Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, toán 12
1.1. Định nghĩa: Hàm số $y = {x^\alpha }$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ được gọi là hàm số lũy thừa.
1.2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số $y = {x^\alpha }$ là:
- $D = \mathbb{R}$ nếu $\alpha $ là số nguyên dương.
- $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ với $\alpha $ nguyên âm hoặc bằng 0.
- $D = (0; + \infty )$ với $\alpha $ không nguyên.
1.3. Đạo hàm: Hàm số $y = {x^\alpha },{\rm{ }}(\alpha \in \mathbb{R})$ có đạo hàm với mọi $x > 0$ và $({x^\alpha })’ = \alpha .{x^{\alpha – 1}}.$
1.4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng$(0; + \infty )$.
$y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha > 0$
a. Tập khảo sát: $(0; + \infty )$
b. Sự biến thiên:
- $y’ = \alpha {x^{\alpha – 1}} > 0,{\rm{ }}\forall x > 0.$
- Giới hạn đặc biệt: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = 0,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^\alpha } = + \infty .$
- Tiệm cận: không có
$y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha < 0$
a. Tập khảo sát: $(0; + \infty )$
b. Sự biến thiên:
- $y’ = \alpha {x^{\alpha – 1}} < 0,{\rm{ }}\forall x > 0.$
- Giới hạn đặc biệt: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = + \infty ,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^\alpha } = 0.$
- Tiệm cận:
– Trục Ox là tiệm cận ngang.
– Trục Oy là tiệm cận đứng.
2. Hàm số mũ: $y = {a^x},{\rm{ }}(a > 0,a \ne 1).$
2.1.Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
2.2.Tập giá trị: $T = (0, + \infty ),$ nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt $t = {a^{f(x)}}$ thì t > 0.
2.3. Tính đơn điệu:
- Khi a > 1 thì hàm số $y = {a^x}$ đồng biến, khi đó ta luôn có: ${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x).$
- Khi 0 < a < 1 thì hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến, khi đó ta luôn có: ${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) < g(x).$
2.4. Đạo hàm:
$\begin{array}{l} ({a^x})’ = {a^x}.\ln a \Rightarrow ({a^u})’ = u’.{a^u}.\ln a\\ ({e^x})’ = {e^x} \Rightarrow ({e^u})’ = {e^u}.u’\\ (\sqrt[n]{u})’ = \dfrac{{u’}}{{n.\sqrt[n]{{{u^{n – 1}}}}}} \cdot \end{array}$
2.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.
3. Hàm số logarit: $y = {\log _a}x,{\rm{ }}(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1)$
3.1.Tập xác định: $D = (0, + \infty ).$
3.2.Tập giá trị: $T = \mathbb{R}$, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt $t = {\log _a}x$ thì $t$ không có điều kiện.
3.3.Tính đơn điệu:
- Khi a > 1 thì $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $D,$ khi đó nếu: ${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x)$.
- Khi 0 < a < 1thì $y = {\log _a}x$ nghịch biến trên $D,$ khi đó nếu ${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) < g(x)$.
3.4.Đạo hàm:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)^\prime } = \dfrac{1}{{x.\ln a}} \Rightarrow {\left( {{{\log }_a}\left| u \right|} \right)^\prime } = \dfrac{{u’}}{{u.\ln a}}\\ (\ln x)’ = \dfrac{1}{x},{\rm{ }}(x > 0) \Rightarrow (\ln \left| u \right|)’ = \dfrac{{u’}}{u} \end{array} \right.\\ \Rightarrow ({\ln ^n}\left| u \right|)’ = n \cdot \dfrac{{u’}}{u} \cdot {\ln ^{n – 1}}\left| u \right| \end{array}$
3.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.
Ví dụ minh họa
Phần 1: Nhận biết – Thông hiểu
Câu 1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
[A]. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) và đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
[B]. Hàm số \(y = {a^x}\) với 0 < a < 1 đồng biến trên khoảng \(( – \infty ; + \infty )\).
[C]. Hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\) nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ; + \infty )\).
