Liên hệ giữa x v a p, F  giá trị tức thời của các đại lượng

Hệ thức đúng là:

${{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$

Ta có: ${{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$ → $\omega =\dfrac{\left| v \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}$.

Hệ thức viết sai: $\omega =v\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$

Luôn có:${{\left( \dfrac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega A} \right)}^{2}}=1$(*)

Khi |x| = 0,5A, (*) →${{\left( \dfrac{0,5\text{A}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega A} \right)}^{2}}=1\to \left| v \right|=\dfrac{\omega A\sqrt{3}}{2}$.

Luôn có:${{\left( \dfrac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1$(*)

Khi |x| =$\dfrac{A\sqrt{2}}{2}$ , (*) →${{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\to \left| v \right|=\dfrac{{{v}_{\max }}\sqrt{2}}{2}$.

Luôn có:${{\left( \dfrac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega A} \right)}^{2}}=1$(*)

Khi |x| =$\dfrac{A\sqrt{3}}{2}$, (*) →${{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega A} \right)}^{2}}=1\to \left| v \right|=\dfrac{\omega A}{2}$.

Luôn có:${{\left( \dfrac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1$(*)

Khi $\left| v \right|=0,6{{v}_{\max }}$, (*) →${{\left( \dfrac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{0,6{{v}_{\max }}}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\to \left| x \right|=0,8A$.

Luôn có:${{\left( \dfrac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega A} \right)}^{2}}=1$(*)

Khi |x| = 0,6A, (*) →${{\left( 0,6 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega A} \right)}^{2}}=1\to \left| v \right|=0,8\omega A$.

${\left( {\dfrac{v}{{\omega A}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{a}{{{\omega ^2}A}}} \right)^2} = 1 \to {\left( {\dfrac{v}{\omega }} \right)^2} + {\left( {\dfrac{a}{{{\omega ^2}}}} \right)^2} = {A^2}$

Luôn có: ${{\left( \dfrac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1$ (*)

Khi $\left| v \right|=\dfrac{{{v}_{\max }}}{2}$, (*) →${{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\to \left| a \right|=\dfrac{{{a}_{\max }}\sqrt{3}}{2}$.

Luôn có: ${{\left( \dfrac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1$ (*)

Khi $\left| a \right|=\dfrac{{{\omega }^{2}}A\sqrt{2}}{2}$, (*) →${{\left( \dfrac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=1\to \left| v \right|=\dfrac{\omega A\sqrt{2}}{2}$.

Luôn có: ${{\left( \dfrac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1$ (*)

Khi $\left| v \right|=0,6{{v}_{\max }}$, (*) →${{\left( 0,6 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\to \left| a \right|=0,8{{a}_{\max }}$.

Vận tốc tức thời v và gia tốc tức thời a của vật có hệ thức đúng là: a = – ω²x.

Luôn có: ${{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\to {{5}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{1}^{2}}}={{10}^{2}}\to \left| v \right|=5\sqrt{3}$cm/s.

T = 2 s → ω = π rad/s

Luôn có: ${{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\to {{6}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\pi }^{2}}}={{10}^{2}}\to \left| v \right|=8\pi \approx 25,13$cm/s.

Luôn có: ${{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\to {{5}^{2}}+\dfrac{{{25}^{2}}}{{{5}^{2}}}={{A}^{2}}\to A=5\sqrt{2}$cm.

$A=\dfrac{L}{2}=10$ cm.

Luôn có: ${{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\to {{6}^{2}}+\dfrac{{{\left( 8\pi \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{10}^{2}}\to \omega =\pi $rad/s → T = 2 s.

vmax = 8π cm/s.

Luôn có: ${{\left( \dfrac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\to {{\left( \dfrac{3,2}{A} \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 4,8\pi \right)}^{2}}}{{{\left( 8\pi \right)}^{2}}}={{1}^{2}}\to A=4$cm → ω = 2π → f = 1 Hz.

v_max = 20 cm/s; a_max = 0,8 m/s² = 80 cm/s² → ω = 4 rad/s; A = 5 cm.

Khi $\left| x \right|=4\text{ }cm$ cm thì ${{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\to {{4}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{4}^{2}}}={{5}^{2}}\to \left| v \right|=12$cm/s.

${{v}_{tb(T)}}=\dfrac{4\text{A}}{T}=\dfrac{2\omega A}{\pi }=20\to {{v}_{\max }}=\omega A=10\pi $cm/s.

