Phương trình bậc 2 hai ẩn, trắc nghiệm toán 10

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} S=x+y \\ P=xy \end{array} \right. $ điều kiện ${{\text{S}}^{2}}\ge 4\text{P}$. Hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} SP=30 \\ {{S}^{3}}-3PS)=35 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P=\dfrac{30}{S} \\ {{S}^{3}}-3. \dfrac{30}{S}S=35 \end{array} \right. $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S=5 \\ P=6 \end{array} \right. $. $\Rightarrow x,y$ là nghiệm của phương trình ${{t}^{2}}-5t+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=2 \\ t=3 \end{array} \right. $ Vậy hệ có 2 nghiệm $\left( 2;3 \right),\left( 3;2 \right)\Rightarrow $ Chọn đáp án C.

Nhận xét: Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l} S=x+y \\ P=xy \end{array} \right. $ ta thu được hệ $\left\{ \begin{array}{l} {{S}^{2}}+S-2P=8 \\ P(P+S+1)=12 \end{array} \right. $ $\Rightarrow $ phức tạp Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u=x(x+1) \\ v=y(y+1) \end{array} \right. $ thì (4) trở thành $\left\{ \begin{array}{l} u+v=8 \\ uv=12 \end{array} \right. $ $\Rightarrow u,v$ là nghiệm của phương trình ${{t}^{2}}-8t+12=0\Leftrightarrow $ \[\left[ \begin{array}{l} t=6 \\ t=2 \end{array} \right. \] Vậy $\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u=6 \\ v=2 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} u=2 \\ v=6 \end{array} \right. \end{array} \right. $ Do đó, ta có $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+x-6=0 \\ {{y}^{2}}+y-2=0 \end{array} \right. $ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+x-2=0 \\ {{y}^{2}}+y-6=0 \end{array} \right. $ Vậy hệ có 8 nghiệm $\left( 1;2 \right),\left( 1;-3 \right),\left( -2;2 \right),\left( -2;-3 \right),\left( 2;1 \right),\left( -3;1 \right),\left( 2;-2 \right),\left( -3;-2 \right)$ Chọn đáp án D.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u=x+1 \\ v=y+1 \end{array} \right. $ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} uv=6 \\ {{u}^{3}}+{{v}^{3}}=35 \end{array} \right. $(I) Đặt $\left\{ \begin{array}{l} S=u+v \\ P=uv \end{array} \right. $, hệ (I) trở thành $\left\{ \begin{array}{l} P=6 \\ {{S}^{3}}-3PS=35 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S=5 \\ P=6 \end{array} \right. $ $\Rightarrow u,v$ là nghiệm của phương trình ${{t}^{2}}-5t+6=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=2 \\ t=3 \end{array} \right. $ $\Rightarrow $ Hệ $(I)$ có nghiệm $\left( 2;3 \right)$,$\left( 3;2 \right)$ $\Rightarrow $ Hệ phương trình ban đầu có 2 nghiệm $\left( 1;2 \right),\left( 2;1 \right). $ Chọn đáp án C.

Hệ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x+y)+xy=-1 \\ {{(x+y)}^{2}}-3xy=7 \end{array} \right. $ Đặt $\left\{ \begin{array}{l} x+y=S \\ xy=P \end{array} \right. $ $\left( \exists x,\,\,y\Leftrightarrow {{S}^{2}}\ge 4P \right)$ ta được $\left\{ \begin{array}{l} S+P=-1 \\ {{S}^{2}}-3P=7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} S=1,\,\,P=-2 \\ S=-4,\,\,P=3 \end{array} \right. $ TH 1. $\left\{ \begin{array}{l} S=1 \\ P=-2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y=1 \\ xy=-2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1,\,\,y=2 \\ x=2,\,\,y=-1 \end{array} \right. $ TH 2. $\left\{ \begin{array}{l} S=-4 \\ P=3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y=-4 \\ xy=3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1,\,\,y=-3 \\ x=-3,\,\,y=-1 \end{array} \right. $. Vậy tập nghiệm của hệ là: S = $\left\{ (-1;2);\,\,(2;-1);\,\,(-1;-3);\,\,(-3;-1) \right\}$ $\Rightarrow $ Hệ có $4$ nghiệm. Chọn đáp án D.

