Đại cương về phương trình, trắc nghiệm toán 10
Câu 1.
Điều kiện xác định của phương trình \[\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}\] – 5 = \[\dfrac{3}{{{x}^{2}}+1}\] là:
[A]. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\].
[B]. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\].
[C]. \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}\].
[D]. \[D=\mathbb{R}\].
HD Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+1\ne 0\Leftrightarrow \forall x\in \mathbb{R}. $ Chọn đáp án D.
Câu 2.
Tập xác định của phương trình \[\sqrt{x-1}\] + \[\sqrt{x-2}\] = \[\sqrt{x-3}\] là:
[A]. \[\left( 3;+\infty \right)\].
[B]. \[\left[ 2;+\infty \right)\].
[C]. \[\left[ 1;+\infty \right)\].
[D]. \[\left[ 3;+\infty \right)\].
HD Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} x-1\ge 0 \\ x-2\ge 0 \\ x-3\ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x\ge 3. $ Chọn đáp án D.
Câu 3.
Điều kiện xác định của phương trình \[\sqrt{x-2}+\dfrac{{{x}^{2}}+5}{\sqrt{7-x}}=0\] là:
[A]. \[x\ge 2\].
[B]. \[x<7\].
[C]. \[2\le x\le 7\].
[D]. \[2\le x<7\].
HD Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} x-2\ge 0 \\ 7-x>0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 2 \\ x<7 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2\le x<7. $ Chọn đáp án D.
Câu 4.
Tập xác định của phương trình \[\dfrac{1}{{{x}^{2}}-1}\] = \[\sqrt{x+3}\] là:
[A]. \[\left( 1;+\infty
\right)\].
[B]. \[\left[ -3;+\infty
\right)\].
[C]. \[\left[ -3\text{ };+\infty
\right)\backslash \left\{ \pm 1 \right\}\].
[D]. Cả A, B, C đều sai.
HD Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-1\ne 0 \\ x+3\ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ne \pm 1 \\ x\ge -3 \end{array} \right. $ Chọn đáp án C.
Câu 5.
Điều kiện của phương trình \[\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=0\] là:
[A]. \[x\ge 0\].
[B]. \[x>0\].
[C]. \[x>0\]và \[{{x}^{2}}-1\ge 0\].
[D]. \[x\ge 0\]và \[{{x}^{2}}-1>0\].
HD Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} x>0 \\ {{x}^{2}}-1\ge 0 \end{array} \right. $ Chọn đáp án C.
Câu 6.
Điều kiện xác định của phương trình \[\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{\sqrt{5-2x}}{x-2}\] là:
[A]. \[x\ge 1\]và \[x\ne 2\].
[B]. \[x>1\]và \[x\ne 2\].
[C]. \[1<x\le \dfrac{5}{2}\]và \[x\ne 2\].
[D]. \[1\le x\le \dfrac{5}{2}\].
HD Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} x-1>0 \\ 5-2x\ge 0 \\ x\ne 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1<x\le \dfrac{5}{2} \\ x\ne 2 \end{array} \right. $ Chọn đáp án C.
Câu 7.
Phương trình \[\sqrt{x-3}+\dfrac{1}{x}=0\] có điều kiện xác định là:
[A]. \[\mathbb{R}\].
[B]. \[\left[ \text{3;+}\infty
\right)\].
[C]. \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\].
[D]. \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;3 \right\}\].
HD Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} x-3\ge 0 \\ x\ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x\ge 3. $ Chọn đáp án B.
Câu 8.
Tập nghiệm của phương trình\[\sqrt{{{x}^{2}}-2x}\] = \[\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\] là:
[A]. \[T=\left\{ 0 \right\}\].
[B]. \[T=\varnothing \].
[C]. \[T=\left\{ 0\text{ };\text{ }2 \right\}\].
[D]. \[T=\left\{ 2 \right\}\].
HD Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-2x\ge 0 \\ 2x-{{x}^{2}}\ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=2 \end{array} \right. $ Thay $x=0$ vào phương trình ta được: $0=0$ Đúng $\Rightarrow x=0$ là nghiệm của phương trình. Thay $x=2$ vào phương trình ta được: $0=0$ Đúng $\Rightarrow x=2$ là nghiệm của phương trình. Chọn đáp án C.
Câu 9.
Tập nghiệm của phương trình \[\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\sqrt{-x}\] là:
[A]. \[S=\left\{ 0 \right\}\].
[B]. \[S=\varnothing \].
[C]. \[S=\left\{ 1 \right\}\].
[D]. \[S=\left\{ -1 \right\}\].
HD Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} x>0 \\ -x\ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x>0 \\ x\le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow $ Không có $x$ thỏa mãn. $\Rightarrow $ phương trình vô nghiệm. Chọn đáp án B.
Câu 10.
Hai phương trình được gọi là tương đương khi:
[A]. Có cùng dạng phương trình.
[B]. Có cùng tập xác định.
[C]. Có cùng tập hợp nghiệm.
[D]. Cả A, B, C đều đúng.
HD Chọn đáp án C.
Câu 11.
Trong các khẳng định sau, phép biến đổi nào là tương đương:
[A]. \[3x+\sqrt{x-2}={{x}^{2}}\Leftrightarrow 3x={{x}^{2}}-\sqrt{x-2}\].
[B]. \[\sqrt{x-1}=3x\Leftrightarrow x-1=9{{x}^{2}}\].
[C]. \[3x+\sqrt{x-2}={{x}^{2}}+\sqrt{x-2}\Leftrightarrow 3x={{x}^{2}}\].
[D]. Cả A, B, C đều sai.
HD Chọn đáp án A.
Câu 12.
