Điện xoay chiều, mạch điện có sự thay đổi

Khi đặt u lên từng linh kiện thì cường độ dòng hiệu dụng đều là 50 mA nên: $R={{Z}_{L}}={{Z}_{C}}=\dfrac{U}{I}=100\Omega $.

Khi RLC nối tiếp thì tổng trở mạch là \[\text{Z}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=100\] Ω.

Định lượng U = 6(Đây là bội chung nhỏ nhất của 2,1,3 )

+ \[\text{R}=\dfrac{U}{{{I}_{R}}}=3\]; \[{{\text{Z}}_{L}}=\dfrac{U}{{{I}_{L}}}=6\]; \[{{\text{Z}}_{C}}=\dfrac{U}{{{I}_{C}}}=2\].

+ Khi mắc RLC nối tiếp \[\text{Z}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=5\] \[\to \] Cường độ dòng hiệu dụng lúc này: $I=\dfrac{U}{Z}=\dfrac{6}{5}=1,2$A.

Khi đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi lần lượt vào hai đầu điện trở thuần R, cuộn cảm thuần L, tụ điện C thì ta có ${{I}_{R}}=\dfrac{U}{R}=0,25A\Rightarrow R=4U$ ${{I}_{L}}=\dfrac{U}{{{Z}_{L}}}=0,5A\Rightarrow {{Z}_{L}}=2U$, ${{I}_{C}}=\dfrac{U}{{{Z}_{C}}}=0,2A\Rightarrow {{Z}_{C}}=5U$

Khi đặt điện áp xoay chiều này vào hai đầu đoạn mạch gồm ba phần tử trên mắc nối tiếp: $I=\dfrac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}=\dfrac{U}{\sqrt{16{{U}^{2}}+9{{U}^{2}}}}=0,2A.$

Trong bài U, R, Z_C không đổi!

+ Ban đầu: $U=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}}=100$V và R:Z_C = U_R:U_C = 3:2

+ Lúc sau: $U=\sqrt{{{\left( U_{R}^{/} \right)}^{2}}+{{\left( U_{L}^{/}-U_{C}^{/} \right)}^{2}}}=100$V (*)

Bài cho: $U_{L}^{/}=100$V, mà \[\text{R}:{{Z}_{C}}=U_{R}^{/}:U_{C}^{/}=3:2\to U_{C}^{/}=\dfrac{2U_{R}^{/}}{3}\], thế vào (*) → \[U_{R}^{/}\approx 92,31\]V.

Trong bài \[U,{{Z}_{L}},{{Z}_{C}}\] không đổi!

+ Ban đầu: $U=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}}=50\sqrt{2}$V. Luôn có: R:Z_L:Z_C = U_R:U_L:U_C = 5:4:9 (*)

+ Lúc sau: $U=\sqrt{{{\left( U_{R}^{/} \right)}^{2}}+{{\left( U_{L}^{/}-U_{C}^{/} \right)}^{2}}}=50\sqrt{2}$V (*)

Lúc này\[{{\text{R}}^{/}}=2\text{R}\] kết hợp (*), ta có đặc trưng mạch \[{{\text{R}}^{/}}LC\]này là \[{{\text{R}}^{/}}:{{Z}_{L}}:{{Z}_{C}}=10:4:9=U_{R}^{/}:U_{L}^{/}:U_{C}^{/}\] →\[U_{L}^{/}=\dfrac{2U_{R}^{/}}{5}\ U_{C}^{/}=\dfrac{9U_{R}^{/}}{10}\], thế vào (**) → \[U_{R}^{/}=20\sqrt{10}\]V.

+ Khi \[R={{R}_{1}}\] , ta có: $U=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}}=100$V; ${{U}_{AM}}=\sqrt{U_{R}^{2}+U_{L}^{2}}$ = 100 V \[\to {{U}_{C}}=2{{U}_{L}}\to {{Z}_{C}}=2{{Z}_{L}}\]

+ Khi \[R=2{{R}_{1}}\], ta có \[U_{C}^{/}:U_{L}^{/}={{Z}_{C}}:{{Z}_{L}}=2:1\to U_{C}^{/}=2U_{L}^{/}\] \[\to \] $U=100V=\sqrt{{{\left( U_{R}^{/} \right)}^{2}}+{{\left( U_{L}^{/}-U_{C}^{/} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( U_{R}^{/} \right)}^{2}}+{{\left( U_{L}^{/} \right)}^{2}}}=U_{AM}^{/}$

Vậy U\[_{AM}\] luôn có giá trị 100 V và không phụ thuộc giá trị của R!