[D]. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 0\) và \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm M(a;1)
Chọn đáp án A
Câu B sai vì hàm số \(y = {a^x}\) với 0 < a < 1 nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ; + \infty )\).
Câu C sai vì hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\)đồng biến trên khoảng \(( – \infty ; + \infty )\).
Câu D sai vì đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 0\) và \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm \(M(a;{a^a})\)hoặc \(M(0;1)\) chứ không phải M(a;1)
Câu 2. Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\,\,\,(a > 0;a \ne 1)\) là:
[A]. \((0; + \infty )\)
[B]. ${\rm{[}}0; + \infty )$
[C]. \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)
[D]. \(\mathbb{R}\)
Chọn đáp án A
Với \(a > 0;a \ne 1\)thì\({a^x} > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Suy ra tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\,\,\,(a > 0;a \ne 1)\)là \((0; + \infty )\)
Câu 3. Với \(a > 0\)và\(a \ne 1\). Phát biểu nào sau đây không đúng?
[A]. Hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) có cùng tập giá trị.
[B]. Hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\)có cùng tính đơn điệu.
[C]. Đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\)đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
[D]. Đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) đều có đường tiệm cận.
Chọn đáp án A
Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\)là\((0; + \infty )\), tập giá trị của hàm số \(y = {\log _a}x\) là \(\mathbb{R}\).
Câu 4. Cho hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^x}\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
[A]. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ; + \infty )\).
[B]. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
[C]. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục tung.
[D]. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục hoành.
Chọn đáp án A
Vì \(0 < \sqrt 2 – 1 < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^x}\) nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ; + \infty )\) .
Câu 5. Tập xác định của hàm số \(y = {(2x – 1)^{2017}}\) là:
[A]. \(D = \mathbb{R}\)
[B]. \(D = \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\)
[C]. \(D = \left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right]\)
[D]. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\)
Chọn đáp án A
Vì \(2007 \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên hàm số xác định với mọi $x$ .
Câu 6. Tập xác định của hàm số \(y = {(3{x^2} – 1)^{ – 2}}\) là:
[A]. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right\}\)
[B]. \(D = \left\{ { \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right\}\)
[C]. \(D = \left( { – \infty ; – \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\)
[D]. \(\left( { – \dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
Chọn đáp án A
Vì \( – 2 \in {\mathbb{Z}^ – }\) nên hàm số \(y = {(3{{\rm{x}}^2} – 1)^{ – 2}}\) xác định khi \(3{{\rm{x}}^2} – 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) .
Câu 7. Tập xác định của hàm số \(y = {({x^2} – 3x + 2)^{ – e}}\) là:
[A]. \(D = ( – \infty ;1) \cup (2; + \infty )\)
[B]. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}1;2\} \)
[C]. \(D = (0; + \infty )\)
[D]. \(D = (1;2)\)
Chọn đáp án A
Vì \( – e \notin \mathbb{Z}\) nên hàm số xác định khi ${x^2} – 3{\rm{x}} + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.$ .
Câu 8. Tập xác định của hàm số \(y = {\log _{0,5}}(x + 1)\) là:
[A]. \(D = ( – 1; + \infty )\)
[B]. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} – 1\} \)
[C]. \(D = (0; + \infty )\)
[D]. \(( – \infty ; – 1)\)
Chọn đáp án A
Hàm số \({\log _{0,5}}(x + 1)\) xác định khi \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > – 1\).
Câu 9. Tìm x để hàm số \(y = \log \sqrt {{x^2} + x – 12} \)có nghĩa.
[A]. \(x \in ( – \infty ; – 4) \cup (3; + \infty )\)
[B]. \(x \in ( – 4;3)\)
[C]. \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne – 4\\x \ne 3\end{array} \right.\)
[D]. \(x \in R\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(\log \sqrt {{x^2} + x – 12} \) có nghĩa khi \({x^2} + x – 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < – 4\end{array} \right.\) .