Khi $\left| x \right|=4\text{ }cm$ cm thì ${{\left( \dfrac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\to {{\left( \dfrac{2,5\sqrt{3}}{A} \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 5\pi \right)}^{2}}}{{{\left( 10\pi \right)}^{2}}}={{1}^{2}}\to A=5$cm → ω = 2π → T = 1 s.

$\Delta t=\dfrac{2}{3}s=\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{6}\to {{S}_{\max }}=2A+2A\sin \dfrac{\pi }{6}=3A=15$cm .

Phương trình tổng quát cần tìm $\text{x}=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$.

$T=\dfrac{31,4}{100}=0,314\left( s \right)$→ $\omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2.3,14}{0,314}=20\left( rad/s \right)$.

$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1\Leftrightarrow A=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( 40 \right)}^{2}}}{{{20}^{2}}}}=4\left( cm \right)$.

Gốc thời gian t = 0: vật qua x = $2\sqrt{3}$cm (+) hay $\dfrac{A\sqrt{3}}{2}$(+)$\to \varphi =-\dfrac{\pi }{6}\left( rad \right)$.

→ Vậy phương trình dao động cần tìm: $x=4\cos (20t-\dfrac{\pi }{6})(cm)$.

Phương trình tổng quát cần tìm $\text{x}=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$.

So sánh $\dfrac{{{x}^{2}}}{48}+\dfrac{{{v}^{2}}}{0,768}=1$ với hệ thức độc lập của x và v: $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1$ ta rút ra được:

$\left\{ \begin{array}{l}{A^2} = 48{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\\{\omega ^2}{A^2} = 0,768{\rm{ }}{\left( {{\rm{m/s}}} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\\\omega = 4\sqrt {10} = 4\pi \left( {rad/s} \right)\end{array} \right.$.

Gốc thời gian t = 0: vật qua x = -$2\sqrt{3}$cm (+) hay $-\dfrac{A}{2}$(+)$\to \varphi =-\dfrac{2\pi }{3}\left( rad \right)$.

→ Vậy phương trình dao động cần tìm: $x=4\sqrt{3}\cos \left( 4\pi t-\dfrac{2\pi }{3} \right)cm$.

Phương trình tổng quát cần tìm $\text{x}=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$(*).

So sánh $\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{v}^{2}}}{640}=1$ với hệ thức độc lập của x và v: $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1$, ta rút ra được:

$\left\{ \begin{array}{l}{A^2} = 16\\{\omega ^2}{A^2} = 640\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 4\left( {cm} \right)\\\omega = 2\sqrt {10} = 2\pi \left( {rad/s} \right)\end{array} \right.$.

Tại thời điểm t = $\dfrac{67}{12}\left( s \right)$, vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm, do đó pha dao động ${{\Phi }_{\dfrac{67}{12}\left( s \right)}}=\dfrac{\pi }{2}\left( rad \right)$.

Theo$\left( * \right)$, ta có: ${{\Phi }_{\dfrac{67}{12}\left( s \right)}}=2\pi .\dfrac{67}{12}+\varphi =\dfrac{\pi }{2}\Leftrightarrow \varphi =-10\pi -\dfrac{2\pi }{3}\equiv -\dfrac{2\pi }{3}\left( rad \right)$

→ Vậy phương trình dao động cần tìm: $x=4\cos \left( 2\pi t-\dfrac{2\pi }{3} \right)\left( cm \right)$.

Khi x = $-\dfrac{A}{2}$ → $\left| v \right|=\dfrac{{{v}_{\max }}\sqrt{3}}{2}=20\pi \sqrt{3}\to {{v}_{\max }}=40\pi $cm/s

${{v}_{tb\left( \dfrac{T}{2} \right)}}=\dfrac{2\text{A}}{0,5T}=\dfrac{2{{v}_{\max }}}{\pi }=\dfrac{2.40\pi }{\pi }=80$ cm/s = 0,8 m/s

Phương trình tổng quát cần tìm $\text{x}=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$.

Tại t = 0: $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{{{5}^{2}}+\dfrac{{{\left( 10\pi \right)}^{2}}}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}}=5\sqrt{2}\left( cm \right)$.

Lưu ý: v = $10\pi $ > 0 → tại t = 0, vật đang đi theo chiều dương

Do đó, gốc thời gian t = 0: vật qua x = 5 cm (+) hay $\dfrac{A}{\sqrt{2}}(+)$$\to \varphi =-\dfrac{\pi }{4}\left( rad \right)$.