${{Z}_{C}}=50\Omega ;{{Z}_{L}}=100\Omega $

Khi nối tắt cuộn cảm: $I=\dfrac{{{U}_{C}}}{{{Z}_{C}}}=\dfrac{100}{50}=2A$; ${{\varphi }_{{{u}_{C}}}}=0rad\to {{\varphi }_{i}}=\dfrac{\pi }{2}$; $\varphi ={{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i}}=\dfrac{\pi }{3}-\dfrac{\pi }{2}=-\dfrac{\pi }{6}rad$ $\to \tan \varphi =-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{-{{Z}_{C}}}{R}\Rightarrow R=\sqrt{3}{{Z}_{C}}\to R=50\sqrt{3}\Omega $ $Z=\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}=100\Omega \Rightarrow U=I.Z=200V$

Khi không nối tắt cuộn cảm: $Z’=\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=100\Omega $

$\tan \varphi ‘=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\to \varphi ‘=\dfrac{\pi }{6}={{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i’}}\Rightarrow {{\varphi }_{i’}}=\dfrac{\pi }{6}rad\Rightarrow {{\varphi }_{{{u}_{L}}’}}=\dfrac{2\pi }{3}rad$

$I’=\dfrac{U}{Z’}=2A$ $\Rightarrow U_{L}^{‘}=I’.Z_{L}^{‘}=2.100=200V$

$\Rightarrow {{u}_{L}}=200\sqrt{2}\cos (100\pi t+\dfrac{2\pi }{3})(V)$

+ Khi \[C={{C}_{1}}\], ta có: $U=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}}=50$V và \[R:{{Z}_{L}}={{U}_{R}}:{{U}_{L}}=1:1\]

+ Khi \[C={{C}_{2}}\] , ta có: $U=\sqrt{{{\left( U_{R}^{/} \right)}^{2}}+{{\left( U_{L}^{/}-U_{C}^{/} \right)}^{2}}}=50$V (*)

Bài cho: $U_{C}^{/}=50\sqrt{2}$V, mà \[\text{R}:{{Z}_{L}}=U_{R}^{/}:U_{L}^{/}=1:1\to U_{L}^{/}=U_{R}^{/}\], thế vào (*) → \[U_{R}^{/}=25\sqrt{2}\]V.

+ Khi \[\omega ={{\omega }_{1}},{{Z}_{L1}}=4{{Z}_{C}}\to \] ${{\omega }_{1}}L=\dfrac{4}{{{\omega }_{1}}C}\to {{\omega }_{1}}=\dfrac{2}{\sqrt{LC}}$

+ Khi \[\omega ={{\omega }_{2}}\] , mạch có cộng hưởng điện: \[{{Z}_{L2}}={{Z}_{C2}}\to \] ${{\omega }_{2}}L=\dfrac{1}{{{\omega }_{2}}C}\to {{\omega }_{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

Khi \[\omega ={{\omega }_{1}}\]: $U=\sqrt{U_{R}^{2}+{{({{U}_{L}}-{{U}_{C}})}^{2}}}=125V$ ${{U}_{R}}:{{U}_{C}}:{{U}_{L}}=4:4:1\to R:{{Z}_{C}}:{{Z}_{L}}=4:4:1$

Khi \[\omega =2{{\omega }_{1}}\]: $R:Z_{C}^{/}:Z_{L}^{/}=2:1:1\to U_{R}^{/}:U_{C}^{/}:U_{L}^{/}=2:1:1$ $\Rightarrow U=\sqrt{{{\left( 2U_{L}^{/} \right)}^{2}}+{{\left( U_{L}^{/}-U_{L}^{/} \right)}^{2}}}=2U_{L}^{‘}\Rightarrow U_{L}^{/}=\dfrac{U}{2}=62,5V$

+ Khi điện dung của tụ điện là C, ta có: ${{U}_{C}}=72\text{ V}$ và ${{U}_{MB}}=\left| {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right|=72$V \[\to {{U}_{L}}=144V\to {{U}_{R}}=96V.\] \[\to R:{{Z}_{L}}:{{Z}_{C}}={{U}_{R}}:{{U}_{L}}:{{U}_{C}}=4:6:3\]

+ Điện dung của tụ điện là 0,5C thì \[\text{Z}_{C}^{/}=2{{\text{Z}}_{C}}\], ta có \[U_{R}^{/}:U_{L}^{/}:U_{C}^{/}=R:{{Z}_{L}}:Z_{C}^{/}=4:6:6\] \[\to \] \[U_{R}^{/}=\dfrac{2U_{C}^{/}}{3}\text{ }\]và \[U_{L}^{/}=U_{C}^{/}\], thế vào $U=\sqrt{{{\left( U_{R}^{/} \right)}^{2}}+{{\left( U_{L}^{/}-U_{C}^{/} \right)}^{2}}}=120$ \[\to \] $U_{C}^{/}=180$ V.

