Định lý Viet, trắc nghiệm toán 10
Câu 1.
Cho phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] (\[a\ne 0\]). Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi :
[A]. \[\Delta >0\] và \[P>0. \]
[B]. \[\Delta >0\] và \[P>0\] và \[S>0. \]
[C]. \[\Delta >0\] và \[P>0\] và \[S<0. \]
[D]. \[\Delta >0\] và \[S<0. \]
Chọn đáp án C.
Câu 2.
Tìm điều kiện của \[m\] để phương trình \[{{x}^{2}}-mx+1=0\text{ }~\] có \[2\] nghiệm dương phân biệt:
[A]. \[m>2\] hoặc $m<-2. $
[B]. $m>0. $
[C]. \[m>2. \]
[D]. $m\ne 0. $
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ={{m}^{2}}-4>0 \\ S=-\dfrac{b}{a}=m>0 \\ P=\dfrac{c}{a}=1>0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m>2 \\ m<-2 \end{array} \right. \\ m>0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m>2. $ Chọn đáp án C.
Câu 3.
Hai số \[1-\sqrt{2}\] và \[1+\sqrt{2}\] là các nghiệm của phương trình:
[A]. \[{x^2} + 2x-1 = 0.\]
[B]. \[{{x}^{2}}+2x+1=0. \]
[C]. \[{x^2}-2x + 1 = 0.\]
[D]. \[{x^2}-2x + 1 = 0.\]
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} 1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}=2 \\ \left( 1-\sqrt{2} \right)\left( 1+\sqrt{2} \right)=1-2=-1 \end{array} \right. $ $\Rightarrow $ Hai số \[1-\sqrt{2}\] và \[1+\sqrt{2}\]là nghiệm của phương trình: \[{x^2}-2x-1 = 0\;.\] Chọn đáp án A.
Câu 4.
Nếu \[m,\text{ }n\] là nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}+mx+n=0\], \[m\ne 0,\text{ }n\ne 0\]. Thế thì tổng các nghiệm là:
[A]. \[-\dfrac{1}{2}. \]
[B]. \[-1. \]
[C]. \[\dfrac{1}{2}. \]
[D]. Một đáp số khác.
\[m,\text{ }n\] là nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}+mx+n=0\] $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m+n=-m \\ mn=n \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n=-2m \\ \left[ \begin{array}{l} n=0\,\,\,\,\,\,(loai) \\ m=1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=1 \\ n=-2 \end{array} \right. \Rightarrow m+n=-1. $ Chọn đáp án B.
Câu 5.
Cho phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] \[\left( 1 \right)\]. Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
[A]. Nếu \[P<0\] thì \[\left( 1 \right)\] có \[2\] nghiệm trái dấu.
[B]. Nếu \[P>0\] và \[S<0\] thì \[\left( 1 \right)\] có \[2\] nghiệm.
[C]. Nếu \[P>0\]và \[S<0\] và \[\Delta >0\] thì \[\left( 1 \right)\] có \[2\] nghiệm âm.
[D]. Nếu \[P>0\]bvà \[S<0\] và \[\Delta >0\] thì \[\left( 1 \right)\] vô nghiệm
Giả sử phương trình ${{x}^{2}}+x+3=0$ có \[\left\{ \begin{array}{l} S=-\dfrac{b}{a}=-1<0 \\ P=\dfrac{c}{a}=3>0 \end{array} \right. \] nhưng phương trình có $\Delta ={{1}^{2}}-4. 3=-11<0$ nên phương trình vô nghiệm. Chọn đáp án B.
Câu 6.
Nếu biết các nghiệm của phương trình: \[{{x}^{2}}~+\text{ }px+\text{ }q=0\] là lập phương các nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}+mx+n=0\]. Thế thì:
[A]. \[p+q={{m}^{3}}. \]
[B]. \[p={{m}^{3}}+3mn. \]
[C]. \[p={{m}^{3}}-3mn. \]
[D]. Một đáp số khác.