→ Vậy phương trình dao động cần tìm: $x=5\sqrt{2}c\text{os}(2\pi t-\dfrac{\pi }{4})\,\,(cm)$.

Phương trình tổng quát cần tìm $\text{x}=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$.

Tại t = 0: $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+\dfrac{{{\left( 20\sqrt{15} \right)}^{2}}}{{{\left( 10\sqrt{5} \right)}^{2}}}}=4\left( cm \right)$.

Lưu ý: v = $-20\sqrt{15}$ < 0 → tại t = 0, vật đang đi theo chiều âm

Do đó, gốc thời gian t = 0: vật qua x = 2 cm (-) hay $\dfrac{A}{2}(-)$$\to \varphi =\dfrac{\pi }{3}\left( rad \right)$.

→ Vậy phương trình dao động cần tìm: $x=4\cos (10\sqrt{5}t+\dfrac{\pi }{3})\,\,(cm)$.

Phương trình tổng quát cần tìm $\text{x}=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$.

$\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}=10\sqrt{10}\text{ }\left( rad/s \right)$.

Tại t = 0: $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{{{5}^{2}}+\dfrac{{{\left( 50\sqrt{30} \right)}^{2}}}{{{\left( 10\sqrt{10} \right)}^{2}}}}=10\left( cm \right)$.

→ tại t = 0: vật qua x = 5 cm ra xa VTCB hay $\dfrac{A}{2}(+)$$\to \varphi =-\dfrac{\pi }{3}\left( rad \right)$.

→ Vậy phương trình dao động cần tìm: $x=10\cos \left( 10\sqrt{10}t-\dfrac{\pi }{3} \right)cm.$

Phương trình tổng quát cần tìm $\text{x}=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$(*).

$\omega =2\pi f=6\pi \text{ }\left( rad/s \right)$.

Tại t = 1,5s: $A=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+\dfrac{{{\left( 24\pi \sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{\left( 6\pi \right)}^{2}}}}=8\left( cm \right)$.

→ tại t = 1,5s: vật qua x = 4 cm hướng về VTCB hay $\dfrac{A}{2}(-)$$\to {{\phi }_{1,5\text{s}}}=\dfrac{\pi }{3}\left( rad \right)$.

Từ (*) → $\to {{\phi }_{1,5\text{s}}}=\dfrac{\pi }{3}=6\pi .1,5+\varphi \to \varphi =-\dfrac{26\pi }{3}\equiv -\dfrac{2\pi }{3}$

→ Vậy phương trình dao động cần tìm: $x=8\cos (6\pi t-\dfrac{2\pi }{3})\text{ }\left( cm \right)$.

$\left\{ \begin{array}{l}{t_1}:{\rm{ }}x_1^2 + \dfrac{{v_1^2}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\left( 1 \right)\\{t_2}:{\rm{ }}x_2^2 + \dfrac{{v_2^2}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ }}x_1^2 + \dfrac{{v_1^2}}{{{\omega ^2}}} = x_2^2 + \dfrac{{v_2^2}}{{{\omega ^2}}} \Rightarrow \omega = \sqrt {\dfrac{{v_1^2 – v_2^2}}{{x_2^2 – x_1^2}}} $

$\left( 1 \right)+\left( 2 \right)\to {{A}^{2}}=\dfrac{x_{1}^{2}+\dfrac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+x_{2}^{2}+\dfrac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}{2}=\dfrac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-v_{2}^{2}x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}$

$\left\{ \begin{array}{l}{t_1}:{\rm{ }}x_1^2 + \dfrac{{v_1^2}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\left( 1 \right)\\{t_2}:{\rm{ }}x_2^2 + \dfrac{{v_2^2}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ }}x_1^2 + \dfrac{{v_1^2}}{{{\omega ^2}}} = x_2^2 + \dfrac{{v_2^2}}{{{\omega ^2}}} \Rightarrow \omega = \sqrt {\dfrac{{v_1^2 – v_2^2}}{{x_2^2 – x_1^2}}} = 2\pi \left( {ra{\rm{d/s}}} \right) \Rightarrow f = 1\left( {H{\rm{z}}} \right)$