+ Khi \[\omega ={{\omega }_{1}}=240\pi rad/s\] thì cảm kháng \[{{Z}_{L1}}=60\Omega \], tổng trở \[{{\text{Z}}_{1}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{{{I}_{0}}}=45\sqrt{2}\text{ }\Omega =\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}}\](*)

Lại có $\tan \left( {{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{1}}}} \right)=\dfrac{{{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}}}{R}=1$\[\to R={{Z}_{L1}}{{Z}_{C1}}\], thế vào (*)\[\to R=45\Omega \to {{Z}_{C1}}=15\Omega \to \] $C=\dfrac{1}{3600\pi }F$

+ Khi \[\omega ={{\omega }_{0}}\], mạch có cộng hưởng điện: \[{{Z}_{L0}}={{Z}_{C0}}\to \] ${{\omega }_{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=120\pi $rad/s

Khi có cộng hưởng \[Z=R=45\Omega \to \] \[{{I}_{0}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{Z}=2\text{A}\] \[\to {{U}_{0C}}={{I}_{0}}{{Z}_{C0}}=60V.\] Lại có \[{{\varphi }_{i}}={{\varphi }_{u}}=\] $\dfrac{\pi }{6}$→${{\varphi }_{{{u}_{C}}}}={{\varphi }_{i}}-\dfrac{\pi }{2}=-\dfrac{\pi }{3}$.

Vậy: \[{{u}_{C}}=60\cos \left( 120\pi t-\dfrac{\pi }{3} \right)\]V.

+ Khi \[C={{C}_{1}}\] , ta có: $U=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}}=60\sqrt{2}$V và \[R:{{Z}_{L}}={{U}_{R}}:{{U}_{L}}=1:2\]

+ Khi \[C={{C}_{2}}\] , ta có: $U=\sqrt{{{\left( U_{R}^{/} \right)}^{2}}+{{\left( U_{L}^{/}-U_{C}^{/} \right)}^{2}}}=60\sqrt{2}$V (*)

Bài cho: $U_{C}^{/}=30$V, mà \[\text{R}:{{Z}_{L}}=U_{R}^{/}:U_{L}^{/}=1:2\to U_{L}^{/}=2U_{R}^{/}\], thế vào (*) → \[U_{R}^{/}\approx 49,47\]V.

+ Ban đầu: ${{\varphi }_{{{U}_{L}}}}=\dfrac{\pi }{3}\to {{\varphi }_{i}}=-\dfrac{\pi }{6}={{\varphi }_{u}}$ \[\to \] mạch đang có cộng hưởng điện: \[{{Z}_{L}}={{Z}_{C}}\]

+ Khi R và L cùng tăng gấp đôi \[\to \] \[{{R}^{/}}=2\text{R};\text{ Z}_{L}^{/}=2{{\text{Z}}_{L}}\]\[\to \] \[{{\text{Z}}^{/}}=\sqrt{{{\left( {{R}^{/}} \right)}^{2}}+{{\left( Z_{L}^{/}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{R}^{/}} \right)}^{2}}+Z_{C}^{2}}=Z_{AN}^{/}\] \[\to \] $U={{U}_{AN}}=220$V (Kết quả cho thấy không phụ thuộc vào sự tăng giảm của R).

µ+Khi chưa nối tắt: \[{{U}_{R}}={{U}_{L}}={{U}_{C}}=20V\to R={{Z}_{L}}\] và $U=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}}=20$V

+ Khi nối tắt tụ, mạch LC có: $U_{R}^{/}=U_{L}^{/}$ và $U=\sqrt{{{\left( U_{R}^{/} \right)}^{2}}+{{\left( U_{L}^{/} \right)}^{2}}}=20$V \[\to \] \[U_{R}^{/}=U_{L}^{/}=10\sqrt{2}\]V.

+ Khi điện áp đặt vào là u₁ thì ${{\varphi }_{{{u}_{1}}}}-{{\varphi }_{{{i}_{1}}}}=-\dfrac{\pi }{2}$ \[\to \] u chậm pha hơn so với i góc $\dfrac{\pi }{2}$ \[\to \] mạch có thể chỉ chứa tụ điện C hoặc mạch chứa cả LC nhưng có tính dung kháng

+ Khi điện áp đặt vào là u₂ thì ${{\varphi }_{{{u}_{2}}}}-{{\varphi }_{{{i}_{2}}}}=\dfrac{\pi }{2}$ \[\to \] u nhanh pha hơn so với i góc $\dfrac{\pi }{2}$\[\to \] mạch có thể chỉ chứa cuộn cảm L hoặc mạch chứa cả LC nhưng có tính cảm kháng. \[\to \] Mạch chứa L và C. \[\to \]

Trường hợp \[{{u}_{1}}\] : \[{{Z}_{1}}={{Z}_{C1}}-{{Z}_{L1}}=25\Omega \to \] $\dfrac{1}{100\pi C}-100\pi L=25\Omega $ (1) \[\to \]

Trường hợp \[{{u}_{2}}\] : \[{{Z}_{2}}={{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}}=50\Omega \to \] $200\pi L-\dfrac{1}{200\pi C}=50\Omega $ (2)

Giải hệ (1) và (2) \[\to \] $L=\dfrac{5}{12\pi }$H và $C=\dfrac{{{3.10}^{-4}}}{2\pi }$F.