Câu 10. Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\dfrac{{x + 3}}{{2 – x}}\) là:
[A]. \(D = ( – 3;2)\)
[B]. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} – {\rm{3}};2\} \)
[C]. \(D = ( – \infty ; – 3) \cup (2; + \infty )\)
[D]. \(D = {\rm{[}} – {\rm{3}};2]\)
Chọn đáp án A
Hàm số \({\log _2}\dfrac{{x + 3}}{{2 – x}}\) có nghĩa khi \(\dfrac{{x + 3}}{{2 – x}} > 0 \Leftrightarrow – 3 < x < 2\) .
Câu 11. Tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{1}{{\sqrt {2 – x} }} + \ln (x – 1)\) là:
[A]. \(D = (1;2)\)
[B]. \(D = (1; + \infty )\)
[C]. \(D = (0; + \infty )\)
[D]. \(D = {\rm{[}}1;2]\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \dfrac{1}{{\sqrt {2 – x} }} + \ln (x – 1)\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 – x > 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow 1 < x < 2\).
Câu 12. Tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{{{e^x}}}{{{e^x} – 1}}\) là:
[A]. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)
[B]. \((0; + \infty )\)
[C]. \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}1\} \)
[D]. \(D = (e; + \infty )\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \dfrac{{{e^x}}}{{{e^x} – 1}}\) xác định khi \({e^x} – 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\).
Câu 13. Tập xác định \(y = \sqrt { – 2{x^2} + 5x – 2} + \ln \dfrac{1}{{{x^2} – 1}}\) là:
[A]. \(D = (1;2]\)
[B]. \(D = {\rm{[}}1;2]\)
[C]. \(D = ( – 1;1)\)
[D]. \(D = ( – 1;2)\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \sqrt { – 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} – 2} + \ln \dfrac{1}{{{x^2} – 1}}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l} – 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} – 2 \ge 0\\{x^2} – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2} \le x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < – 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow 1 < x \le 2\)
Câu 14. Tập xác định của hàm số \(y = \ln (\ln x)\) là :
[A]. \(D = (1; + \infty )\)
[B]. \(D = (0; + \infty )\)
[C]. \(D = (e; + \infty )\)
[D]. \(D = {\rm{[}}1; + \infty )\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \ln (\ln (x))\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln {\rm{x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 1\end{array} \right. \Rightarrow x > 1\) .
Câu 15. Tập xác định của hàm số \(y = {({3^x} – 9)^{ – 2}}\) là
[A]. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}2\} \)
[B]. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}0\} \)
[C]. \(D = (2; + \infty )\)
[D]. \(D = (0; + \infty )\)
Chọn đáp án A
Vì \( – 2 \in {\mathbb{Z}^ – }\) nên hàm số \(y = {({3^x} – 9)^{ – 2}}\) xác định khi \({3^x} – 9 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .
Câu 16. Hàm số \(y = {\log _{x – 1}}x\) xác định khi và chỉ khi :
[A]. \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)
[B]. \(x > 1\)
[C]. \(x > 0\)
[D]. \(x \ne 2\)
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = {\log _{x – 1}}x\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x – 1 > 0\\x – 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 1\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.\) .
Câu 17. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
[A]. \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\)
[B]. y = x
[C]. \(y = {2^x}\)
[D]. \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{ – x}}\)
Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số dạng\(y = {a^x}\). Ta có \(A(0;1)\) và \(B(2;2)\) thuộc đồ thị hàm số.
Suy ra, \(\left\{ \begin{array}{l}{a^0} = 1\\{a^2} = 2\\a > 0\end{array} \right. \Rightarrow a = \sqrt 2 \) . Hàm số là \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) .
Câu 18. Hàm số \(y = {(x – 1)^{\dfrac{1}{3}}}\)có đạo hàm là:
[A]. \(y’ = \dfrac{1}{{3\sqrt[3]{{{{(x – 1)}^2}}}}}\)
[B]. \(y’ = \dfrac{1}{{3\sqrt {{{(x – 1)}^3}} }}\)
[C]. \(y’ = \dfrac{{\sqrt[3]{{{{(x – 1)}^2}}}}}{3}\)
[D]. \(y’ = \dfrac{{\sqrt {{{(x – 1)}^3}} }}{3}\)
Chọn đáp án A
\(y = {(x – 1)^{\dfrac{1}{3}}} \Rightarrow y’ = \dfrac{1}{3}(x – 1)’.{(x – 1)^{\dfrac{1}{3} – 1}} = \dfrac{1}{3}{(x – 1)^{ – \dfrac{2}{3}}} = \dfrac{1}{{3\sqrt[3]{{{{(x – 1)}^2}}}}}\) .
