Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, trắc nghiệm toán 12

Hướng dẫn
Chọn A.

Hướng dẫn
Đặt t=sinx
Do \(x \in \left( { – \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên \(t \in \left( { – 1;1} \right)\)
Xét hàm số: \(f(t) = t – \dfrac{4}{3}{t^3},t \in \left( { – 1;1} \right)\)
\(y’ = 1 – 4{t^2}\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \dfrac{1}{2}\\ t = – \dfrac{1}{2} \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy
\(\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f(t) = – \dfrac{1}{3}\)

Hướng dẫn
Đặt \(y=xt, t\neq 0\)
Khi đó:
\(A = \dfrac{{2xt.x}}{{{x^2} + {{(xt)}^2}}} = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\)
Xét hàm số:
\(f(t) = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) trên R
\(f'(t) = – \dfrac{{2({t^2} – 1)}}{{{{\left( {t{}^2 + 1} \right)}^2}}}\)
\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = – 1\\ t = 1 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy
\(min \ f(t)= -1\) tại \(t =- 1\neq 0\)
Vậy GTNN của A bằng -1.

Hướng dẫn
Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Ta có:
\(\\ y ‘ = x^3 – 4x = x(x^2 – 4); \ y'(x) = 0 \\ \\ \Leftrightarrow x_{1}=0; \ x_{2} = 2; \ x_{3}= -2 \\ \\ y” = 3x^2 – 4\)
\(\\ \\ y”(\pm 2) = 8 > 0\) nên x= -2 và x = 2 là hai điểm cực tiểu.
\(\\ \\ y”(0) = -4 < 0\) nên x = 0 là điểm cực đại.
⇒ Hàm số đạt cực đại tại \(x_{CD} = 0 ; \ y_{CD} = 6\)

Hướng dẫn
\(y = f(x) = {x^3} – 3{x^2} – 9x + 6\)
Đây là một câu hỏi dễ lấy điểm. Để tìm được GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { – 4;4} \right]\) ta giải phương trình \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 3 \end{array} \right.\).
Ta lần lượt so sánh \(f\left( { – 4} \right),f\left( 4 \right),f\left( { – 1} \right),f\left( 3 \right)\) thì thấy \(f\left( { – 4} \right) = – 70\) là nhỏ nhất.
Vậy đáp án đúng là D.

Hướng dẫn
\(y = x – 5 + \dfrac{1}{x} \Rightarrow y’ = 1 – \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}\)
\(\Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Ta có: \(y\left( 1 \right) = – 3;y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = – \dfrac{5}{2};y\left( 5 \right) = \dfrac{1}{5}\)
Vậy GTNN của hàm số bằng -3.

Hướng dẫn
Ta có:\(f’\left( x \right) = \dfrac{{8{x^2} – 12x – 8}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
\(f’\left( x \right) = 0 \leftrightarrow 8{x^2} – 12x – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = – 2\\ x = – \dfrac{1}{2} \Rightarrow f\left( { – \dfrac{1}{2}} \right) = – 8 \end{array} \right.\)
Ta vẽ bảng biến thiên và thấy \(\min \,f(x) = – 2;max\,f(x) = 8\)

Hướng dẫn
Xét phương trình \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = – 1 \end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;4} \right]} y = \max \left\{ {y\left( { – 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 4 \right) = 51\)
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;4} \right]} y = \min \left\{ {y\left( { – 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 1 \right) = – 3\)

Hướng dẫn
Hàm số \(y = x\sqrt {1 – {x^2}}\) xác định trong đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\)
Ta có \(y’ = \sqrt {1 – {x^2}} – \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }} = \dfrac{{1 – 2{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {x = – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right.\). Ta lần lượt so sánh các giá trị
\(y\left( { – 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = 0;y\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \dfrac{{ – 1}}{2};y\left( {\dfrac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}} \right) = \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(M – m = \dfrac{1}{2} – \left ( – \dfrac{1}{2} \right ) = 1\)

Hướng dẫn
Đặt \(\sin x = t \Rightarrow t \in \left( { – 1;1} \right)\). Khi đó: \(f(t) = 3t – 4{t^3}\)
\(f’\left( t \right) = \left( {3t – 4{t^3}} \right)’ = – 12{t^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \dfrac{1}{2}\\ t = – \dfrac{1}{2} \end{array} \right.\)
Ta có:
\(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 1\)
\(f\left( { – \dfrac{1}{2}} \right) = – 1\)
So sánh \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\) và \(f\left( { – \dfrac{1}{2}} \right)\)
Suy ra: GTLN của hàm số là \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 1\).