Cho phương trình $2{{x}^{2}}-x=0\,\,\,\left( 1 \right). $ Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình \[\left( 1 \right)\]?
[A]. \[2x-\dfrac{x}{1-x}=0\].
[B]. \[4{{x}^{3}}-x=0\].
[C]. \[{{\left( 2{{x}^{2}}-x \right)}^{2}}+{{\left( x-5 \right)}^{2}}=0\].
[D]. \[{{x}^{2}}-2x+1=0\].
HD Phương trình là phương trình hệ quả của $\left( 1 \right)$ khi tập nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ là tập con của tập nghiệm phương trình. $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x=0;x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow $ tập nghiệm của $\left( 1 \right): {{S}_{1}}=\left\{ 0;\dfrac{1}{2} \right\}$ Xét câu D ta có $x=1$ là nghiệm của phương trình. Tập nghiệm của phương trình ở câu D: $S=\left\{ 1 \right\}. $ $\Rightarrow $ ${{S}_{1}}$ không phải là tập con của $S$ $\Rightarrow $phương trình ở D không phải là phương trình hệ quả của $\left( 1 \right). $ Chọn đáp án D.
Câu 13.
Hãy chỉ ra khẳng định sai:
[A]. \[\sqrt{x-2}=\text{ }3~\sqrt{2-x}\Leftrightarrow x-2=0\].
[B]. \[\sqrt{x-3}=2\Rightarrow x-3=4\].
[C]. \[\dfrac{x(x-2)}{x-2}=2\Rightarrow x=2\].
[D]. \[\left| x \right|=2\Leftrightarrow x=2\].
HD Ta có: $\left| x \right|=2\Leftrightarrow x=\pm 2. $ Chọn đáp án D.
Câu 14.
Hãy chỉ ra khẳng định sai :
[A]. \[\sqrt{x-1}=2\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x-1=0\].
[B]. \[{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{\sqrt{x-1}}=0\].
[C]. \[\left| x-2 \right|=x+1\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}={{(x+1)}^{2}}\].
[D]. \[{{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=1,x>0\].
HD Chọn đáp án C. Vì bình phương hai vế chưa biết âm dương của phương trình.
Câu 15.
Hãy chỉ ra khẳng định sai:
[A]. \[\sqrt{x-1}=2\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x-1=0\].
[B]. \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\Leftrightarrow x=1\].
[C]. \[\left| \text{x} \right|=1\Leftrightarrow x=\pm 1\].
[D]. \[\left| x-2 \right|=\left| x+1 \right|\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}. \]
HD Chọn đáp án B. Vì $x=1$ không thỏa mãn điều kiện của phương trình ban đầu.
Câu 16.
Phương trình \[\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x1 \right)\left( x+1 \right)=0\] tương đương với phương trình:
[A]. \[x-1=0\].
[B]. \[x+1=0\].
[C]. \[{{x}^{2}}+1=0\].
[D]. \[\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)=0\].
HD Chọn đáp án D. Vì 2 phương trình có cùng tập nghiệm.
Câu 17.
Phương trình \[{{x}^{2}}=3x\] tương đương với phương trình:
[A]. \[{{x}^{2}}+\sqrt{x-2}=3x+\sqrt{x-2}\].
[B]. \[{{x}^{2}}+\dfrac{1}{x-3}=3x+\dfrac{1}{x-3}\].
[C]. \[{{x}^{2}}. \sqrt{x-3}=3x. \sqrt{x-3}\].
[D]. \[{{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=3x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\].
HD Chọn đáp án D. Vì 2 phương trình có cùng tập nghiệm.
Câu 18.
Khẳng định nào sau đây là sai:
[A]. \[\sqrt{x-2}=1\Rightarrow x-2=1\].
[B]. \[\dfrac{x(x-1)}{x-1}=1\Leftrightarrow x=1\].
[C]. \[\left| 3x-2 \right|=x-3\Rightarrow 8{{x}^{2}}-4x-5=0\].
[D]. \[\sqrt{x-3}=\sqrt{9-2x}\Rightarrow 3x-12=0\].
HD Chọn đáp án B. Vì $x=1$ không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Câu 19.
Khi giải phương trình \[\sqrt{3{{x}^{2}}+1}=2x+1\] \[\left( 1 \right)\], ta tiến hành theo các bước sau:
Bước \[1\]: Bình phương hai vế của phương trình \[\left( 1 \right)\] ta được: \[3{{x}^{2}}+1={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}~~~\left( 2 \right)\].
Bước \[2\]: Khai triển và rút gọn \[\left( 2 \right)\] ta được: \[{{x}^{2}}+4x=0~\Leftrightarrow x=0\] hay \[x=-4\].
Bước \[3\]: Khi \[x=0\], ta có \[3{{x}^{2}}+1>0\]. Khi \[x=-4\], ta có \[3{{x}^{2}}+1>0\]. Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[\left\{ 0;4 \right\}\].
Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
[A]. Đúng.
[B]. Sai ở bước \[1\].
[C]. Sai ở bước \[2\].
[D]. Sai ở bước \[3\].
Sai từ bước 1 vì không đặt điều kiện khi bình phương
Câu 20.
Tập các số nguyên làm phương trình \[\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}=0\] xác định là:
[A]. \[\left\{ 0;1 \right\}\].
[B]. \[\left\{ \text{-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} \right\}\].
[C]. \[\left\{ \text{0; 1; 2; 3; 4; 5} \right\}\].
[D]. \[\left\{ \text{0; 1; 2; 3; 4} \right\}\]\[S=\left\{ -1 \right\}\].
HD Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} x+1\ge 0 \\ 5-x\ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge -1 \\ x\le 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow -1\le x\le 5$ Chọn đáp án B.