+ Khi tụ chưa bị nối tắt: \[{{U}_{C}}=1,2{{U}_{d}}\to {{Z}_{C}}=1,2{{Z}_{d}}=1,2\sqrt{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}\] mà \[\text{Z}=\dfrac{U}{I}=200\Omega =\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}\] (*)

+ Khi nối tắt tụ điện thì mạch chỉ còn cuộn dây không thuần cảm: \[{{\text{Z}}_{d}}=\dfrac{U}{I}=200\Omega \] \[\to {{Z}_{C}}=240\Omega .\]

Thế vào (*) \[\to 200=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-240 \right)}^{2}}}\to {{200}^{2}}=\underbrace{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}_{Z_{d}^{2}}-480{{\text{Z}}_{L}}+{{240}^{2}}={{200}^{2}}\to {{Z}_{L}}=120\Omega \].

+ Khi điện áp đặt điện áp xoay chiều vào AB thấy \[{{u}_{X}}\] và i cùng pha nhau \[\to \] X chứa R.

+ Khi đặt điện áp không đổi 6 V vào AB thì thấy điện áp giữa hai đầu Y là 6 V \[\to \] điện áp giữa hai đầu X (R) bằng 0 \[\to \]không có dòng qua mạch \[\to \] Y chứa tụ điện (dĩ nhiên rất hợp lý, khi đó điện áp giữa hai đầu tụ điện chính là điện áp không đổi đặt vào AB)

+Trong trường hợp đặt điện áp xoay chiều vào AB thấy $R=\dfrac{{{U}_{0\text{X}}}}{{{I}_{0}}}=100\Omega $và $\tan \left( {{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i}} \right)=-\dfrac{{{Z}_{C}}}{R}=-1$ \[\to {{Z}_{C}}=100\Omega \to \] $C=\dfrac{{{10}^{-4}}}{\pi }F$.

Số chỉ vôn kế là điện áp hiệu dụng trên AN: ${{U}_{AN}}=I{{Z}_{AN}}=\dfrac{U{{Z}_{AN}}}{Z}=\dfrac{U\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{100\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( 200-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$

Bài cho biết \[{{U}_{AN}}\] không phụ thuộc vào \[R\to \] ${{\left( 200-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}={{200}^{2}}$thì \[{{U}_{AN}}\] luôn bằng 100V với mọi giá trị R. \[\to {{Z}_{C}}=400\Omega \to \] $C=\dfrac{{{10}^{-4}}}{4\pi }F$.

+ Dễ thấy ${{\varphi }_{{{u}_{1}}}}=0\to {{\varphi }_{{{i}_{1}}}}=-\dfrac{\pi }{2}$ ; \[{{\varphi }_{{{u}_{2}}}}=-\dfrac{\pi }{2}\to {{\varphi }_{{{i}_{2}}}}=0\]\[\to {{i}_{1}}\] và \[{{i}_{2}}\] vuông pha \[\to \] \[{{\left( \dfrac{{{i}_{1}}}{{{I}_{01}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{i}_{2}}}{{{I}_{02}}} \right)}^{2}}=1\]

Bài cho: $9i_{1}^{2}+16i_{2}^{2}=25{{\left( mA \right)}^{2}}\to {{\left( \dfrac{{{i}_{1}}}{\dfrac{5}{3}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{i}_{2}}}{\dfrac{5}{4}} \right)}^{2}}=1$ \[\to \] $\left\{ \begin{align} & {{I}_{01}}=\dfrac{5}{3}mA=\dfrac{{{U}_{01}}}{{{Z}_{L}}}\to {{Z}_{L}}=6000\Omega \\ & {{I}_{02}}=\dfrac{5}{4}mA=\dfrac{{{U}_{02}}}{{{Z}_{C}}}\to {{Z}_{C}}=16000\Omega \\ \end{align} \right.$

+ Khi nối tiếp LC rồi mắc vào \[{{u}_{1}}\] thì ${{U}_{0L}}={{I}_{0}}{{Z}_{L}}=\dfrac{{{U}_{01}}}{Z}.{{Z}_{L}}=\dfrac{{{U}_{01}}}{\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}.{{Z}_{L}}=6V$.

Lúc đầu mạch có cộng hưởng điện tức \[{{Z}_{L}}={{Z}_{C}}\] (cảm kháng bằng dung kháng) \[\to \]

Khi giảm f thì cảm kháng giảm và dung tăng giảm \[\to \] mạch có tính dung kháng.