Hướng dẫn
Phân tích: A sai do hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất là 0.
B sai do hàm số đạt GTLN bằng 1.
C sai do có tồn tại GTLN của hàm số.

Hướng dẫn
Ta có \(y’ = 3{x^2} – 6x,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \notin \left[ {1;3} \right]\\ x = 2 \in \left[ {1;3} \right] \end{array} \right.\)
Ta lần lượt so sánh các giá trị \(y\left( 1 \right) = 1,y\left( 2 \right) = – 1\), \(y\left( 3 \right) = 3\).
Do đó: \(M = y\left( 3 \right) = 3,m = y\left( 2 \right) = – 1\).
Nên \(M + m = 3 – 1 = 2\)

Hướng dẫn
TXĐ: \(D = {\rm{[ – 2;2]}}\)
\({\rm{y’ = 1 – }}\dfrac{x}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow {\rm{1 – }}\dfrac{x}{{\sqrt {4 – {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {4 – {x^2}} \\ 4 – {x^2} > 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 4 – {x^2}\\ x \ge 0\\ – 2 < x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2\)
\(y( – 2) = – 2\)
\(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2\)
\(y(2) = 2\)
Vậy GTLN của hàm số là \(2\sqrt 2\)

Hướng dẫn
\(y = 2{x^4} – 4{x^2} + 1\) ta có
\(y’ = 8{x^3} – 8x,y’ = 0 \leftrightarrow x = – 1;x = 0;x = 1\)
Vì hàm số liên tục và xác định trên đoạn nên ta có
\(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ { – 1;3} \right]} y = y\left( { – 1} \right) = – 1 \to m = – 1\)
\(\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { – 1;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 127 \to M = 127\)
Vậy \(M + m = 127 – 1 = 126\).

Hướng dẫn
\(y = \dfrac{{x – 1}}{{x + 3}}\), TXĐ:\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3} \right\}\)
Vậy hàm số liên tục và xác định trên [-2;2].
Ta có: \(y’ = \dfrac{4}{{{{(x + 3)}^2}}} > 0,\forall x \ne – 3\)
Nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – 3} \right)\) và \(\left( { – 3; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số đồng biến trên [-2;2]
Suy ra: \(f(x) < f(2) = \dfrac{1}{5},\forall x \in \left[ { – 2;2} \right]\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;2] là \(\dfrac{1}{5}\).

Hướng dẫn
Xét m=0 thì y=0 là hàm hằng, không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m \ne 0\), ta có:
\(\begin{array}{l} y = \dfrac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\\ y’ = \dfrac{{m\left( {1 – {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \end{array}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m\left( {1 – {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [-2;2] khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} y\left( 1 \right) > y\left( { – 2} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( { – 1} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( 2 \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{m}{2} > – \dfrac{{2m}}{5}\\ \dfrac{m}{2} > – \dfrac{m}{2}\\ \dfrac{m}{2} > \dfrac{{2m}}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

Hướng dẫn
Xét hàm số \(y = – {x^3} – 3{x^2} + m\) trên [-1;1].
\(\begin{array}{l} y’ = – 3{x^2} – 6x\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vì \(x \in \left[ { – 1;1} \right] \Rightarrow x = 0\)
\(\begin{array}{l} y( – 1) = – 2 + m\\ y(0) = m\\ y(1) = – 4 + m \end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1;1] là \(y(0) = – 4 + m\)
Ta có: \(- 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = 4\).

Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} y = \dfrac{{{x^2} + 3}}{{x – 1}}\\ y’ = \dfrac{{{x^2} – 2x – 3}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} – 2x – 3}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = – 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \end{array}\)
Ta có: \(y(2) = 7;\,y(3) = 6;\,y(4) = \dfrac{{19}}{3}\)
Suy ra: \(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} y = Min\left\{ {y\left( 2 \right),y\left( 3 \right),y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 3 \right) = 6\)

Hướng dẫn
TXĐ: \(D = \left[ { – \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)
\(\begin{array}{l} y’ = 2 + \dfrac{{ – 2x}}{{2\sqrt {5 – {x^2}} }}\\ y’ = 0 \Leftrightarrow 2 – \dfrac{x}{{\sqrt {5 – {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\sqrt {5 – {x^2}} \\ \sqrt {5 – {x^2}} \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x < \sqrt 5 \\ {x^2} = 4\left( {5 – {x^2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} y( – \sqrt 5 ) = – 2\sqrt 5 ;\,\,\,\,y\left( 2 \right) = 5\\ y\left( {\sqrt 5 } \right) = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in D} y = 5 \end{array}\)