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}+mx+n=0\] Khi đó, $x_{1}^{3},x_{2}^{3}$ là hai nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}~+\text{ }px+\text{ }q=0\] Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=n \end{array} \right. $ và $\left\{ \begin{array}{l} x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=-p \\ x_{1}^{3}x_{2}^{3}=q \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( x_{1}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2} \right)=-p \\ {{n}^{3}}=q \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=-p \\ {{n}^{3}}=q \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -m\left( {{m}^{2}}-3n \right)=-p \\ {{n}^{3}}=q \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} p={{m}^{3}}-3mn \\ q={{n}^{3}} \end{array} \right. $ Chọn đáp án C.
Câu 7.
. \[\sqrt{2}\]và \[\sqrt{3}\] là hai nghiệm của phương trình :
[A]. \[{{x}^{2}}-(\sqrt{2}-\sqrt{3})x-\sqrt{6}=0. \]
[B]. \[{{x}^{2}}-(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}=0. \]
[C]. \[{{x}^{2}}+(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}=0. \]
[D]. \[{{x}^{2}}-(\sqrt{2}-\sqrt{3})x-\sqrt{6}=0. \]
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} S=\sqrt{2}+\sqrt{3} \\ P=\sqrt{2}. \sqrt{3}=\sqrt{6} \end{array} \right. $ $\Rightarrow $ \[\sqrt{2}\]và \[\sqrt{3}\] là hai nghiệm của phương trình: \[{{x}^{2}}-(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}=0. \] Chọn đáp án B.
Câu 8.
Tìm điều kiện của \[m\] để phương trình \[{{x}^{2}}\text{ }-mx\,\,+1\text{ }=\text{ }0~\] có hai nghiệm âm phân biệt :
[A]. \[m<-2. \]
[B]. \[m<0. \]
[C]. \[m>2\] hoặc $m<-2. $
[D]. \[m>-4. \]
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ={{m}^{2}}-4>0 \\ S=-\dfrac{b}{a}=m<0 \\ P=\dfrac{c}{a}=1>0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m>2 \\ m<-2 \end{array} \right. \\ m<0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m<-2. $ Chọn đáp án A.
Câu 9.
Trong đoạn $\left[ -10;10 \right]$ có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \[{{x}^{2}}+4mx+{{m}^{2}}=0\text{ }~\]có \[2\] nghiệm âm phân biệt:
[A]. $10. $
[B]. $21. $
[C]. \[11. \]
[D]. $20. $
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ = 3{m^2} > 0\\ S = – \dfrac{b}{a} = – 4m < 0\\ P = \dfrac{c}{a} = {m^2} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}$ $\Rightarrow $ có $10$ giá trị thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Câu 10.
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1=0$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ sao cho biểu thức $P=\dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}$ có giá trị nguyên?
[A]. $1. $
[B]. $2. $
[C]. $3. $
[D]. $4. $
Ta có: $\Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+1 \right)=4m-3. $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow 4m-3>0\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}$ Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+1 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}+1 \end{array} \right. $ Khi đó: $P=\dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}=\dfrac{{{m}^{2}}+1}{2m+1}=\dfrac{2m-1}{4}+\dfrac{5}{4\left( 2m+1 \right)}$$\Rightarrow 4P=2m-1+\dfrac{5}{2m+1}$ Do $m>\dfrac{3}{4}\Rightarrow 2m+1>\dfrac{5}{2}. $ Để $P\in \mathbb{Z}$ thì ta phải có $\left( 2m+1 \right)$ là ước của $5\Rightarrow 2m+1=5\Leftrightarrow m=2. $ Thử lại, với $m=2$ ta được: $P=1\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Câu 11.
Điều kiện cần và đủ để phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\](\[a\ne 0\]) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu nhau là :
[A]. \[\left\{ \begin{array}{l}
\Delta >0 \\
P>0
\end{array} \right.. \]
[B]. \[\left\{ \begin{array}{l}
\Delta \ge 0 \\
P>0
\end{array} \right.. \]
[C]. \[\left\{ \begin{array}{l}
\Delta >0 \\
S>0
\end{array} \right.. \]
[D]. \[\left\{ \begin{array}{l}
\Delta >0 \\
S<0
\end{array} \right.. \]
Chọn đáp án A.
Câu 12.