+ Khi \[\omega ={{\omega }_{1}}\] , ${{Z}_{1L}}={{\omega }_{1}}L;\text{ }{{\text{Z}}_{1C}}=\dfrac{1}{{{\omega }_{1}}C}\to {{\omega }_{1}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}.\sqrt{\dfrac{{{Z}_{1L}}}{{{Z}_{1C}}}}$

+ Khi \[\omega ={{\omega }_{2}}\], mạch có cộng hưởng điện: \[{{Z}_{2L}}={{Z}_{2C}}\to \] ${{\omega }_{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

+ Khi đặt vào điện áp \[{{u}_{1}}\] thì u nhanh pha hơn i góc $\dfrac{\pi }{2}$ , do đó mạch có tính cảm kháng! \[\to {{Z}_{1}}={{Z}_{L1}}{{Z}_{C1}}=200\Omega \to \] $100\pi L-\dfrac{1}{100\pi C}=200$ (1)

+ Khi đặt vào điện áp \[{{u}_{2}}\] thì u trễ pha hơn i góc $\dfrac{\pi }{2}$ , do đó mạch có tính dung kháng! \[\to {{Z}_{2}}={{Z}_{C2}}{{Z}_{L2}}=200\Omega \to \] $\dfrac{1}{50\pi C}-50\pi L=200$ (2)

Giải hệ (1) và (2) → $L=\dfrac{4}{\pi }H$ và $C=\dfrac{{{10}^{-4}}}{2\pi }F$.

+ Cường độ dòng hiệu dụng được tính: ${{I}_{h\text{d}}}=\dfrac{U}{Z}=\dfrac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( \omega L-\dfrac{1}{\omega C} \right)}^{2}}}}$, ở đây \[\omega \] thay đổi.

Dễ thấy \[{{I}_{hd}}\] đạt cực đại khi ${{\omega }_{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\leftrightarrow {{\omega }_{0}}L=\dfrac{1}{{{\omega }_{0}}C}$(*) (cộng hưởng) \[\to \] I = $\dfrac{U}{R}$

+ Khi \[\omega ={{\omega }_{1}}\] và \[\omega ={{\omega }_{2}}\], dòng điện cực đại trong mạch như nhau và bằng ${{I}_{0}}=\dfrac{I}{\sqrt{5}}$ \[\to \] tổng trở trong 2 trường hợp bằng nhau và bằng: ${{Z}_{1}}={{Z}_{2}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{{{I}_{0}}}=\dfrac{U\sqrt{2}}{\dfrac{I}{\sqrt{5}}}=R\sqrt{10}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{\omega }_{1}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{1}}C} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{\omega }_{2}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{2}}C} \right)}^{2}}}$ \[\to \] $9{{\text{R}}^{2}}={{\left( {{\omega }_{1}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{1}}C} \right)}^{2}}={{\left( {{\omega }_{2}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{2}}C} \right)}^{2}}\to 3R={{\omega }_{1}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{1}}C}=\dfrac{1}{{{\omega }_{2}}C}-{{\omega }_{2}}L$(**)

Từ (**)\[\to \] ${{\omega }_{1}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{1}}C}=\dfrac{1}{{{\omega }_{2}}C}-{{\omega }_{2}}L\to {{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\dfrac{1}{LC}$ [theo (*)\[\to \] $\omega _{0}^{2}={{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}$]

Cũng từ (**)$\to 6\text{R}={{\omega }_{1}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{1}}C}+\dfrac{1}{{{\omega }_{2}}C}-{{\omega }_{2}}L$\[\to \] \[\text{6R}=\dfrac{\left( {{\omega }_{1}}-{{\omega }_{2}} \right)}{{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}C}\left( {{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}LC+1 \right)=150.(1+1)=300\to R=50\Omega \].

Mạch chứa RLC: $\left\{ \begin{align} & {{I}_{o}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{Z}=\dfrac{{{U}_{o}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}(1) \\ & \tan ({{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{1}}}})=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}(2) \\ \end{align} \right.$

Mạch chứa RL: $\left\{ \begin{align} & {{I}_{o}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{Z’}=\dfrac{{{U}_{o}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}(3) \\ & \tan ({{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{2}}}})=\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}(4) \\ \end{align} \right.$

Từ (1) và (2) suy ra: $\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|={{Z}_{L}}\to {{Z}_{C}}=2{{Z}_{L}}$.

Thay vào (2) suy ra: $\tan ({{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{1}}}})=-\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}$ (2’) Từ (2’) và (4) suy ra $\tan ({{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{1}}}})=-\tan ({{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{2}}}})$ $\Rightarrow {{\varphi }_{u}}=\dfrac{{{\varphi }_{{{i}_{1}}}}+{{\varphi }_{{{i}_{2}}}}}{2}=\dfrac{\pi }{4}rad$.

Mạch chứa RLC: $\left\{ \begin{align} & {{I}_{o}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{Z}=\dfrac{{{U}_{o}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}(1) \\ & \tan ({{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{1}}}})=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}(2) \\ \end{align} \right.$

Mạch chứa RL: $\left\{ \begin{align} & {{I}_{o}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{Z’}=\dfrac{{{U}_{o}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}(3) \\ & \tan ({{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{2}}}})=\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}(4) \\ \end{align} \right.$

Từ (1) và (2) suy ra: $\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|={{Z}_{L}}\to {{Z}_{C}}=2{{Z}_{L}}$.

