Phương trình chứa ẩn trong dấu căn, trắc nghiệm toán 10

\[\sqrt{2x-3}=x-3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 3 \\ 2x-3={{x}^{2}}-6x+9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 3 \\ \left[ \begin{array}{l} x=2 \\ x=6 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x=6. \]Chọn đáp án C. Cách 2: thử đáp án. Thay $x=2$ vào phương trình ta được $\sqrt{2. 2-3}=2-3$ (sai). Thay $x=6$ vào phương trình ta được $\sqrt{2. 6-3}=6-3$ (đúng). Vậy $x=6$ là nghiệm của phương trình.

$\sqrt{{{x}^{2}}-4}=x-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 2 \\ {{x}^{2}}-4={{x}^{2}}-4x+4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 2 \\ x=2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x=2. $ Chọn đáp án B. Cách 2: thử đáp án. Thay $x=0$ vào phương trình ta được $\sqrt{{{0}^{2}}-4}=0-2$ (sai). Thay $x=2$ vào phương trình ta được $\sqrt{{{2}^{2}}-4}=2-2$ (đúng). Vậy $x=2$ là nghiệm của phương trình.

Điều kiện xác định của phương trình $2x+7\ge 0\Leftrightarrow x\ge -\dfrac{7}{2}. $ Ta có \[\left( x-2 \right)\sqrt{2x+7}={{x}^{2}}-4\Leftrightarrow \,\,\left( x-2 \right)\sqrt{2x+7}=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\] \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\,\,\left( x-2 \right)\left[ \sqrt{2x+7}-\left( x+2 \right) \right]=0 \\ \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} x-2=0 \\ \sqrt{2x+7}-\left( x+2 \right)=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} x=2 \\ \sqrt{2x+7}=x+2\left( 1 \right) \end{array} \right.. \end{array}\]

Giải phương trình \[\left( 1 \right):\sqrt {2x + 7} = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge – 2\\ 2x + 7 = {\left( {x + 2} \right)^2} \end{array} \right.\]\[\,\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -2 \\ {{x}^{2}}+2x-3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -2 \\ \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-3 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x=1. \] Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=1,x=2$ nên tổng hai nghiệm của phương trình là $1+2=3. $ Chọn đáp án D.

Điều kiện xác định của phương trình $x-2>0\Leftrightarrow x>2. $ Từ phương trình đã cho ta được \[{{x}^{2}}-4x-2=x-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=5 \end{array} \right.. \] So với điều kiện $x>2$ thì $x=5$ là nghiệm duy nhất của phương trình. Chọn đáp án A.

Điều kiện xác định của phương trình $2-x\ge 0\Leftrightarrow \,x\le 2. $ Từ phương trình đã cho ta được $\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{2-x}\left( \sqrt{2-x}+3 \right)+4=2\left( \sqrt{2-x}+3 \right) \\ \Leftrightarrow \,\,\,\sqrt{2-x}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0 \\ 2-x={{x}^{2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x\ge 0 \\ {{x}^{2}}+x-2=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-2 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x=1. \end{array}$ So với điều kiện $x<2$ thì $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình. Chọn đáp án B.

Điều kiện $x\ge 4$. Ta có: $PT\Leftrightarrow $$\sqrt{x+9}+\sqrt{x}=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-4}$ $\Leftrightarrow $$2x+9+2\sqrt{x(x+9)}=2x-5+2\sqrt{(x-4)(x-1)}$ $\Leftrightarrow $$7+\sqrt{x(x+9)}=\sqrt{(x-1)(x-4)}$ $\Leftrightarrow $$49+{{x}^{2}}+9x+14\sqrt{x(x+9)}={{x}^{2}}-5x+4$ $\Leftrightarrow $$45+14x+14\sqrt{x(x+9)}=0$ Với x ≥ 4 Þ vế trái của phương trình luôn là một số dương Þ phương trình vô nghiệm. Chọn đáp án A.

Điều kiện: $x\ge 0$ Nhận xét: Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được: $1+\sqrt{\left( x+3 \right)\left( 3x+1 \right)}=x+2\sqrt{x\left( 2x+1 \right)}$, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút Khi đó chúng ta dùng phương pháp biến đổi hệ quả: $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=2\sqrt{x}+\sqrt{2x+2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+2}=\sqrt{4x}-\sqrt{x+3}$ $\Rightarrow $$\sqrt{6{{x}^{2}}+8x+2}=\sqrt{4{{x}^{2}}+12x}\Leftrightarrow x=1$ Thử lại: $x=1$thỏa mãn phương trình. Chọn đáp án B.

Điều kiện: $10-{{x}^{2}}\ge 0\,\,\,(*)$ Ta có: $PT\Leftrightarrow (x+3)\sqrt{10-{{x}^{2}}}=(x+3)(x-4)$ $\Leftrightarrow (x+3)\left( \sqrt{10-{{x}^{2}}}-x+4 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-3\,\,(t/m\,\,(*)) \\ \sqrt{10-{{x}^{2}}}=x-4\,\,(**) \end{array} \right. $ $(**)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-4\ge 0 \\ 10-{{x}^{2}}={{x}^{2}}-8x+16 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 4 \\ 2{{x}^{2}}-8x+6=0 \end{array} \right. $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 4 \\ \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=3 \end{array} \right. \end{array} \right. $$\Leftrightarrow VN$ Kết luận: $x=-3$ là nghiệm của phương trình. Chọn đáp án B.

