Bài tập viết phương trình dao động điều hòa

I- DẠNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.

1. Phương pháp.

Phương trình dao động tổng quát: \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}Acos\left( {\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right)\)

– Bước 1: Tìm A: $\left\{ \begin{array}{l}
A = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{\omega } = \dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{L}{2} = \dfrac{S}{4} = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}^2}}{{{a_{{\rm{max}}}}}}\\
{A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {\dfrac{a}{{{\omega ^4}}}^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}
\end{array} \right.$

• L: chiều dài quỹ đạo của dao động
• S: quãng đường vật đi được trong một chu kì

– Bước 2: Tìm Tìm  \(\omega\): \(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}  = 2\pi f = \dfrac{{2\pi }}{T} = \sqrt {\dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{A}}  = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{A} = \dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{v_{{\rm{max}}}}}} = \sqrt {\dfrac{{{v^2}}}{{{A^2} – {x^2}}}} \)

Trong đó:

• Chu kì T: \(T = \dfrac{t}{N}\)
• Tần số f: \(f = \dfrac{N}{t}\)
• N là số dao động vật thực hiện được trong khoảng thời gian t

– Bước 3: Tìm \(\varphi \)

Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}x = Ac{\rm{os}}\varphi \\{\rm{v =  – A}}\omega {\rm{sin}}\varphi \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{{{x_0}}}{A}\\\sin \varphi  =  – \dfrac{v}{{A\omega }}\end{array} \right. \to \varphi  = ?ìe

• nếu \(v > 0 \to \sin \varphi < 0\) vật chuyển động theo chiều dương
• nếu \(v < 0 \to \sin \varphi > 0\) vật chuyển động theo chiều âm

Ta có thể thay đổi thứ tự các bước tùy theo tính chất đề bài.

2. Ví dụ:

Hướng dẫn:

Ta có:

\(A{\rm{ }} = {\rm{ }}4cm\)

\(f = 10{\rm{ }}Hz \to \omega  = 2\pi f = 2\pi .10 = 20\pi {\rm{ }}ra{\rm{d}}/s\)

Tại t = 0: \(x = A \to \varphi  = 0\)

=> Phương trình dao động : \(x = 4c{\rm{os(20}}\pi t{\rm{)}}\)

Chọn B

Hướng dẫn:

Chu kì: \(T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{{31,4}}{{100}} = 0,314{\rm{s}}\)

\( \to \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{{0,314}} = 20{\rm{r}}a{\rm{d}}/s\)

Sử dụng hệ thức độc lập A-x-v:

\(\begin{array}{l}{A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {2^2} + \dfrac{{{{(40\sqrt 3 )}^2}}}{{{{20}^2}}} = 16\\ \to A = 4cm\end{array}\)

Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\v < 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}Ac{\rm{os}}\varphi {\rm{ = 2}}\\{\rm{sin}}\varphi {\rm{ > 0}}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\\{\rm{sin}}\varphi {\rm{ > 0}}\end{array} \right. \to \varphi  = \dfrac{\pi }{3}\)

=> Phương trình dao động: \(x = 4cos(20t + \dfrac{\pi }{3}){\rm{ }}cm\)

Chọn D

II- DẠNG 2: CHO PHƯƠNG TRÌNH VẬN TỐC HOẶC GIA TỐC – TÌM PHƯƠNG TRÌNH LI ĐỘ X

1. Phương pháp:

Giả sử phương trình của v và a là: \(\left\{ \begin{array}{l}v = \omega Ac{\rm{os(}}\omega {\rm{t + }}{\varphi _v})\\a = \omega {\rm{Acos(}}\omega {\rm{t + }}{\varphi _a})\end{array} \right.\)

– Bước 1: Tìm A, ω: từ phương trình của v hoặc a.

– Bước 2: Tìm \({\varphi _x}:\left\{ \begin{array}{l}{\varphi _x} = {\varphi _v} – \dfrac{\pi }{2}\\{\varphi _x} = {\varphi _a} – \pi \end{array} \right.\)

(do vận tốc nhanh pha hơn x một góc \(\pi /2\) và gia tốc a ngược pha với x)

III- DẠNG 3: DAO ĐỘNG CÓ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT

Phương pháp:

– \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a \pm Acos(\omega t{\rm{ }} + \varphi )\) với a = const

• Biên độ là A
• tần số góc là \(\omega \)
• pha ban đầu \(\varphi \)
• x là toạ độ
• \({x_0} = Acos(\omega t{\rm{ }} + \varphi )\) là li độ.
• Toạ độ vị trí cân bằng \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a\)
• toạ độ vị trí biên \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a \pm A\)
• Vận tốc \(v = {\rm{ }}x’ = {\rm{ }}{x_0}’\)
• gia tốc \(a{\rm{ }} = v’ = x” = {x_0}”\)

Hệ thức độc lập: \(a{\rm{ }} =  – {\omega ^2}{x_0};{A^2} = x_0^2 + {(\dfrac{v}{\omega })^2}\)

– \(x = a \pm Aco{s^2}(\omega t{\rm{ }} + \varphi )\) (ta hạ bậc)

• Biên độ A/2
• tần số góc \(2\omega \)
• pha ban đầu \(2\varphi \)