Câu 19. Đạo hàm của hàm số \(y = {4^{2x}}\) là:
[A]. \(y’ = {2.4^{2x}}\ln 4\)
[B]. \(y’ = {4^{2x}}.\ln 2\)
[C]. \(y’ = {4^{2x}}\ln 4\)
[D]. \(y’ = {2.4^{2x}}\ln 2\)
Chọn đáp án A
\(y = {4^{2{\rm{x}}}} \Rightarrow y’ = (2{\rm{x}})'{.4^{2{\rm{x}}}}\ln 4 = {2.4^{2{\rm{x}}}}\ln 4\).
Câu 20. Đạo hàm của hàm số $y = {\log _5}x,\,x > 0$ là:
[A]. \(y’ = \dfrac{1}{{x\ln 5}}\)
[B]. \(y’ = x\ln 5\)
[C]. \(y’ = {5^x}\ln 5\)
[D]. \(y’ = \dfrac{1}{{{5^x}\ln 5}}\)
Chọn đáp án A
\(y = {\log _5}x \Rightarrow y’ = \dfrac{1}{{x\ln 5}}\).
Câu 21. Hàm số $y = {\log _{0,5}}{x^2}\,(x \ne 0)$ có công thức đạo hàm là:
[A]. \(y’ = \dfrac{2}{{x\ln 0,5}}\)
[B]. \(y’ = \dfrac{1}{{{x^2}\ln 0,5}}\)
[C]. \(y’ = \dfrac{2}{{{x^2}\ln 0,5}}\)
[D]. \(\dfrac{1}{{x\ln 0,5}}\)
Chọn đáp án A
\(y = {\log _{0,5}}{x^2} \Rightarrow y’ = ({x^2})’.\dfrac{1}{{{x^2}\ln 0,5}} = \dfrac{2}{{x\ln 0,5}}\) .
Câu 22. Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x + {\log _3}{x^3}\,\,(x > 0)\) là:
[A]. \(y’ = \cos x + \dfrac{3}{{x\ln 3}}\)
[B]. \(y’ = – \cos x + \dfrac{3}{{x\ln 3}}\)
[C]. \(y’ = \cos x + \dfrac{1}{{{x^3}\ln 3}}\)
[D]. \(y’ = – \cos x + \dfrac{1}{{{x^3}\ln 3}}\)
Chọn đáp án A
\(y = \sin x + {\log _3}{x^3} \Rightarrow y’ = \cos {\rm{x}} + \dfrac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{{x^3}\ln 3}} = \cos {\rm{x}} + \dfrac{3}{{x\ln 3}}\) .
Câu 23. Cho hàm số $f(x) = \ln \left( {{x^4} + 1} \right)$ . Đạo hàm \({f^/}\left( 0 \right)\)bằng:
[A]. $0$
[B]. $1$
[C]. $2$
[D]. $3$
Chọn đáp án A
\(f(x) = \ln ({x^4} + 1) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{{({x^4} + 1)’}}{{{x^4} + 1}} = \dfrac{{4{{\rm{x}}^3}}}{{{x^4} + 1}} \Rightarrow f'(0) = 0\) .
Câu 24. Cho hàm số \(f(x) = {e^{2017{x^2}}}\). Đạo hàm \({f^/}\left( 0 \right)\)bằng:
[A]. $0$
[B]. $1$
[C]. $e$
[D]. \({e^{2017}}\)
Chọn đáp án A
\(f(x) = {e^{2017{{\rm{x}}^2}}} \Rightarrow f'(x) = 2.2017{\rm{x}}.{e^{2017{{\rm{x}}^2}}} \Rightarrow f'(0) = 0\) .