Nhận xét: Nếu dùng cách giải thông thường trừ (*) cho (**) vế với vế ta được: $(x-y)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x-y=0 \\ {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0(***) \end{array} \right. $

Đối với trường hợp (***) nếu kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ thì rất phức tạp. Ta có thể giải theo cách sau: Trừ và cộng (*) và (**) vế với vế ta được: $\left\{ \begin{array}{l} (x-y)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1)=0 \\ (x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3)=0 \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ x+y=0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3=0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x+y=0 \\ {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0 \\ {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3=0 \end{array} \right. $

TH1: $\left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ x+y=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=0 \end{array} \right. $

TH2: $\left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y \\ {{x}^{2}}=3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=\sqrt{3} \\ y=\sqrt{3} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-\sqrt{3} \\ y=-\sqrt{3} \end{array} \right. \end{array} \right. $

TH3: $\left\{ \begin{array}{l} x+y=0 \\ {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=-x \\ {{x}^{2}}=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=-1 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=1 \end{array} \right. \end{array} \right. $

TH4: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0 \\ {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy=-1 \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy=-1 \\ x+y=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=-1 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=1 \end{array} \right. \end{array} \right. $

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm $\left( 0;0 \right),\left( \sqrt{3};\sqrt{3} \right),\left( -\sqrt{3};-\sqrt{3} \right),\left( 1;-1 \right),\left( -1;1 \right). $ Chọn đáp án D.

Đặt $t=-y$ ta được hệ đối xứng: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-tx+{{t}^{2}}=1 \\ x+t+tx=3 \end{array} \right. $

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} S=x+t \\ P=xt \end{array} \right. $, điều kiện ${{\text{S}}^{2}}\ge 4\text{P}$ ta được: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{S^2} – 3P = 1}\\ {S + P = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow {S^2} + 3S – 10 = 0\]

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S=-5 \\ S=2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} S=-5 \\ P=8 \end{array} \right. (\text{loai, KTM }{{\text{S}}^{2}}\ge 4P) \\ \left\{ \begin{array}{l} S=2 \\ P=1 \end{array} \right. \end{array} \right. $. Với $\left\{ \begin{array}{l} S=2 \\ P=1 \end{array} \right. $ ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x+t=2 \\ x. t=1 \end{array} \right. $ $\Rightarrow x,t$ là nghiệm của phương trình ${{u}^{2}}-2u+1=0\Leftrightarrow u=1. $ Vậy: $x=t=1. $

Với $t=1\Rightarrow y=-1. $ x= t =1. t = 1 => y = -1.

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất $\left( 1;-1 \right). $ Chọn đáp án B.

Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được: ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}=-5x+5y\Leftrightarrow (x-y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy)+5(x-y)=0$ $\Leftrightarrow (x-y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+5)=0\Leftrightarrow (x-y)\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{(x+\dfrac{1}{2}y)}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{y}^{2}}+5]=0(***)$ Do ${{(x+\dfrac{1}{2}y)}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{y}^{2}}+5>0$ với $\forall x,y$ nên (***)$\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y$thay vào (*) ta được: ${{x}^{3}}=3x+8x\Leftrightarrow {{x}^{3}}-11x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\sqrt{11} \\ x=-\sqrt{11} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=y=0 \\ x=y=\sqrt{11} \\ x=y=-\sqrt{11} \end{array} \right. $ Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0); ($\sqrt{11}$;$\sqrt{11}$); $\left( -\sqrt{11};-\sqrt{11} \right)$ $\Rightarrow P=44. $ Chọn đáp án D.

Đặt $t=-y,\text{ }S=x+t,\text{ }P=xt$, điều kiện ${{S}^{2}}\ge 4P. $ Hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} xt(x+t)=2 \\ {{x}^{3}}+{{t}^{3}}=2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} SP=2 \\ {{S}^{3}}-3SP=2 \end{array} \right. $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S=2 \\ P=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ t=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \Rightarrow P=2. $Chọn đáp án A.

Điều kiện: $xy\ne 0$ Khi đó, hệ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3{{x}^{2}}y={{y}^{2}}+2(1) \\ 3{{y}^{2}}x={{x}^{2}}+2(2) \end{array} \right. $. Trừ vế hai phương trình ta được: $3{{x}^{2}}y-3x{{y}^{2}}={{y}^{2}}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow 3xy(x-y)+(x-y)(x+y)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x-y=0 \\ 3xy+x+y=0 \end{array} \right. $ TH 1. $x-y=0\Leftrightarrow y=x$ thế vào (1) ta được $3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2=0\Leftrightarrow x=1$ TH 2. $3xy+x+y=0$. Từ $3y=\dfrac{{{y}^{2}}+2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow y>0$, $3x=\dfrac{{{x}^{2}}+2}{{{y}^{2}}}\Rightarrow x>0$ $\Rightarrow 3xy+x+y>0$. Do đó TH 2 không xảy ra. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( 1;1 \right). $ Chọn đáp án B.

Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được: $3{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}-(3x-3y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x+y)-(x-y)=0$$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x-y=0 \\ x+y-1=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=y \\ x=1-y \end{array} \right. $ Với $x=y$ thay vào (*) ta có : $2{{x}^{2}}-3x={{x}^{2}}-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=y=1 \\ x=y=2 \end{array} \right. $ Với $x=1-y$ thay vào (*) ta có : $2{{y}^{2}}-3y={{(1-y)}^{2}}-2\Leftrightarrow {{y}^{2}}-y+1=0$(vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm $\left( 1;1 \right),\left( 2;2 \right)\Rightarrow P=10. $ Chọn đáp án A.