Bài toán va chạm con lắc lò xo

1. VA CHẠM THEO PHƯƠNG NGANG

Vật m chuyển động với vận tốc v₀ đến va chạm vào vật M đang đứng yên.

– Va chạm mềm:

\(m{v_0} = (m + M)V \Rightarrow V = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{M}{m}}}{v_0}\)

V: vận tốc của hệ hai vật M+m ở vị trí cân bằng

Nếu sau va chạm cả hai vật dao động điều hòa thì tần số và biên độ dao động của con lắc lò xo:

\(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{{m + M}}} ,A = \dfrac{V}{\omega }\)

– Va chạm đàn hồi:

\(\left\{ \begin{array}{l}m{v_0} = mv + MV\\\dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{1}{2}m{v^2} + \dfrac{1}{2}M{V^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}V = \dfrac{2}{{1 + \dfrac{M}{m}}}{v_0}\\v = \dfrac{{1 – \dfrac{M}{m}}}{{1 + \dfrac{M}{m}}}{v_0}\end{array} \right.\)

V: vận tốc của M ở vị trí cân bằng

Nếu sau va chạm M dao động điều hòa: \(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{M}} ,A = \dfrac{V}{\omega }\)

2. VA CHẠM THEO PHƯƠNG THẲNG ĐỨNG

Tốc độ của m ngay trước va chạm: \({v_0} = \sqrt {2gh} \)

– Va chạm mềm:

+ Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ đoạn \({x_0} = \dfrac{{mg}}{k}\)

+ Vận tốc của hệ sau va chạm: \(V = \dfrac{{m{v_0}}}{{m + M}}\)

+Biên độ sau va chạm: \(A = \sqrt {x_0^2 + \dfrac{{{V^2}}}{{{\omega ^2}}}} \)

• Xảy ra va chạm đúng lúc vật đến vị trí cao nhất thì sau va chạm: vật có li độ so với VTCB mới (A₀+x₀), biên độ mới \(A = \sqrt {{{({A_0} + {x_0})}^2} + \dfrac{{{V^2}}}{{{\omega ^2}}}} \)
• Xảy ra va chạm đúng lúc vật đến vị trí thấp nhất thì sau va chạm: vật có li độ so với VTCB mới (A₀-x₀), biên độ mới \(A = \sqrt {{{({A_0} – {x_0})}^2} + \dfrac{{{V^2}}}{{{\omega ^2}}}} \)

– Va chạm đàn hồi:

+ \(V = \dfrac{{2m{v_0}}}{{m + M}} \Rightarrow A = \dfrac{V}{\omega },\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{M}} \)

+ Nếu đúng lúc vật đến vị trí biên (x=±A₀) thì xảy ra va chạm: \(A = \sqrt {x_0^2 + \dfrac{{{V^2}}}{{{\omega ^2}}}} \)

3. SAU VA CHẠM ĐÀN HỒI HAI VẬT TÁCH RỜI Ở VỊ TRÍ CÂN BẰNG

– Giai đoạn 1:

Cả hai vật cùng dao động với biên độ A, tần số góc \(\omega = \sqrt {\dfrac{k}{{{m_1} + {m_2}}}} \)  và tốc độ cực đại v₀=ωA

– Giai đoạn 2:

Nếu đến VTCB m₂ tách ra khỏi m₁ thì m₁ dao động điều hòa với tần số góc và biên độ:

\(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{{{m_1}}}} ,A’ = \dfrac{{{v_0}}}{\omega } = A\sqrt {\dfrac{{{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \)

(Vì tốc độ cực đại không đổi vẫn là v_o)

m₂ chuyển động thẳng đều với vận tốc v₀ và khi đến vị trí biên dương (lần 1) thì m₂ đi được quãng đường: \(S = {v_0}\dfrac{{T’}}{4} = \dfrac{1}{2}\pi A\sqrt {\dfrac{{{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \)

Lúc này khoảng cách giữa hai vật: \(\Delta x = S – A’\)