Thay vào (2) suy ra: $\tan ({{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{1}}}})=-\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}$ (2’) Từ (2’) và (4) suy ra $\tan ({{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{1}}}})=-\tan ({{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{2}}}})$ ${{\varphi }_{u}}=\dfrac{{{\varphi }_{{{i}_{1}}}}+{{\varphi }_{{{i}_{2}}}}}{2}=\dfrac{\pi }{12}$.

+ Cũng dễ dàng chứng minh được:${{\varphi }_{u}}=\dfrac{{{\varphi }_{{{i}_{1}}}}+{{\varphi }_{{{i}_{2}}}}}{2}=\dfrac{\pi }{4}$

+ Khi mạch RL: $\tan \left( {{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{1}}}} \right)=\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}=\sqrt{3}\to {{Z}_{L}}=60\sqrt{3}\Omega $ \[\to \] ${{Z}_{RL}}=\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}=120\Omega $ \[\to {{U}_{0}}={{I}_{01}}{{Z}_{RL}}=120\sqrt{2}V\]

+ Khi mạch RC: \[\tan \left( {{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{{{i}_{2}}}} \right)=-\dfrac{{{Z}_{C}}}{R}=-1\to {{Z}_{C}}=60\sqrt{3}\] \[\to \]

Khi mắc nối tiếp RLC thì mạch có cộng hưởng điện \[\left( {{Z}_{L}}={{Z}_{C}} \right)\to Z=R\to {{I}_{0}}=\] $\dfrac{{{U}_{0}}}{R}=2\sqrt{2}$ A.

Cộng hưởng nên ${{\varphi }_{i}}={{\varphi }_{u}}=\dfrac{\pi }{4}$ . Vậy $i=2\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+\dfrac{\pi }{4} \right)$A.

+ K mở, mạch RLC:$Z=30=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$

+ K đóng, mạch RC: ${{Z}^{/}}=30\sqrt{2}=\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}$ µGóc \[POM={{45}^{0}}\] (độ lệch pha \[{{i}_{1}}\] và\[{{i}_{2}}\] )

Xét\[\Delta OPM\] , theo định lý hàm cos: PM = 30\[\Omega \to \] OPM vuông cân tại P \[\to PN=0\to {{Z}_{L}}{{Z}_{C}}=0\to {{Z}_{C}}={{Z}_{L}}=30\Omega \] .

+ Khi \[f={{f}_{1}}\] , ${{Z}_{1L}}={{\omega }_{1}}L=36;\text{ }{{\text{Z}}_{1C}}=\dfrac{1}{{{\omega }_{1}}C}=144\to {{\omega }_{1}}=\dfrac{1}{2\sqrt{LC}}$

+ Khi \[f={{f}_{2}}\], u và i cùng pha \[\to \] mạch có cộng hưởng điện: \[{{Z}_{2L}}={{Z}_{2C}}\to \] ${{\omega }_{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=240\pi $ \[\Rightarrow {{\omega }_{1}}=120\pi \to {{f}_{1}}=60Hz\] .

+ Khi có cộng hưởng ${{\omega }_{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ (*)

+ Khi \[\omega ={{\omega }_{1}}\] và\[\omega ={{\omega }_{2}}\], dòng điện cực đại trong mạch như nhau \[\to \] tổng trở cũng như nhau! \[\to \] ${{Z}_{1}}={{Z}_{2}}\to \sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{\omega }_{1}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{1}}C} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{\omega }_{2}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{2}}C} \right)}^{2}}}$ \[\to \] ${{\left( {{\omega }_{1}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{1}}C} \right)}^{2}}={{\left( {{\omega }_{2}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{2}}C} \right)}^{2}}\to {{\omega }_{1}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{1}}C}=\dfrac{1}{{{\omega }_{2}}C}-{{\omega }_{2}}L$ \[\to \] ${{\omega }_{1}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{1}}C}=\dfrac{1}{{{\omega }_{2}}C}-{{\omega }_{2}}L\to {{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=\dfrac{1}{LC}$ \[\to \]Theo (*)\[\to \] ${{\omega }_{0}}=\sqrt{{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}=120\pi $\[\to \]\[{{f}_{0}}=60Hz\] .

+ Ban đầu:$U=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}}=100$V

+ Khi có cộng hưởng điện:\[{{U}_{R}}=U=100V\] .

+ Ban đầu: \[{{U}_{LC}}=\] $\dfrac{U}{2}$\[\to \] \[{{U}_{R}}=\] $\dfrac{U\sqrt{3}}{2}$ \[\to {{Z}_{LC}}=\] $\dfrac{R}{\sqrt{3}}$ \[=100\Omega .\]

Mạch có tính dung kháng \[\to {{Z}_{LC}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|={{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}=100\Omega \to {{Z}_{C}}=300\Omega \]

+ Để \[{{U}_{LC}}=0\to \] mạch có cộng hưởng thì $Z_{L}^{/}={{Z}_{C}}=300\Omega \to L=\dfrac{3}{\pi }H$.