$\left( 1 \right)+\left( 2 \right)\to {{A}^{2}}=\dfrac{x_{1}^{2}+\dfrac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+x_{2}^{2}+\dfrac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}{2}=\dfrac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-v_{2}^{2}x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}\Rightarrow A=4\left( cm \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}{t_1}:{\rm{ }}x_1^2 + \dfrac{{v_1^2}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\left( 1 \right)\\{t_2}:{\rm{ }}x_2^2 + \dfrac{{v_2^2}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ }}x_1^2 + \dfrac{{v_1^2}}{{{\omega ^2}}} = x_2^2 + \dfrac{{v_2^2}}{{{\omega ^2}}} \Rightarrow \omega = \sqrt {\dfrac{{v_1^2 – v_2^2}}{{x_2^2 – x_1^2}}} = 2,5\left( {ra{\rm{d/s}}} \right)$

$\left( 1 \right)+\left( 2 \right)\to {{A}^{2}}=\dfrac{x_{1}^{2}+\dfrac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+x_{2}^{2}+\dfrac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}{2}=\dfrac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-v_{2}^{2}x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}\Rightarrow A=16\left( cm \right)$

→ v_max = Aω = 40 cm/s.

ω = π rad/s

Khi $\phi =\dfrac{\pi }{4}$: $\text{x}=\dfrac{A\sqrt{2}}{2}(-)$ →$v=-\dfrac{{{v}_{\max }}\sqrt{2}}{2}=-\dfrac{\omega A\sqrt{2}}{2}=-1\to A=45\text{ }cm.$

$\left\{ \begin{array}{l}{t_1}:{\rm{ }}x_1^2 + \dfrac{{v_1^2}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\left( 1 \right)\\{t_2}:{\rm{ }}x_2^2 + \dfrac{{v_2^2}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ }}x_1^2 + \dfrac{{v_1^2}}{{{\omega ^2}}} = x_2^2 + \dfrac{{v_2^2}}{{{\omega ^2}}} \Rightarrow \omega = \sqrt {\dfrac{{v_1^2 – v_2^2}}{{x_2^2 – x_1^2}}} = 5\left( {ra{\rm{d/s}}} \right)$

$\left( 1 \right)+\left( 2 \right)\to {{A}^{2}}=\dfrac{x_{1}^{2}+\dfrac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+x_{2}^{2}+\dfrac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}{2}=\dfrac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-v_{2}^{2}x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}\Rightarrow A=6\left( cm \right)$

→ v_max = Aω = 30 cm/s.

Trong 1 chu kì, điểm pha P chạy được 1 vòng (2π).

Vậy khi pha dao động $\phi =\dfrac{2\pi }{6}=\dfrac{\pi }{3}$: $\text{x}=\dfrac{A}{2}(-)$ → $v=-\dfrac{\omega A\sqrt{3}}{2}=-6\pi \sqrt{3}$.

Phương trình tổng quát cần tìm $x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)\left( * \right)$.

Bài đã cho: A = 4 cm, $\omega =\dfrac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right)$.

Xác định pha ban đầu:

Tại t = 0,25 s, áp dụng công thức độc lập x và v:

${{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\to \left| x \right|=\sqrt{{{A}^{2}}-\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{{{4}^{2}}-\dfrac{{{\left( -2\pi \sqrt{2} \right)}^{2}}}{{{\pi }^{2}}}}=2\sqrt{2}\left( cm \right)$.

Công thức độc lập của a và x: $a=-{{\omega }^{2}}x$cho ta biết rằng a và x tại một thời điểm luôn trái dấu, vì vậy tại 0,25 s có a > 0 thì x < 0 $\to x=-2\sqrt{2}\left( cm \right)$.

Lại có $v=-2\pi \sqrt{2}$ > 0, do đó vật đang đi theo chiều âm tại t = 0,25 s.

Tóm lại tại t = 0,25 s vật có li độ $x=-2\sqrt{2}\text{ }cm\left( \dfrac{-A\sqrt{2}}{2} \right)$và đi theo chiều âm$\to {{\phi }_{0,25\left( s \right)}}=\dfrac{3\pi }{4}\left( rad \right)$.

Theo$\left( * \right)$, ta có: ${{\phi }_{0,25\left( s \right)}}=\pi .0,25+\varphi =\dfrac{3\pi }{4}\Leftrightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{2}\left( rad \right)$

→ Vậy phương trình dao động cần tìm: x = 4cos(πt + 0,5π) cm.