Câu 25. Cho hàm số \(f(x) = x{e^x}\). Gọi \({f^/}^/\left( x \right)\)là đạo hàm cấp hai của\(f\left( x \right)\). Ta có\({f^/}^/\left( 1 \right)\) bằng:
[A]. \(3e\)
[B]. \( – 3{e^2}\)
[C]. \({e^3}\)
[D]. \( – 5{e^2}\)
Chọn đáp án A
\(f(x) = x.{e^x} \Rightarrow f'(x) = {e^x} + x.{e^x} \Rightarrow f”(x) = {e^x} + {e^x} + x.{e^x} \Rightarrow f”(1) = 3{\rm{e}}\) .
Câu 26. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
[A]. \(y = {\log _2}x\)
[B]. \(y = {\log _{\dfrac{1}{2}}}x\)
[C]. \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\)
[D]. \(y = {\log _2}\left( {2x} \right)\)
Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(\left( {\dfrac{1}{2}; – 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( – 1 = {\log _a}\dfrac{1}{2} \Rightarrow {a^{ – 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow a = 2\) . Hàm số là \(y = {\log _2}x\).
Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
[A]. Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).
[B]. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha > 0\) không có tiệm cận.
[C]. Hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha < 0\)nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\).
[D]. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha < 0\) có hai tiệm cận.
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có tập xác định thay đổi tùy theo \(\alpha \).
Câu 28. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
[A]. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
[B]. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên trái trục tung.
[C]. Đồ thị hàm số mũ nằm bên phải trục tung.
[D]. Đồ thị hàm số mũ nằm bên trái trục tung.
Chọn đáp án A
Hàm số lôgarit chỉ xác định khi $x > 0$ nên đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung.
Câu 29. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau?
[A]. Đồ thị hàm số logarit nằm bên trên trục hoành.
[B]. Đồ thị hàm số mũ không nằm bên dưới trục hoành.
[C]. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
[D]. Đồ thị hàm số mũ với số mũ âm luôn có hai tiệm cận.
Chọn đáp án A
Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung và cả dưới, cả trên trục hoành.
Câu 30. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
[A]. \(y = {\log _{0,5}}x\)
[B]. \(y = {\log _2}x\)
[C]. \(y = – \dfrac{1}{3}x – \dfrac{1}{3}\)
[D]. \(y = – 3x + 1\)
Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(A(2; – 1)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( – 1 = {\log _a}2 \Rightarrow {a^{ – 1}} = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = 0,5\) . Hàm số \(y = {\log _{0,5}}x\).
Câu 31. Tìm a để hàm số \(y = {\log _a}x\)\(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có đồ thị là hình bên dưới:
[A]. \(a = \sqrt 2 \)
[B]. \(a = 2\)
[C]. \(a = \dfrac{1}{2}\)
[D]. \(a = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(A(2; – 1)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( – 1 = {\log _a}2 \Rightarrow {a^{ – 1}} = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = 0,5\) . Hàm số \(y = {\log _{0,5}}x\).
Phần 2: Vận dụng thấp
Câu 32. Tìm tập xác định $D$ của hàm số\(y = {\log _3}\dfrac{{10 – x}}{{{x^2} – 3x + 2}}\).
[A]. \(D = ( – \infty ;1) \cup (2;10)\)
[B]. \(D = (1; + \infty )\)
[C]. \(D = ( – \infty ;10)\)
[D]. \(D = (2;10)\)
Chọn đáp án A
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \dfrac{{10 – x}}{{{x^2} – 3x + 2}} > 0 \Leftrightarrow x < 1\)hoặc \(2 < x < 10\)
Tập xác định \(D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2;10} \right)\)
Câu 33. Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_3}(x – 2) – 3} \)?
[A]. $D = {\rm{[}}29; + \infty )$
[B]. \(D = (29; + \infty )\)
[C]. \(D = (2;29)\)
[D]. \(D = (2; + \infty )\)
Chọn đáp án A
Hàm số xác định \({\log _3}\left( {x – 2} \right) – 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 2 > 0\\x – 2 \ge {2^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 29\)
Tập xác định \(D = \left[ {29; + \infty } \right)\)
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số \(y = ({x^2} + 2x){e^{ – x}}\)?