+ Ban đầu: i trễ pha hơn u góc $\dfrac{\pi }{6}$, do đó X chứa \[{{R}_{0}}\] và \[{{L}_{0}}\] \[\to \] ${{Z}_{X}}=\dfrac{U}{I}=60\Omega $ = $\sqrt{R_{0}^{2}+Z_{L0}^{2}}$, $\tan \left( {{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i}} \right)=\dfrac{{{Z}_{L0}}}{{{R}_{0}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ \[\to {{R}_{0}}=\] $30\sqrt{3}$Ω và \[{{Z}_{L0}}=30\Omega \]

+ Mắc X nối tiếp với cuộn dây, bài cho: \[U={{U}_{X}}+{{U}_{d}}\] \[\to \] AMB thẳng hàng $\to \dfrac{R}{{{R}_{0}}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{{{Z}_{L0}}}\to R=60\sqrt{3}\Omega $. \[\to \]

Tổng trở $Z=\sqrt{{{\left( {{R}_{0}}+R \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L0}}+{{Z}_{L}} \right)}^{2}}}=180\Omega $.

+ Khi f = 50 Hz, \[{{U}_{R}}=U\to \] mạch có cộng hưởng: $100\pi =\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$(*)

+ Khi\[f={{f}_{0}}\] , $\tan \left( {{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i}} \right)=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=1\to {{\omega }_{0}}L-\dfrac{1}{{{\omega }_{0}}C}=R$(**)

Mà bài cho $\dfrac{R}{L}=100\pi \to R=100\pi .L$, từ (*)\[\to \] $C=\dfrac{1}{{{\left( 100\pi \right)}^{2}}L}$ thế vào (**): ${{\omega }_{0}}L-\dfrac{{{\left( 100\pi \right)}^{2}}L}{{{\omega }_{0}}}=100\pi .L\to \omega _{0}^{2}-100\pi .{{\omega }_{0}}-{{\left( 100\pi \right)}^{2}}=0\to {{\omega }_{0}}\approx 508,32\to {{f}_{0}}=80,9\text{ Hz}$.

+ Khi\[\omega ={{\omega }_{1}}\], u và i cùng pha \[\to \] cộng hưởng: ${{\omega }_{1}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

+ Số chỉ vôn kế là điện áp hiệu dụng trên AN: ${{U}_{AN}}=I{{Z}_{AN}}=\dfrac{U{{Z}_{AN}}}{Z}=\dfrac{U\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$ Bài cho biết \[{{U}_{AN}}\] không phụ thuộc vào \[R\to \] ${{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=Z_{L}^{2}$ thì \[{{U}_{AN}}\] luôn bằng U với mọi giá trị R. \[\to \] ${{Z}_{C}}=2{{\text{Z}}_{L}}$\[\to \] $\dfrac{1}{\omega C}=2\omega L\to \omega =\dfrac{1}{\sqrt{2LC}}=\dfrac{{{\omega }_{1}}}{\sqrt{2}}$.

Điện áp hiệu dụng trên hai đầu đoạn mạch chứa cuộn dây và tụ điện là: ${{U}_{d-C}}=I{{Z}_{d-C}}=U\dfrac{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$

$\Rightarrow $ ${{U}_{d-C}}$ đạt giá trị cực tiểu khi ${{Z}_{C}}={{\text{Z}}_{L}}$\[\to \] ${{C}_{m}}=\dfrac{{{10}^{-3}}}{4\pi }F$\[\to \] ${{U}_{\min }}=U\dfrac{r}{r+R}=120$V.

+ Khi mắc song song rồi mắc vào điện áp không đổi $\Rightarrow $ Điện trở tương đương của mạch là: ${{R}_{t\text{}}}=\dfrac{r.R}{r+R}=\dfrac{R}{3}$

$\Rightarrow $ Dòng điện trong mạch là: $I=\dfrac{U}{{{R}_{t\text{}}}}=\dfrac{3U}{R}$ (*)

+ Khi mắc song song rồi mắc vào nguồn xoay chiều thì U_R = U_d = U_C $\Rightarrow $ Dòng điện hiệu dụng trong mạch cần tìm là: ${{I}_{h\text{d}}}=\dfrac{{{U}_{R}}}{R}$ (**) Bài cho \[R=2r\to {{U}_{R}}=2{{U}_{r}}\]

Để thuận tiện đặt \[{{U}_{r}}=1\to {{U}_{R}}={{U}_{d}}={{U}_{C}}=2.\] \[\to NE=\] $\sqrt{3}$ \[\to EB=\] $2-\sqrt{3}$ \[\to U=\] $\sqrt{A{{\text{E}}^{2}}+E{{B}^{2}}}\approx 3,012$

Vậy: ${{U}_{R}}=\dfrac{2U}{3,012}$ .