Dễ thấy: $v=-20\sqrt{5}=-\dfrac{{{v}_{\max }}\sqrt{2}}{2}\to \left| x \right|=\dfrac{A\sqrt{2}}{2}(-)$, do a > 0 → x < 0 → $x=-\dfrac{A\sqrt{2}}{2}(-)$

Vậy tại t = 0: vật có $x=-\dfrac{A\sqrt{2}}{2}(-)$→ $\varphi =\dfrac{3\pi }{4}$ .

a_max = ω.v_max = 80 cm/s².

Luôn có: ${{\left( \dfrac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1$ →${{\left( \dfrac{10\sqrt{3}}{20} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\to \left| a \right|=0,5{{a}_{\max }}=40$cm/s².

$\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}=10\sqrt{10}$ rad/s.

Luôn có: ${{\left( \dfrac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1$ →${{\left( \dfrac{10\sqrt{10}}{10\sqrt{10}.\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{{{\left( 10\sqrt{10} \right)}^{2}}\sqrt{2}} \right)}^{2}}=1\to \left| a \right|=10$m/s².

Khi qua vị trí cân bằng, vật có tốc độ cực đại ${{v}_{m\text{ax}}}=\omega A=20\left( cm/s \right)$.

$\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\left( \omega A \right)}^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\left( {{\omega }^{2}}A \right)}^{2}}}=1\Leftrightarrow \dfrac{{{10}^{2}}}{{{20}^{2}}}+\dfrac{{{\left( 40\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{\left( 20\omega \right)}^{2}}}=1\Rightarrow \omega =4\left( rad/s \right)$. Do đó : A = 5 cm.

$\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}=10$rad/s

$\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{20}^{2}}}{{{10}^{2}}}+\dfrac{{{\left( 200\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{10}^{4}}}={{A}^{2}}\Rightarrow A=4\text{ }cm$.

$\dfrac{{{v}^{2}}}{360}+\dfrac{{{a}^{2}}}{1,44}=1$, trong đó v (cm/s), a (m/s2); so sánh với hệ thức độc lập: $\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\left( \omega A \right)}^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\left( {{\omega }^{2}}A \right)}^{2}}}=1$

$ \to \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\omega A} \right)^2} = 360{\left( {cm/s} \right)^2}\\{\left( {{\omega ^2}A} \right)^2} = 1,44{\left( {m/{s^2}} \right)^2}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\omega A = 6\pi {\rm{ cm/s}}\\{\omega ^2}A = 1,2{\rm{ m/}}{{\rm{s}}^2} = 120{\rm{ cm/}}{{\rm{s}}^2}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\omega = 2\pi {\rm{ cm/s}}\\A = 3{\rm{ cm}}\end{array} \right.$ .

Phương trình tổng quát cần tìm $\text{x}=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$.

ω = π rad/s.

Tại t = 0: $A=\sqrt{\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( \pi \sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{\pi }^{2}}}+\dfrac{{{\left( 10 \right)}^{2}}}{{{\pi }^{4}}}}=2\text{ }cm$.

Lại có: a = -ω²x → x = 1 cm, $v=-\pi \sqrt{3}$ < 0

Do đó, tại t = 0: vật có x = $\dfrac{\text{A}}{2}(-)$\to \varphi =\dfrac{\pi }{3}\left( rad \right)$.

→ Vậy phương trình dao động cần tìm: $x=2c\text{os}(\pi t+\dfrac{\pi }{3})\,\,(cm)$.

Phương trình tổng quát cần tìm $\text{x}=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$.

Tại t = 0:

|a| = ω2|x| → $100\sqrt{2}{{\pi }^{2}}={{\omega }^{2}}\sqrt{2}\to \omega =10\pi $

$A=\sqrt{\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( 10\pi \sqrt{2} \right)}^{2}}}{{{\left( 10\pi \right)}^{2}}}+\dfrac{{{\left( 100{{\pi }^{2}}\sqrt{2} \right)}^{2}}}{{{\left( 10\pi \right)}^{4}}}}=2\text{ }cm$.

Vật có gia tốc $a=-100{{\pi }^{2}}\sqrt{2}<0$ → x > 0: $x=\sqrt{2}$cm; vân tốc $v=-10\pi \sqrt{2}<0$

Do đó, tại t = 0, vật có $x=\dfrac{A\sqrt{2}}{2}(-)$→ $\varphi =\dfrac{\pi }{4}$

→ Vậy phương trình dao động cần tìm: $x=2c\text{os}(10\pi t+\dfrac{\pi }{4})\,\,(cm)$.

v_max = 40 cm/s = ωA.