[A]. \(y’ = ( – {x^2} + 2){e^{ – x}}\)
[B]. \(y’ = ({x^2} + 2){e^{ – x}}\)
[C]. \(y’ = x{e^{ – x}}\)
[D]. \(y’ = (2x – 2){e^x}\)
Chọn đáp án A
\(y = \left( {{x^2} + 2x} \right){e^{ – x}} \Rightarrow {y^/} = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^/}{e^{ – x}} + {\left( {{e^{ – x}}} \right)^/}\left( {{x^2} + 2x} \right)\)\( \Rightarrow {y^/} = \left( {2x + 2} \right){e^{ – x}} – {e^{ – x}}\left( {{x^2} + 2x} \right) = \left( { – {x^2} + 2} \right){e^{ – x}}\)
Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số \(y = \ln ({x^2} – 2mx + 4)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) ?
[A]. \( – 2 < m < 2\)
[B]. \(\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < – 2\end{array} \right.\)
[C]. \(m > – 2\)
[D]. \( – 2 \le m \le 2\)
Chọn đáp án A
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} – 2mx + 4 > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ‘ = {m^2} – 4 < 0 \Leftrightarrow – 2 < m < 2\)
Câu 36. Cho tập\(D = (3;4)\) và các hàm số \(f(x) = \dfrac{{2017}}{{\sqrt {{x^2} – 7x + 12} }}\), \(g(x) = {\log _{x – 3}}(4 – x)\),\(h(x) = {3^{{x^2} – 7x + 12}}\)
D là tập xác định của hàm số nào?
[A]. \(f(x)\)và \(f(x) + g(x)\)
[B]. \(f(x)\)và\(h(x)\)
[C]. \(g(x)\)và \(h(x)\)
[D]. \(f(x) + h(x)\)và \(h(x)\)
Chọn đáp án
[A]. Sử dụng điều kiện xác định của các hàm số.
Câu 37. Biết hàm số \(y = {2^x}\) có đồ thị là hình bên.
Khi đó, hàm số \(y = {2^{\left| x \right|}}\) có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn A, B, C, D dưới đây ?
Chọn đáp án A
Sử dụng lý thuyết phép suy đồ thị.
Câu 38. Cho hàm số \(y = ex + {e^{ – x}}\). Nghiệm của phương trình \(y’ = 0\)?
[A]. \(x = – 1\)
[B]. \(x = 1\)
[C]. \(x = 0\)
[D]. \(x = \ln 2\)
Chọn đáp án A
\(y = ex + {e^{ – x}} \Rightarrow {y^/} = e – {e^{ – x}}\). Suy ra\({y^/} = 0 \Leftrightarrow e – {e^{ – x}} = 0 \Leftrightarrow x = – 1\)
Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của a để hàm số \(y = {\log _a}x\)\(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có đồ thị là hình bên ?
[A]. \(a = \sqrt 2 \)
[B]. \(a = \sqrt 2 \)
[C]. \(a = \dfrac{1}{2}\)
[D]. \(a = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Chọn đáp án A
Nhận dạng đồ thị:
– Dựa vào đồ thị thì hàm đã cho đồng biến \( \Rightarrow \) loại C và [D].
Đồ thị đã cho qua điểm \(A\left( {2;2} \right)\). Thử với hai đáp án còn lại \( \Rightarrow \) loại [B].
Câu 40. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = {x^2}{e^x}\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\)?
[A]. e
[B]. \(\dfrac{1}{e}\)
[C]. 2e
[D]. 0
Chọn đáp án A
Trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\), ta có: \({f^/}\left( x \right) = x{e^x}\left( {x + 2} \right)\); \({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = – 2\) (loại).