Cho hai phương trình: \[{{x}^{2}}-2mx+1=0~~\]và \[{{x}^{2}}-2x+m=0\]. Có hai giá trị của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tổng hai giá trị ấy gần nhất với hai số nào dưới đây?
[A]. \[-0,2. \]
[B]. $0. $
[C]. \[0,2. \]
[D]. Một đáp số khác.
Gọi ${{x}_{0}}$ là một nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}2mx+1=0~~\]với ${{x}_{0}}\ne 0. $ $\Rightarrow \dfrac{1}{{{x}_{0}}}$ là một nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}-2x+m=0\] Khi đó, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} x_{0}^{2}-2m{{x}_{0}}+1=0 \\ \dfrac{1}{x_{0}^{2}}-\dfrac{2}{{{x}_{0}}}+m=0 \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{0}^{2}-2m{{x}_{0}}+1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ mx_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right. $ Lấy $\left( 1 \right)-\left( 2 \right)$ vế với vế ta được: $\left( 1-m \right)x_{0}^{2}-2\left( m-1 \right){{x}_{0}}=0$ $\Leftrightarrow \left( m-1 \right){{x}_{0}}\left( -{{x}_{0}}-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=1 \\ {{x}_{0}}=0\,\,\,(loai) \\ {{x}_{0}}=-2 \end{array} \right. $ Với ${{x}_{0}}=-2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được: $4+4m+1=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{5}{4}. $ Vậy, tổng hai giá trị $m$ thỏa mãn: $1-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{1}{4}=-0,25. $ Chọn đáp án A.
Câu 13.
Với giá trị nào của \[m\] thì phương trình \[\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3x-1=0\] có \[2\] nghiệm phân biệt trái dấu:
[A]. $m>1. $
[B]. $m<1. $
[C]. \[\forall m. \]
[D]. Không tồn tại \[m\].
Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Rightarrow P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-1}{m-1}<0\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1. $ Chọn đáp án A.
Câu 14.
Cho phương trình \[\left( \sqrt{3}+1 \right){{x}^{2}}+(2-\sqrt{5})x+\sqrt{2}-\sqrt{3}=0\]. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
[A]. Phương trình vô nghiệm.
[B]. Phương trình có\[2\] nghiệm dương.
[C]. Phương trình có \[2\] nghiệm trái dấu.
[D]. Phương trình có \[2\] nghiệm âm.
Ta có: $P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}<0\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm trái dấu. Chọn đáp án C.
Câu 15.
Nếu \[a,\text{ }b,\text{ }c,\text{ }d\] là các số khác \[0\], biết \[c\] và \[d\] là nghiệm của phương trình\[{{x}^{2}}+ax+b=0\] và \[a,\text{ }b\] là nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}+cx+d=0\]. Thế thì: \[a+b+c+d\] bằng:
[A]. \[-2. \]
[B]. $0. $
[C]. \[\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}. \]
[D]. Một đáp số khác.
\[c\] và \[d\] là nghiệm của phương trình\[{{x}^{2}}+ax+b=0\]$\Rightarrow c+d=-a\Leftrightarrow a+c=-d$ \[a,\text{ }b\] là nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}+cx+d=0\]$\Rightarrow a+b=-c\Leftrightarrow a+c=-b. $ $\Rightarrow -d=-b=a+c\Rightarrow b=d. $ Ta có: $c$ là nghiệm của phương trình\[{{x}^{2}}+ax+b=0\]$\Rightarrow {{c}^{2}}+ac+b=0. $ \[a\] là nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}+cx+d=0\Rightarrow {{a}^{2}}+ac+d=0. \] $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{c}^{2}}=-ac-b \\ {{a}^{2}}=-ac-d \end{array} \right. \Rightarrow {{a}^{2}}={{c}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=c \\ a=-c \end{array} \right. $ Với: $a=-c\Rightarrow a+c=-d=0\Rightarrow d=0$ Loại. Với $a=c\Rightarrow a+c=-d\Leftrightarrow 2c=-d\Leftrightarrow d=-2c\Rightarrow b=d=-2c. $ Ta có: ${{c}^{2}}+ac+b=0\Leftrightarrow {{c}^{2}}+{{c}^{2}}-2c=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c=0\,\,\,(loai) \\ c=1\,\,\,(t/m) \end{array} \right. $ $\Rightarrow a+b+c+d=c-2c+c-2c=-2c=-2. $ Chọn đáp án A.