Từ (**)\[\to \] ${{I}_{hd}}=\dfrac{2U}{3,012.\text{R}}$, kết hợp (*)\[\to \] ${{I}_{h\text{d}}}\approx 0,2213.I$.

Điện áp hiệu dụng trên hai đầu đoạn mạch chứa cuộn dây và tụ điện là: ${{U}_{d-C}}=I{{Z}_{d-C}}=U\dfrac{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$

$\Rightarrow $ ${{U}_{d-C}}$ đạt giá trị cực tiểu khi ${{Z}_{C}}={{\text{Z}}_{L}}$\[=50\Omega \] →${{U}_{d-C\left( \min \right)}}=U\dfrac{r}{r+R}=20$V \[\to R=90\Omega \] .

Trong hai trường hợp sẽ có một trường hợp i nhanh hơn u và một trường hợp i trễ hơn \[u\to i\] trong hai trường hợp vuông pha nhau!

Dễ dàng tính được $U=60$ V.

+ Khi tăng điện dung (ZC giảm – trường hợp 2 này có tính cảm kháng, u nhanh pha hơn i) thì U_D2 = 3U_D1, mà tổng trở cuộn dây không đổi \[\to \] Dòng điện hiệu dụng trong mạch đã tăng 3 lần \[\to {{U}_{r2}}=3{{U}_{r1}};{{U}_{L2}}=3{{U}_{L1}}\] C tăng 3 lần nên dung kháng giảm 3 lần, mà dòng điện hiệu dụng tăng 3 lần nên điện áp hiệu dụng trên C trong 2 trường hợp không thay đổi: \[{{U}_{C1}}={{U}_{C2}}\]

+ \[{{U}_{LC1}}=3{{U}_{LC2}}\] hay \[{{U}_{C1}}{{U}_{L1}}=3{{U}_{L2}}3{{U}_{C2}}\to 2{{U}_{C1}}=5{{U}_{L1}}\] \[\to {{U}_{LC1}}=1,5{{U}_{L1}}=3{{U}_{r1}}\to {{U}_{L1}}=2{{U}_{r1}}\] \[\to \] ${{U}_{d1}}=\sqrt{U_{r1}^{2}+U_{L1}^{2}}=\sqrt{5}{{U}_{r1}}=30V$và $U=\sqrt{U_{r1}^{2}+U_{LC1}^{2}}=\sqrt{10}{{U}_{r1}}$ \[\to U=\] $30\sqrt{2}$ → U₀ = 60 V.

Điện áp hiệu dụng trên hai đầu đoạn mạch chứa cuộn dây và tụ điện là: ${{U}_{d-C}}=I{{Z}_{d-C}}=U\dfrac{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$

$\Rightarrow $ ${{U}_{d-C}}$ đạt giá trị cực tiểu khi ${{Z}_{C}}={{\text{Z}}_{L}}$= \[30\Omega \] \[\to \] ${{U}_{d-C\left( \min \right)}}=U\dfrac{r}{r+R}=40$V.

+ Khi \[C={{C}_{1}}\]: Điện áp hiệu dụng trên biến trở là: ${{U}_{R}}=U.\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$ \[{{U}_{R}}\] không phụ thuộc vào \[R\to \] ${{Z}_{L}}={{Z}_{C1}}\text{ }hay\text{ }{{C}_{1}}=\dfrac{1}{{{\omega }^{2}}L}$(cộng hưởng), lúc này \[{{U}_{R}}=U\] với mọi R.

+ Khi \[C={{C}_{1}}\] : Điện áp hiệu dụng trên đoạn mạch gồm R và L: ${{U}_{RL}}=\dfrac{U\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$ \[{{U}_{RL}}\] không phụ thuộc vào \[R\to \] ${{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C2}} \right)}^{2}}={{Z}_{L}}\text{ }hay\text{ }{{\text{C}}_{2}}=\dfrac{1}{2{{\omega }^{2}}L}$ lúc này \[{{U}_{RL}}\] cũng bằng U với mọi R. Vậy \[{{C}_{2}}=0,5{{C}_{1}}\] .

+ Ban đầu:$U=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}}=100$V, $\dfrac{R}{{{Z}_{L}}}=\dfrac{{{U}_{R}}}{{{U}_{L}}}=\dfrac{3}{5}$

+ Khi có cộng hưởng điện: $U_{R}^{/}$ = U = 100 V mà $\dfrac{R}{{{Z}_{L}}}=\dfrac{U_{R}^{/}}{U_{L}^{/}}=\dfrac{3}{5}$ \[\to \] $U_{L}^{/}=\dfrac{500}{3}V$. Cộng hưởng \[\to \] $U_{C}^{/}=\dfrac{500}{3}V$.

Điện áp hiệu dụng trên AM khi chưa thay đổi (TH1) là \[{{U}_{AM(1)}}=\] $2\sqrt{2}U$

Dễ dàng có: \[U=50V\to {{U}_{AM(1)}}=\] $100\sqrt{2}$.