Ta có: \(f\left( { – 1} \right) = \dfrac{1}{e};{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 0;{\rm{ }}f\left( 1 \right) = e\)
Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( x \right) = e\)
Câu 41. Cho hàm số \(y = {\log _2}\left( {2x} \right)\). Khi đó, hàm số \(y = \left| {{{\log }_2}\left( {2x} \right)} \right|\) có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây:
Chọn đáp án A
Sử dụng lý thuyết phép suy đồ thị.
Phần 3: Vận dụng cao
Câu 42. Tìm điều kiện xác định của phương trình \({\log ^4}(x – 1) + {\log ^2}{(x – 1)^2} = 25\)?
[A]. \(x > 1\)
[B]. \(x \ne 1\)
[C]. \(x \ge 1\)
[D]. \(x \in \mathbb{R}\)
Chọn đáp án A
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 > 0\\x – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)
Tập xác định \(D = \left( {1; + \infty } \right)\)
Câu 43. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^{|x|}}\) trên \(\left[ { – 2;2} \right]\)?
[A]. \(\max y = 4;\,\min y = – \dfrac{1}{4}\)
[B]. \(\max y = 4;miny = \dfrac{1}{4}\)
[C]. \(\max y = 1;miny = \dfrac{1}{4}\)
[D]. \(\max y = 4;miny = 1\)
Chọn đáp án A
Đặt \(t = \left| x \right|,\) với \(x \in \left[ { – 2;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;2} \right]\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\); \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 4\) ; \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} y = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 1\)
Hoặc với $x \in \left[ { – 2;2} \right] \Rightarrow \left| x \right| \in \left[ {0;2} \right]$ . Từ đây, suy ra: \({2^0} \le {2^{\left| x \right|}} \le {2^2} \Leftrightarrow 1 \le {2^{\left| x \right|}} \le 4\)
Câu 44. Chọn khẳng định đúng khi nói về hàm số \(y = \dfrac{{\ln x}}{x}\)
[A]. Hàm số có một điểm cực tiểu.
[B]. Hàm số có một điểm cực đại.
[C]. Hàm số không có cực trị.
[D]. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Chọn đáp án A
Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right);{\rm{ }}{y^/} = \dfrac{{1 – \ln x}}{{{{\ln }^2}x}};{\rm{ }}{y^/} = 0 \Leftrightarrow x = e\)
Hàm \({y^/}\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua \(x = e\) nên \(x = e\) là điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 45. Hình bên là đồ thị của ba hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = {\log _b}x\), \(y = {\log _c}x\)\(\left( {0 < a,b,c \ne 1} \right)\) được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
[A]. b > a > c
[B]. a > b > c
[C]. \(b > c > a\)
[D]. a > c > b
Chọn đáp án A
Do \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) là hai hàm dồng biến nên \(a,b > 1\)
Do \(y = {\log _c}x\) nghịch biến nên \(c < 1\). Vậy $c$ bé nhất.
Mặt khác: Lấy \(y = m\), khi đó tồn tại \({x_1},{\rm{ }}{x_2} > 0\) để \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = m\\{\log _b}{x_2} = m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^m} = {x_1}\\{b^m} = {x_2}\end{array} \right.\)
Dễ thấy \({x_1} < {x_2} \Rightarrow {a^m} < {b^m} \Rightarrow a < b\)
Vậy b > a > c.
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{1}{{\sqrt {2m + 1 – x} }} + {\log _3}\sqrt {x – m} \) xác định trên \(\left( {2;3} \right)\).
[A]. \(1 \le m \le 2\)
[B]. \(1 < m \le 2\)
[C]. \( – 1 < m < 2\)
[D]. \( – 1 \le m \le 2\)
Chọn đáp án A
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 – x > 0\\x – m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2m + 1\\x > m\end{array} \right.\)
Suy ra, tập xác định của hàm số là \(D = \left( {m;2m + 1} \right)\), với \(m \ge – 1\).