Câu 16.
Cho phương trình \[m{{x}^{2}}+x+m=0\]. Tập hợp tất cả các giá trị của \[m\] để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt là:
[A]. $\left( -\dfrac{1}{2}\,\,;\,0 \right). $
[B]. $\left( -\dfrac{1}{2}\,\,;\,\,\dfrac{1}{2} \right). $
[C]. \[\left( 0;2 \right). \]
[D]. $\left( 0\,;\,\,\dfrac{1}{2} \right). $
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne 0 \\ \Delta =1-4{{m}^{2}}>0 \\ S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{m}<0 \\ P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m}{m}>0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne 0 \\ -\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{1}{2} \\ m>0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0<m<\dfrac{1}{2}. $ Chọn đáp án D.
Câu 17.
Gọi \[{{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\]là \[2\] nghiệm của phương trình \[2{x^2}-4x-1 = 0\]. Khi đó, giá trị của \[T=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\] là:
[A]. $\sqrt{2}. $
[B]. $2. $
[C]. $\sqrt{6}. $
[D]. $4. $
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l} S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{b}{a}=2 \\ P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{2} \end{array} \right. $ \[T=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\Rightarrow {{T}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{2}^{2}}-4. \left( -\dfrac{1}{2} \right)=6. \] $\Rightarrow T=\sqrt{6}. $ Chọn đáp án C.
Câu 18.
Cho phương trình \[{{x}^{2}}~+px+q=0\], trong đó\[p>0,\text{ }q>0\]. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình là \[1\]. Thế thì \[p\] bằng:
[A]. \[\sqrt{4q+1}. \]
[B]. \[\sqrt{4q-1}. \]
[C]. \[-\sqrt{4q+1}. \]
[D]. Một đáp số khác.
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của \[{{x}^{2}}~+px+q=0\]
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=q \end{array} \right. $ Từ giả thiết ta có: \[\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 1\] $\Leftrightarrow {{p}^{2}}-4q=1\Leftrightarrow {{p}^{2}}=4q+1\Rightarrow p=\sqrt{4q+1}$ Vì $p>0. $Chọn đáp án A.
Câu 19.
Cho hai phương trình: \[{{x}^{2}}-mx+2=0~~\] và \[{{x}^{2}}+2x-m=0~\] có bao nhiêu giá trị của $m$ để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là $3?$
[A]. $0. $
[B]. $1. $
[C]. $3. $
[D]. Một đáp số khác.
Gọi ${{x}_{0}}$ là nghiệm của phương trình: \[{{x}^{2}}-mx+2=0~~\]$\Rightarrow 3-{{x}_{0}}$ là nghiệm của phương trình: \[{{x}^{2}}+2x-m=0~\] Khi đó, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} x_{0}^{2}-m{{x}_{0}}+2=0\,\,\,\,\,\,\,\, \\ {{\left( 3-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+2\left( 3-{{x}_{0}} \right)-m=0 \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{0}^{2}-m{{x}_{0}}+2=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ m=x_{0}^{2}-8{{x}_{0}}+15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right. $ Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được: $x_{0}^{2}-\left( x_{0}^{2}-8{{x}_{0}}+15\, \right){{x}_{0}}+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {{x}_{0}}=2 \\ {{x}_{0}}=\dfrac{7\pm 3\sqrt{5}}{2} \end{array} \right. $ $\Rightarrow $ có $3$ giá trị $m$ cần tìm. Chọn đáp án C.
Câu 20.
Gọi \[{{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\] là các nghiệm của phương trình \[{{x}^{2}}-3x\text{ }-1\text{ }=\text{ }0\]. Ta có tổng \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\] bằng:
[A]. \[8. \]
[B]. \[9. \]
[C]. $10. $
[D]. \[11. \]
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l} S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{b}{a}=3 \\ P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}=-1 \end{array} \right. $ $\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{3}^{2}}-2. \left( -1 \right)=11. $ Chọn đáp án D.