25^{ – {x^2} + 2x + 1}} + {9^{ – {x^2} + 2x + 1}} \ge {34.15^{ – {x^2} + 2x}} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^{2\left( { – {x^2} + 2x + 1} \right)}} + 1 \ge \dfrac{{34}}{{15}}.{\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^{\left( { – {x^2} + 2x + 1} \right)}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \le 1 – \sqrt 3 \\x \ge 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Ta có: \({4^x} – m{.2^{x + 1}} + 2m = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} – 2m{.2^x} + 2m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\)
Phương trình \(\left( * \right)\)là phương trình bậc hai ẩn \({2^x}\)có: \(\Delta ‘ = {\left( { – m} \right)^2} – 2m = {m^2} – 2m\).
Phương trình \(\left( * \right)\)có nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} – 2m \ge 0 \Leftrightarrow m\left( {m – 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le 0\end{array} \right.\)
Áp dụng định lý Vi-ét ta có: \({2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = 2m \Leftrightarrow {2^{{x_1} + {x_2}}} = 2m\)
Do đó \({x_1} + {x_2} = 3 \Leftrightarrow {2^3} = 2m \Leftrightarrow m = 4\).
Thử lại ta được \(m = 4\)thỏa mãn. Chọn [A].

Chia hai vế của bất phương trình cho \({3^{{{\sin }^2}x}} > 0\) , ta được
\({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + 3.{\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^{{{\sin }^2}x}} \ge m\)
Xét hàm số \(y = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + 3.{\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^{{{\sin }^2}x}}\) là hàm số nghịch biến.
Ta có: \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\) nên \(1 \le y \le 4\)
Vậy bất phương trình có nghiệm khi \(m \le 4\). Chọn đáp án A

Đặt \(t = {3^x}\)
Vì \(x > 1 \Rightarrow t > 3\) Bất phương trình đã cho thành: \({t^2} + \left( {m – 1} \right).t + m > 0\) nghiệm đúng \(\forall t \ge 3\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} – t}}{{t + 1}} > – m\) nghiệm đúng \(\forall t > 3\).
Xét hàm số \(g\left( t \right) = t – 2 + \dfrac{2}{{t + 1}},\forall t > 3,g’\left( t \right) = 1 – \dfrac{2}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall t > 3\). Hàm số đồng biến trên \(\left[ {3; + \infty } \right)\) và \(g\left( 3 \right) = \dfrac{3}{2}\). Yêu cầu bài toán tương đương \( – m \le \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m \ge – \dfrac{3}{2}\).