Điều kiện: ${{x}^{2}}-6x+8\ge 0\,\,\,(*)$ Ta có: $\Leftrightarrow (x+1)\sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}=(x-1)(x+1)$ $\Leftrightarrow (x+1)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}-x+1 \right)=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1\,(t/m\,\,(*)) \\ \sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}=x-1\,\,(**) \end{array} \right. $ \[(**)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 1 \\ {{x}^{2}}-6x+8={{x}^{2}}-2x+1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 1 \\ 4x=7 \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\dfrac{7}{4}(t/m(*))\] Kết luận: $x=-1;x=\dfrac{7}{4}$. Chọn đáp án C.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x\ge -3 \\ x\ge -1 \\ {{x}^{2}}+4x+3\ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x\ge -1\,\,\,\,\,(*)$ Khi đó, $PT\Leftrightarrow \sqrt{x+3}(1-\sqrt{x+1})-2x(1-\sqrt{x+1})=0$ $\Leftrightarrow \left( \sqrt{x+3}-2x \right)\left( 1-\sqrt{x+1} \right)=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt{x+3}=2x\,\,\,\,\,(**) \\ \sqrt{x+1}=1\,\,\,\,\,\,\,\,(***) \end{array} \right. $ $(**)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0 \\ x+3=4{{x}^{2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-\dfrac{3}{4} \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x=1\,\,\,(t/m\,\,\,(*))$ $(***)\Leftrightarrow x=0\,(t/m\,\,(*))$ Vậy, $x=0;x=1$là nghiệm của phương trình $\Rightarrow {{1}^{2}}+{{0}^{2}}=1. $ Chọn đáp án D.

Điều kiện: $x\ge \dfrac{3}{2}$$(*)$ Khi đó, $PT\Leftrightarrow (2x-3-2\sqrt{2x-3}+1)+{{x}^{2}}-4x+4=0$ $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2x-3}-1 \right)}^{2}}+{{(x-2)}^{2}}=0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2x-3}-1=0 \\ x-2=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x=2$(t/m (*)) Kết luận: $x=2$là nghiệm của phương trình. Chọn đáp án B.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 2x+3\ge 0 \\ 2-2x\ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}\le x\le 1\,\,\,(*)$ Khi đó, $(2)\Leftrightarrow 10-4\sqrt{2x+3}-2\sqrt{2-2x}=0$ $\Leftrightarrow (2x+3-4\sqrt{2x+3}+4)+(2-2x-2\sqrt{2-2x}+1)=0$ $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2x+3}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2-2x}-1 \right)}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2x+3}=2 \\ \sqrt{2-2x}=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x=1$(t/m (*)) Kết luận: $x=1$là nghiệm của phương trình. Chọn đáp án B.

$PT\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-3x+10=3\sqrt{{{x}^{2}}+3x}\,\,\,\,\,(1)$ Đặt: $\sqrt{{{x}^{2}}+3x}=t\,\,(t\ge 0)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x={{t}^{2}}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-3x=-{{t}^{2}}$ Khi đó, $(1)\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+10=3t\Leftrightarrow {{t}^{2}}+3t-10=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=2\,(t/m) \\ t=-5\,(l) \end{array} \right. $ Với: $t=2\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+3x}=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-4=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-4 \end{array} \right. $ Kết luận: $\left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-4 \end{array} \right. $là nghiệm của phương trình. Chọn đáp án C.

$PT\Leftrightarrow \sqrt{-{{x}^{2}}+x+2}=1+2(x-{{x}^{2}})\,\,\,(1)$ Đặt: $\sqrt{-{{x}^{2}}+x+2}=t\,\,(t\ge 0)\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+x={{t}^{2}}-2$ Khi đó, $(1)\Leftrightarrow t=1+2({{t}^{2}}-2)\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-3=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-1\,(l) \\ t=\dfrac{3}{2}\,(t/m) \end{array} \right. $ Với: $t=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \sqrt{-{{x}^{2}}+x+2}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+\dfrac{1}{4}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ Kết luận: $x=\dfrac{1}{2}$là nghiệm của phương trình. Chọn đáp án B.

Điều kiện: $x\ge 1\,\,\,\,\,(*)$ Đặt: $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=t\,(t\ge 0)\Leftrightarrow 4x-3+2\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+2}={{t}^{2}}$ Khi đó, $PT\Leftrightarrow t={{t}^{2}}-6\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t-6=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=3\,(t/m) \\ t=-2(l) \end{array} \right. $ Với $t=3\Leftrightarrow \sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=3$$\Leftrightarrow 4x-3+2\sqrt{3{{x}^{2}}-5x+2}=9$ $\Leftrightarrow \sqrt{3{{x}^{2}}-5x+2}=6-2x$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6-2x\ge 0 \\ 3{{x}^{2}}-5x+2=36-24x+4{{x}^{2}} \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\le 3 \\ {{x}^{2}}-19x+34=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\le 3 \\ \left[ \begin{array}{l} x=2 \\ x=17 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x=2$(t/m (*)) Kết luận: $x=2$là nghiệm của phương trình. Chọn đáp án B.