Đại số 10: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Câu 1. Phương trình$\left| 5x+2 \right|=-\left| 5x-2 \right|$ có bao nhiêu nghiệm? A. $0. $ B. $1. $ C. $2. $ D. Vô số. Hướng dẫn $\left| 5x+2 \right|=-\left| 5x-2 \right|$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x+2=0 \\ 5x-2=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-\dfrac{2}{5} \\ x=\dfrac{2}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow $ Vô nghiệm. Chọn đáp án A. Câu 2. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để phương trình \[\left| x \right|+1={{x}^{2}}+m\] có nghiệm duy nhất. A. $m=0. $ B. $m=1. $ C. $m=-1. $ D. Không có $m. $ Hướng dẫn Phương trình $\Leftrightarrow {{\left| x \right|}^{2}}-\left| x \right|+\left( m-1 \right)=0$ Đặt $t=\left| x \right|,\ t\ge 0$, Phương trình trở thành ${{t}^{2}}-t+m-1=0\ \ \ \ \left( * \right)$ Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow $ $\left( * \right)$ có nghiệm duy nhất $t=0$. Với $t=0$ là nghiệm của phương trình $\left( * \right)\Rightarrow {{0}^{2}}-0+m-1=0\Leftrightarrow m=1$. Thử lại, thay $m=1$ vào phương trình $\left( * \right)$, thấy phương trình có 2 nghiệm $t=0$ và $t=1$: Không thỏa mãn. Chọn đáp án D. Câu 3. Tổng các nghiệm của phương trình \[\left| 2x-5 \right|+\left| 2{{x}^{2}}-7x+5 \right|=0\] bằng: A. $6. $ B. $\dfrac{5}{2}. $ C. $\dfrac{7}{2}. $ D. $\dfrac{3}{2}. $ Hướng dẫn Ta có \[\left\{ \begin{array}{l} \left| 2x-5 \right|\ge 0 \\ \left| 2{{x}^{2}}-7x+5 \right|\ge 0 \end{array} \right. \xrightarrow{{}}\left| 2x-5 \right|+\left| 2{{x}^{2}}-7x+5 \right|\ge 0. \] Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} 2x-5=0 \\ 2{{x}^{2}}-7x+5=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{5}{2} \\ x=1\vee x=\dfrac{5}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$. Chọn đáp án B. Câu 4. Phương trình \[\left| ax+b \right|=\left| cx+d \right|\] tương đương với phương trình : A. \[ax+b=cx+d. \] B. \[ax+b=-\left( cx+d \right). \] C. \[ax+b=cx+d\] hoặc \[ax+b=-\left( cx+d \right). \] D. \[\sqrt{ax+b}=\sqrt{cx+d}. \] Hướng dẫn Chọn đáp án C. Câu 5. Phương trình \[\left| 2x-4 \right|+\left| x-1 \right|=0\] có bao nhiêu nghiệm ? A. $0. $ B. $1. $ C. $2. $ D. Vô số. Hướng dẫn \[\left| 2x-4 \right|+\left| x-1 \right|=0\]$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-4=0 \\ x-1=0 \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ x=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow $ Phương trình vô nghiệm. Chọn đáp án A. Câu 6. Phương trình ${{\left( x+1 \right)}^{2}}-3\left| x+1 \right|+2=0$ có bao nhiêu nghiệm? A. $0. $ B. $1. $ C. $2. $ D. $4. $ Hướng dẫn Đặt $t=\left| x+1 \right|$, $\,t\ge 0$. Phương trình trở thành ${{t}^{2}}-3t+2=0\Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=2$. Với $t=1$ ta có $\left| x+1 \right|=1\Leftrightarrow x+1=\pm 1\Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=0$. Với $t=2$ ta có $\left| x+1 \right|=2\Leftrightarrow x+1=\pm 2\Leftrightarrow x=-3$ hoặc $x=1$. Vậy phương trình có bốn nghiệm là \[x=-3,\,\text{ }x=-2,\,\text{ }x=0,\text{ }x=1. \] Chọn đáp án D. Câu 7. Tổng các nghiệm của phương trình $\left| {{x}^{2}}+5x+4 \right|=x+4$ bằng: A. $-12. $ B. $-6. $ C. $6. $ D. $12. $ Hướng dẫn Phương trình \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+4\ge 0 \\ {{\left( {{x}^{2}}+5x+4 \right)}^{2}}={{\left( x+4 \right)}^{2}} \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ {{\left( {{x}^{2}}+5x+4 \right)}^{2}}-{{\left( x+4 \right)}^{2}}=0 \end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ \left( {{x}^{2}}+6x+8 \right)\left( {{x}^{2}}+4x \right)=0 \end{array} \right. \], \[\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ \left[ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+6x+8=0 \\ {{x}^{2}}+4x=0 \end{array} \right. \end{array} \right. \,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} x\ge -4 \\ \left[ \begin{array}{l} x=-2,x=-4 \\ x=0,x=-4 \end{array} \right. \end{array} \right. \,\Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-2 \\ x=-4 \end{array} \right. \] $\xrightarrow{{}}0+\left( -2 \right)+\left( -4 \right)=-6. $ Chọn đáp án B. Câu 8. . Tập nghiệm $S$ của phương trình \[\left| x-2 \right|=\left| 3x-5 \right|\] là: A. \[S=\left\{ \dfrac{3}{2}\text{;}\dfrac{7}{4} \right\}. \] B. \[S=\left\{ -\dfrac{3}{2}\text{;}\dfrac{7}{4} \right\}. \] C. \[S=\left\{ -\dfrac{7}{4}\text{;}-\dfrac{3}{2} \right\}. \] D. \[S=\left\{ -\dfrac{7}{4}\text{;}\dfrac{3}{2} \right\}. \] Hướng dẫn Phương trình \[\Leftrightarrow {{\left| x-2 \right|}^{2}}={{\left| 3x-5 \right|}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4=9{{x}^{2}}-30x+25\] \[\Leftrightarrow 8{{x}^{2}}-26x+21=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{3}{2} \\ x=\dfrac{7}{4} \end{array} \right. \xrightarrow{{}}S=\left\{ \dfrac{3}{2};\dfrac{7}{4} \right\}\]. Chọn đáp án A. Câu 9. Phương trình \[\left| 2x-4 \right|-2x+4=0\] có bao nhiêu nghiệm ? A. $0. $ B. $1. $ C. $2. $ D. Vô số. Hướng dẫn \[\left| 2x-4 \right|-2x+4=0\]$\Leftrightarrow \left| 2x-4 \right|=2x-4\Leftrightarrow 2x-4\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2. $ $\Rightarrow $ Phương trình có vô số nghiệm. Chọn đáp án D. Câu 10. Phương trình $\left| 2x+1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x-4 \right|$ có bao nhiêu nghiệm? A. $0. $ B. $1. $ C. $2. $ D. $4. $ Hướng dẫn Phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x+1={{x}^{2}}-3x-4 \\ 2x+1=-\left( {{x}^{2}}-3x-4 \right) \\ \end{matrix} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} {{x}^{2}}-5x-5=0 \\ {{x}^{2}}-x-3=0 \\ \end{matrix} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{5\pm \sqrt{45}}{2} \\ x=\dfrac{1\pm \sqrt{13}}{2} \\ \end{matrix} \right. $. Chọn đáp án D. Câu 11. Tập nghiệm của phương trình: \[\left| x-2 \right|=\left| 3x-5 \right|\] là tập hợp nào sau đây ? A. \[\left\{ \dfrac{3}{2}\text{ ; }\dfrac{7}{4} \right\}. \] B. \[\left\{ -\dfrac{3}{2}\text{ ; }\dfrac{7}{4} \right\}. \] C. \[\left\{ -\dfrac{7}{4}\text{ ; }-\dfrac{3}{2}\text{ } \right\}. \] D. \[\left\{ -\dfrac{7}{4}\text{; }\dfrac{3}{2}\text{ } \right\}. \] Hướng dẫn \[\left| x-2 \right|=\left| 3x-5 \right|\]$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x-2=3x-5 \\ x-2=-3x+5 \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x=3 \\ 4x=7 \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{3}{2} \\ x=\dfrac{7}{4} \end{array} \right.. $ Chọn đáp án A. Câu 12. Gọi ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\text{ }\left( {{x}_{1}}< {{x}_{2}} \right)$ là hai nghiệm của phương trình $\left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|=4x-17$. Tính giá trị biểu thức \[P=x_{1}^{2}+{{x}_{2}}. \] A. $P=16. $ B. $P=58. $ C. $P=28. $ D. $P=22. $ Hướng dẫn Phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x-17\ge 0 \\ {{\left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|}^{2}}={{\left( 4x-17 \right)}^{2}} \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge \dfrac{17}{4} \\ {{\left( {{x}^{2}}-4x-5 \right)}^{2}}={{\left( 4x-17 \right)}^{2}} \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge \dfrac{17}{4} \\ \left( {{x}^{2}}-8x+12 \right)\left( {{x}^{2}}-22 \right)=0 \end{array} \right. $ \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge \dfrac{17}{4} \\ \left[ \begin{matrix} {{x}^{2}}-8x+12=0 \\ {{x}^{2}}-22=0 \\ \end{matrix} \right. \end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge \dfrac{17}{4} \\ \left[ \begin{matrix} x=2\vee x=6 \\ x=\pm \sqrt{22} \\ \end{matrix} \right. \end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=6 \\ x=\sqrt{22} \end{array} \right. \xrightarrow{{}}P={{\left( \sqrt{22} \right)}^{2}}+6=28. \] Chọn đáp án C. Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình $4x\left( x-1 \right)=\left| 2x-1 \right|+1$ bằng: A. $0. $ B. $1. $ C. $2. $ D. $-2. $ Hướng dẫn Phương trình tương đương với $4{{x}^{2}}-4x-\left| 2x-1 \right|-1=0$. Đặt \[t=\left| 2x-1 \right|,\,\,t\ge 0\]. Suy ra ${{t}^{2}}=4{{x}^{2}}-4x+1\Rightarrow 4{{x}^{2}}-4x={{t}^{2}}-1$. Phương trình trở thành ${{t}^{2}}-1-t-1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-1\left( loai \right) \\ t=2\left( TM \right) \end{array} \right.. $ Với $t=2$, ta có $\left| 2x-1 \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x-1=2 \\ 2x-1=-2 \\ \end{matrix} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{3}{2} \\ x=-\dfrac{1}{2} \\ \end{matrix} \right. \xrightarrow{{}}\dfrac{3}{2}+\left( -\dfrac{1}{2} \right)=1. $ Chọn đáp án B. Câu 14. Tổng các nghiệm của phương trình \[\left| x+2 \right|=2\left| x-2 \right|\] bằng: A. $\dfrac{1}{2}. $ B. $\dfrac{2}{3}. $ C. $6. $ D. $\dfrac{20}{3}. $ Hướng dẫn Phương trình $\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}=4{{\left( x-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-20x+12=0$. Do đó, tổng các nghiệm của phương trình bằng $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{20}{3}$. Chọn đáp án D. Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -5;5 \right]$ để phương trình $\left| mx+2x-1 \right|=\left| x-1 \right|$ có đúng hai nghiệm phân biệt? A. $8. $ B. $9. $ C. $10. $ D. $11. $ Hướng dẫn Ta có $\left| mx+2x-1 \right|=\left| x-1 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} mx+2x-1=x-1 \\ mx+2x-1=-\left( x-1 \right) \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( m+1 \right)x=0\,\,\,\,\text{ }\left( 1 \right) \\ \left( m+3 \right)x=2\,\,\,\,\text{ }\left( 2 \right) \end{array} \right. $. Xét $\left( 1 \right),$ ta có: • $m=-1$ thì phương trình nghiệm đúng với mọi \[x\in \mathbb{R}\]. $m\ne -1$ thì phương trình có nghiệm \[x=0\]. Xét $\left( 2 \right),$ ta có: $m=-3$ thì phương trình vô nghiệm. $m\ne -3$ thì phương trình có nghiệm \[x=\dfrac{2}{m+3}\]. Vì \[\dfrac{2}{m+3}\ne 0,\text{ }\forall m\ne -3\] nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[x=0\], \[x=\dfrac{2}{m+3}\] khi $m\ne -1$ và $m\ne -3. $ Mà $m\in \left[ -5;5 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow[{}]{}m\in \left\{ -5;-4;-2;0;1;2;3;4;5 \right\}\to $ có $9$ giá trị $m$. Chọn đáp án B. Câu 16. Tập nghiệm $S$ của phương trình \[\left| 3x-2 \right|=3-2x\] là: A. \[S=\left\{ -1;1 \right\}. \] B. \[S=\left\{ -1 \right\}. \] C. \[S=\left\{ 1 \right\}. \] D. \[S=\]\[\left\{ 0 \right\}. \] Hướng dẫn Phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3-2x\ge 0 \\ {{\left| 3x-2 \right|}^{2}}={{\left( 3-2x \right)}^{2}} \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\le \dfrac{3}{2} \\ 9{{x}^{2}}-12x+4=4{{x}^{2}}-12x+9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\le \dfrac{3}{2} \\ 5{{x}^{2}}=5 \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow x=\pm 1\xrightarrow{{}}S=\left\{ -1;1 \right\}. $ Chọn đáp án A. Câu 17. Tập nghiệm $S$ của phương trình $\left| 2x-1 \right|=x-3$ là: A. $S=\left\{ \dfrac{4}{3} \right\}. $ B. $S=\varnothing . $ C. $S=\left\{ -2;\dfrac{4}{3} \right\}. $ D. $S=\left\{ -2 \right\}. $ Hướng dẫn Phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-3\ge 0 \\ {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}={{\left( x-3 \right)}^{2}} \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 3 \\ 3{{x}^{2}}+2x-8=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 3 \\ \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{4}{3} \\ x=-2 \end{array} \right. \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow x\in \varnothing $ $\xrightarrow{{}}S=\varnothing $. Chọn đáp án B. Câu 18. Phương trình \[\left| 2x-4 \right|+\left| x-1 \right|=0\] có bao nhiêu nghiệm ? A. $0. $ B. $1. $ C. $2. $ D. Vô số. Hướng dẫn Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \left| 2x-4 \right|\ge 0 \\ \left| x-1 \right|\ge 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left| 2x-4 \right|+\left| x-1 \right|\ge 0$. Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} \left| 2x-4 \right|=0 \\ \left| x-1 \right|=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ x=1 \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow x\in \varnothing $. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn đáp án A. Câu 19. Với giá trị nào của $a$ thì phương trình \[3\left| x \right|+2ax=-1\] có nghiệm duy nhất? A. \[a> \dfrac{3}{2}. \] B. \[a< \dfrac{-3}{2}. \] C. \[\left\{ \begin{array}{l} a\ne \dfrac{3}{2} \\ a\ne \dfrac{-3}{2} \end{array} \right. \] D. \[\left[ \begin{array}{l} a< \dfrac{-3}{2} \\ a> \dfrac{3}{2} \end{array} \right. \] Hướng dẫn Dễ thấy, $x=0$ không là nghiệm của phương trình đã cho. + Xét $x\in \left( -\infty ;0 \right)$: Phương trình trở thành $-3x+2ax=-1\Leftrightarrow \left( 2a-3 \right)x=-1\ \ \ \ \left( 1 \right)$ Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất khi $2a-3\ne 0\Leftrightarrow a\ne \dfrac{3}{2}$. Khi đó, nghiệm của phương trình là $x=\dfrac{-1}{2a-3}$. Mà $x< 0\Rightarrow \dfrac{-1}{2a-3}< 0\Leftrightarrow 2a-3> 0\Leftrightarrow a> \dfrac{3}{2}$. + Xét $x\in \left( 0;+\infty \right)$: Phương trình trở thành $3x+2ax=-1\Leftrightarrow \left( 2a+3 \right)x=-1\ \ \ \ \left( 2 \right)$ Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất khi $2a+3\ne 0\Leftrightarrow a\ne -\dfrac{3}{2}$. Khi đó, nghiệm của phương trình là $x=\dfrac{-1}{2a+3}$. Mà $x> 0\Rightarrow \dfrac{-1}{2a+3}> 0\Leftrightarrow 2a+3< 0\Leftrightarrow a< -\dfrac{3}{2}$. Chọn đáp án D. Câu 20. Tập nghiệm của phương trình \[\dfrac{x-1}{2x-3}=\dfrac{-3x+1}{\left| x+1 \right|}\] (1) là : A. \[\left\{ \dfrac{11+\sqrt{65}}{14}\text{ };\text{ }\dfrac{11+\sqrt{41}}{10} \right\}\] B. \[\left\{ \dfrac{11-\sqrt{65}}{14}\text{ };\text{ }\dfrac{11-\sqrt{41}}{10} \right\}\] C. \[\left\{ \dfrac{11+\sqrt{65}}{14}\text{ };\text{ }\dfrac{11-\sqrt{65}}{14} \right\}\] D. \[\left\{ \dfrac{11+\sqrt{41}}{10}\text{ };\text{ }\dfrac{11-\sqrt{41}}{10} \right\}\] Hướng dẫn Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 2x-3\ne 0 \\ x+1\ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ne \dfrac{3}{2} \\ x\ne -1 \end{array} \right. $ Khi đó, phương trình trở thành: $\left( x-1 \right)\left| x+1 \right|=\left( 2x-3 \right)\left( -3x+1 \right)\,\,\,\left( 1 \right)$ TH1: $x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1$ $\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=-6{{x}^{2}}+11x-3$ $\Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-11x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{11+\sqrt{65}}{14} \\ x=\dfrac{11-\sqrt{65}}{14} \end{array} \right. $ (thỏa mãn) TH2: $x+1< 0\Leftrightarrow x< -1$ $\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+1=-6{{x}^{2}}+11x-3$ $\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-11x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{11+\sqrt{89}}{8} \\ x=\dfrac{11-\sqrt{89}}{8} \end{array} \right. $ (Không thỏa mãn). Chọn đáp án C. Xem thêm: Tổng hợp chuyên đề Đại số 10: phương trình, hệ phương trình