$\left| v \right|=20\sqrt{3}=\dfrac{{{v}_{\max }}\sqrt{3}}{2}\to \left| a \right|=\dfrac{{{a}_{\max }}}{2}\text{= 200 cm/}{{\text{s}}^{2}}\to {{a}_{\max }}=400\text{ = }{{\omega }^{2}}A$ → ω = 10 rad/s → T = 0,2π s.

Khi qua vị trí cân bằng, vật có tốc độ cực đại ${{v}_{m\text{ax}}}=\omega A=20\left( cm/s \right)$.

$\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\left( \omega A \right)}^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\left( {{\omega }^{2}}A \right)}^{2}}}=1\Leftrightarrow \dfrac{{{10}^{2}}}{{{20}^{2}}}+\dfrac{{{\left( 50\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{\left( 20\omega \right)}^{2}}}=1\Rightarrow \omega =5\left( rad/s \right)$ → A = 4 cm.

$A=\sqrt{\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}}=\sqrt{\dfrac{{{40}^{2}}}{{{10}^{2}}}+\dfrac{{{\left( 400\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{10}^{4}}}}=8\text{ cm}\text{.}$

F_max = m.ω².A = 0,8 N.

Hai lần liên tiếp vật đi qua VTCB là $\Delta t=\dfrac{T}{2}=1\text{ s}\to T=2\text{ }s\to \omega =\pi \text{ rad}/s$

Tại t = 0:

$A=\sqrt{\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( \pi \sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{\pi }^{2}}}+\dfrac{{{\left( 10 \right)}^{2}}}{{{\pi }^{4}}}}=2\text{ }cm$.

Lại có: a = -ω²x → x = 1 cm, $v=-\pi \sqrt{3}$ < 0

Do đó, tại t = 0: vật có x = $\dfrac{\text{A}}{2}(-)$\to \varphi =\dfrac{\pi }{3}\left( rad \right)$.

→ Vậy phương trình dao động cần tìm: $x=2\cos (\pi t+\dfrac{\pi }{3})\,\,(cm)$.

$\left\{ \begin{array}{l} {t_1}:{\rm{ }}\dfrac{{{\rm{v}}_1^2}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{a_1^2}}{{{\omega ^4}}} = {A^2}\\ {t_2}:{\rm{ }}\dfrac{{{\rm{v}}_2^2}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{a_2^2}}{{{\omega ^4}}} = {A^2} \end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ }}\dfrac{{{\rm{v}}_1^2}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{a_1^2}}{{{\omega ^4}}} = {\rm{ }}\dfrac{{{\rm{v}}_2^2}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{a_2^2}}{{{\omega ^4}}} \Rightarrow \omega = \sqrt {\dfrac{{a_1^2 – a_2^2}}{{v_2^2 – v_1^2}}} .$

$\left\{ \begin{array}{l} {t_1}:{\rm{ }}\dfrac{{{\rm{v}}_1^2}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{a_1^2}}{{{\omega ^4}}} = {A^2}\\ {t_2}:{\rm{ }}\dfrac{{{\rm{v}}_2^2}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{a_2^2}}{{{\omega ^4}}} = {A^2} \end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ }}\dfrac{{{\rm{v}}_1^2}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{a_1^2}}{{{\omega ^4}}} = {\rm{ }}\dfrac{{{\rm{v}}_2^2}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{a_2^2}}{{{\omega ^4}}} \Rightarrow \omega = \sqrt {\dfrac{{a_1^2 – a_2^2}}{{v_2^2 – v_1^2}}} = 10\left( {ra{\rm{d}}/s} \right)$

Tại t₂: a₂ = – ω²x₂ → x₂ = $\sqrt{3}$ cm.

Luôn có: a = – ω²x →${{\omega }^{2}}=400{{\pi }^{2}}\to \omega =20\pi \to T=0,1\text{ s}\text{.}$

Vậy trong 2 s số dao động toàn phần vật thực hiện được là $\dfrac{\Delta t}{T}=\dfrac{2}{0,1}=20$.

Luôn có: a = – ω²x →${{\omega }^{2}}=400\to k=m{{\omega }^{2}}=100\text{ N/m}\text{.}$

Gia tốc a tỉ lệ với li độ x (a = – ω²x).