Hàm số xác định trên \(\left( {2;3} \right)\) suy ra \(\left( {2;3} \right) \subset D \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\2m + 1 \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ge 1\end{array} \right.\)
Câu 47. Cho hàm số $y = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) – \sqrt {1 + {x^2}} $ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
[A]. Hàm số giảm trên khoảng \((0; + \infty )\)
[B]. Hàm số tăng trên khoảng \((0; + \infty )\)
[C]. Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
[D]. Hàm số có đạo hàm \(y’ = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\)
Chọn đáp án A
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Đạo hàm: \({y^/} = \ln \left( {1 + \sqrt {1 + {x^2}} } \right);{\rm{ }}{y^/} = 0 \Leftrightarrow 1 + \sqrt {1 + {x^2}} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
Lập bảng biến thiên :
Câu 48. Đối với hàm số \(y = \ln \dfrac{1}{{x + 1}}\) , Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
[A]. \(xy’ + 1 = {e^y}\)
[B]. \(xy’ – 1 = – {e^y}\)
[C]. \(xy’ + 1 = – {e^y}\)
[D]. \(xy’ – 1 = {e^y}\)
Chọn đáp án A
\(y = \ln \dfrac{1}{{x + 1}} = – \ln \left( {x + 1} \right) \Rightarrow {y^/} = – \dfrac{1}{{x + 1}}\)
Ta có: \(xy’ + 1 = x\left( { – \dfrac{1}{{x + 1}}} \right) + 1 = – \dfrac{x}{{x + 1}} + 1 = \dfrac{1}{{x + 1}}\), \({e^y} = {e^{\ln \dfrac{1}{{x + 1}}}} = \dfrac{1}{{x + 1}}\) .
Câu 49. Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\)là:
[A]. \(y’ = \dfrac{{4{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
[B]. \(y’ = \dfrac{{{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
[C]. \(y’ = \dfrac{{2{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
[D]. \(y’ = \dfrac{{3{e^{2x}}}}{{{{({e^{2x}} + 1)}^2}}}\)
Chọn đáp án A
Ta biến đổi hàm số về dạng\(y = \dfrac{{{e^{2x}} – 1}}{{{e^{2x}} + 1}}\)\( \Rightarrow {y^/} = \dfrac{{{{\left( {{e^{2x}} – 1} \right)}^/}\left( {{e^{2x}} + 1} \right) – {{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^/}\left( {{e^{2x}} – 1} \right)}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{4{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^2}}}\).
Câu 50. Cho hàm số y = sin(x). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
[A]. xy” – 2y’ + xy = – 2sinx
[B]. xy’ + yy” – xy’ = 2sinx
[C]. xy’ + yy’ – xy’ = 2sinx
[D]. xy” + y’ – xy =2cosx – 2sinx
Chọn đáp án A
\(y = x\sin x \Rightarrow {y^/} = \sin x + x\cos x \Rightarrow {y^{//}} = 2\cos x – x\sin x\)
Ta có: \(x{y^{//}} – 2{y^/} + xy = x\left( {2\cos x – x\sin x} \right) – 2\left( {\sin x + x\cos x} \right) + x.\left( {x\sin x} \right)\)\( = – 2\sin x\)
Câu 51. Hình bên là đồ thị của ba hàm số \(y = {a^x}\), \(y = {b^x}\), \(y = {c^x}\)\(\left( {0 < a,b,c \ne 1} \right)\) được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
[A]. b > a > c
[B]. a > b > c
[C]. a > c > b
[D]. c > b > a
Chọn đáp án A
Do \(y = {a^x}\) và \(y = {b^x}\) là hai hàm đồng biến nên \(a,b > 1\).
Do \(y = {c^x}\) nghịch biến nên \(c < 1\). Vậy $x$ bé nhất.
Mặt khác: Lấy \(x = m\), khi đó tồn tại \({y_1},{\rm{ }}{{\rm{y}}_2} > 0\) để \(\left\{ \begin{array}{l}{a^m} = {y_1}\\{b^m} = {y_2}\end{array} \right.\)
Dễ thấy \({y_1} < {y_2} \Rightarrow {a^m} < {b^m} \Rightarrow a < b\)
Vậy b > a > c.
- Nhận dạng đồ thị hàm số, khảo sát hàm số, toán 12
- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Cách tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, khảo sát hàm số