Gọi I là trung điểm của MN, luôn có: ${{x}_{I}}=\dfrac{{{x}_{M}}+{{x}_{N}}}{2}\to {{a}_{I}}=\dfrac{{{a}_{M}}+{{a}_{N}}}{2}$ = 35 cm/s².

Gia tốc a tỉ lệ với li độ x (a = – ω²x).

M là trung điểm của AB, luôn có: ${{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}\to {{a}_{M}}=\dfrac{{{a}_{A}}+{{a}_{B}}}{2}$ = 2 cm/s².

Có: a = – ω²x, khi x = – 1 cm thì a = 1 m/s² = 100 cm/s² → ω² = 100.

→ Khi x = 4 cm thì a = – 100.4 = -400 cm/s² = – 4 m/s².

Độ lớn gia tốc là 4 m/s².

Có: a = – ω²x → ω² = 100.

A = $\dfrac{{{a}_{\max }}}{{{\omega }^{2}}}$ = 6 cm.

$a=-{{\omega }^{2}}x$, nghĩa rằng a và x luôn trái dấu nhau → M có li độ dương và N có li độ âm (xM > xN)

Lại có CM = 2.CN, do đó: ${{x}_{M}}-{{x}_{C}}=2({{x}_{C}}-{{x}_{N}})\Leftrightarrow 3{{x}_{C}}={{x}_{M}}+2{{x}_{N}}\to {{x}_{C}}=\dfrac{{{x}_{M}}+2{{x}_{N}}}{3}$.

Mà $a=-{{\omega }^{2}}x\to a\sim x$(a tỉ lệ với x)$\Rightarrow {{a}_{C}}=\dfrac{{{a}_{M}}+2{{a}_{N}}}{3}=\dfrac{-3+2.6}{3}=3\left( m/{{s}^{2}} \right)$

a_M < a_N → $\dfrac{{{a}_{M}}}{-{{\omega }^{2}}}>\dfrac{{{a}_{N}}}{-{{\omega }^{2}}}$ hay x_M > x_N

Lại có CM = 4.CN, do đó: ${{x}_{M}}-{{x}_{C}}=4({{x}_{C}}-{{x}_{N}})\Leftrightarrow 5{{x}_{C}}={{x}_{M}}+4{{x}_{N}}\to {{x}_{C}}=\dfrac{{{x}_{M}}+4{{x}_{N}}}{5}$.

Mà $a=-{{\omega }^{2}}x\to a\sim x$(a tỉ lệ với x)$\Rightarrow {{a}_{C}}=\dfrac{{{a}_{M}}+4{{a}_{N}}}{5}=3,6\left( m/{{s}^{2}} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\\ \left| F \right| = m{\omega ^2}\left| x \right| \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {4^2} + \dfrac{{{{15}^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\\ \left| {0,25} \right| = 0,25{\omega ^2}\left| {0,04} \right| \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 5\left( {cm} \right)\\ {\omega ^2} = 25 \end{array} \right.$

$\omega =20$rad/s → v_max = ωA = 80 cm/s.

$\left| v \right|=40\sqrt{3}=\dfrac{{{v}_{\max }}\sqrt{3}}{2}\to \left| x \right|=\dfrac{A}{2}=2\text{ cm}\text{.}$ → |F_max| = mω²|x| = 0,8 N.

ω = 30 rad/s.

F = ma → m = 0,2 kg → k = mω² = 180 N/m.

${{10}^{3}}{{x}^{2}}={{10}^{5}}-{{v}^{2}}\to {{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{10}^{3}}}={{10}^{2}}\to A=10\text{ cm; }\omega \text{ = 10}\pi $rad/s

${{\left( \dfrac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1$ →${{\left( \dfrac{v}{10\pi .10} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{5000}{{{\left( 10\pi \right)}^{2}}10} \right)}^{2}}=1\to \left| v \right|=50\pi \sqrt{3}$cm/s.

Khi lực kéo về là F thì vận tốc của vật là v₁ → ${{\left( \dfrac{{{v}_{1}}}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{F}{{{F}_{\max }}} \right)}^{2}}=1$ (*)

Lực kéo về bằng 0 tại VTCB → v₂ = v_max

F_max = mω²A = $m\omega .{{v}_{\max }}=\sqrt{mk}.{{v}_{2}}$

Do đó, (*) → ${{\left( \dfrac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{F}{{{v}_{2}}\sqrt{mk}} \right)}^{2}}=1\to v_{1}^{2}+\dfrac{{{F}^{2}}}{mk}=v_{2}^{2}$.

Ta có tốc độ của một vật dao động tại li độ x là: $\left| v \right|=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$

Do 2 con lắc chung biên độ A, khi gặp nhau thì x1 = x2 (đặt = x), do đó:

→ $\dfrac{\left| {{v}_{1}} \right|}{\left| {{v}_{2}} \right|}=\dfrac{{{\omega }_{1}}\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{\omega }_{2}}\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\dfrac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}=\dfrac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\dfrac{1}{n}$.

Ta có tốc độ của một vật dao động tại li độ x là: $\left| v \right|=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$

Do 2 con lắc chung biên độ A, khi chúng cách đều VTCB thì |x₁| = |x₂| = b, do đó:

→ $\dfrac{\left| {{v}_{1}} \right|}{\left| {{v}_{2}} \right|}=\dfrac{{{\omega }_{1}}\sqrt{{{A}^{2}}-{{b}^{2}}}}{{{\omega }_{2}}\sqrt{{{A}^{2}}-{{b}^{2}}}}=\dfrac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}=\dfrac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=2$.

Khi vật có tốc độ v thì vật cách VTCB đoạn ${{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\to \left| x \right|=\sqrt{{{A}^{2}}-\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{{{A}^{2}}-\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\left( 2\pi f \right)}^{2}}}}$

Do 2 con lắc chung biên độ A, khi chúng cùng tốc độ 4,8πfA thì

→ $\dfrac{\left| {{x}_{2}} \right|}{\left| {{x}_{1}} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{A}^{2}}-\dfrac{{{\left( 4,8\pi f\text{A} \right)}^{2}}}{{{\left( 2\pi .4f \right)}^{2}}}}}{\sqrt{{{A}^{2}}-\dfrac{{{\left( 4,8\pi f\text{A} \right)}^{2}}}{{{\left( 2\pi .3f \right)}^{2}}}}}=\dfrac{4}{3}=\dfrac{12}{9}$.

Ta có: 2$x_{1}^{2}$ + 3$x_{2}^{2}$ = 50 (cm²) (1), đạo hàm hai vế phương trình này ta được (lưu ý: đạo hàm li độ theo thời gian cho vận tốc):

$4{{x}_{1}}{{v}_{1}}+6{{x}_{2}}{{v}_{2}}=0$ (2)

Tại thời điểm t, x₁ = 1 cm nên từ (1) rút ra: x₂ = $\pm 4$ cm.

Từ đó thế x₁, x₂ và v₁ vào phương trình (2), rút ra: v₂ = $\pm 2,5$cm/s.

Ta có: 4$x_{1}^{2}$ + 9$x_{2}^{2}$ = 25 (cm²) (1), đạo hàm hai vế phương trình này ta được:

$8{{x}_{1}}{{v}_{1}}+18{{x}_{2}}{{v}_{2}}=0$ (2)

Tại thời điểm t, x₁ = -2 cm nên từ (1) rút ra: x₂ = $\pm 1$ cm.

Từ đó thế x₁, x₂ và v₁ vào phương trình (2), rút ra: v₂ = $\pm 8$cm/s.

Ta có: $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ = 50 (cm²) (1), đạo hàm hai vế phương trình này ta được:

$2{{x}_{1}}{{v}_{1}}+2{{x}_{2}}{{v}_{2}}=0\to \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=-\dfrac{{{v}_{2}}}{{{v}_{1}}}$ (2)

Tại thời điểm t, x₁ = -1 cm nên từ (1) rút ra: x₂ = $\pm 7$ cm.

Do 2 vật đi ngược chiều nhau do đó $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=-\dfrac{{{v}_{2}}}{{{v}_{1}}}$ > 0 → x₂ cùng dấu x₁ < 0 → x₂ = -7 cm.

Ta có: $v_{1}^{2}+9v_{2}^{2}=900\text{ (cm/s}{{\text{)}}^{2}}$(1), đạo hàm hai vế phương trình này ta được (lưu ý: đạo hàm vận tốc theo thời gian t cho gia tốc):

$2{{v}_{1}}{{a}_{1}}+18{{v}_{2}}{{a}_{2}}=0$ (2)

Tại thời điểm t, v₁ = 15 cm/s nên từ (1) rút ra: v₂ = $\pm 5\sqrt{3}$ cm/s.

Từ đó thế v₁, v₂ và a₁ vào phương trình (2), rút ra: a₂ = $\pm 50$cm/s².