Hướng dẫn
Ta có \(v = s’\) hay \(v = 12t – 3{t^2}\)
Xét hàm số
\(f\left( t \right) = 12t – 3{t^2}\) với \(t > 0\)
\(f'(t) = 12 – 6t\)
Lập bảng biến thiên ta tìm được hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=2.
Nên vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2

Hướng dẫn
Đặt \({\log _2}x = t\) với \(x\in \left[ {1;8} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\)
Khi đó ta xét hàm số \(f(t) = {t^2} – 4t + 1\)
\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
\(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {1;8} \right]} y = \mathop {M\inf (t)}\limits_{t \in \left[ {0;3} \right]} = Min\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 2 \right);f\left( 3 \right)} \right\} = f\left( 2 \right) = – 3\)

Hướng dẫn
\(y = \dfrac{{2mx + 1}}{{m – x}} \Rightarrow y’ = \dfrac{{2{m^2} + 1}}{{{{(m – x)}^2}}} > 0,\forall x \in \backslash {\rm{\{ }}m{\rm{\} }}\)
Nên hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Nếu \(m \in \left[ {2;3} \right]\) thì hàm số không có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3].
Nếu \(m \notin \left[ {2;3} \right]\) thì giá trị lớn nhất của hàm số trên [2;3] là \(y(3) = \dfrac{{6m + 1}}{{m – 3}} = – \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow m = 0\).

Hướng dẫn
\(y’ = 3{x^2} – 4x – 4\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 4x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = – \dfrac{2}{3} \end{array} \right.\)
\(y(1) = – 4;y(2) = – 7;y(3) = – 2\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = – 2\).

Hướng dẫn
Ta có: \(y’=\dfrac{{ – 13}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x\ne2\).
Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên [3;5].
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 5 \right) = \dfrac{{28}}{3}\)

Hướng dẫn
Thực chất đây là bài toán tìm GTNN của hàm số một đoạn cho trước.
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{1}{4}{t^4} – \dfrac{3}{2}{t^2} + 2t + 20\) với t>0.
\(f’\left( t \right) = {t^3} – 3t + 2\)
\(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = – 2\left( l \right)} \end{array}} \right.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t=1.

Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} y’ = 1 – \sqrt 2 \sin x.{\rm{ }}\\ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4}\,\left( {Do\,x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} \right)\\ y(0) = \sqrt 2 ;y\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{4} + 1;y\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2}\\ \Rightarrow M = \dfrac{\pi }{4} + 1;m = \sqrt 2 \end{array}\)

Hướng dẫn
\(y = {x^3} – 3{x^2} – 9x + 2\)
\(\begin{array}{l} y’ = 3{x^2} – 6x – 9\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array}\)
Ta có: \(y\left( { – 2} \right) = 0;y\left( 2 \right) = – 20;y\left( { – 1} \right) = 7\)
Vậy M=7, m=-20.

Hướng dẫn
Hàm số \(y = \dfrac{{x – 1}}{{2x + 1}}\) có \(y’ = \dfrac{3}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { – \infty ;\dfrac{{ – 1}}{2}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{{ – 1}}{2}; + \infty } \right)\).
Vì hàm số đã cho liên tục và xác định trên [1;3] nên ta có GTNN của hàm số đó là y(1)=0 và GTLN của hàm số đó là \(y\left( 3 \right) = \dfrac{2}{7}\)

Hướng dẫn
Ta có \(y’ = \dfrac{{{x^2} – 2x – 3}}{{x – 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = – 1 \notin \left[ {2;4} \right]}\\ {x = 3 \in \left[ {2;4} \right]} \end{array}} \right.\).
Do hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2;4] và có \(y\left( 2 \right) = 7;y\left( 3 \right) = 6;y\left( 4 \right) = \dfrac{{19}}{3}\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = 6\).

Hướng dẫn
Ta có: \(f\left( x \right) = {x^4} – 4{x^2} + 4;f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { – \dfrac{1}{2};2} \right]\)
\(f’\left( x \right) = 4{x^3} – 8x\)
Với \(x \in \left[ { – \dfrac{1}{2};2} \right],f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \sqrt 2\)
Ta có: \(f\left( { – \dfrac{1}{2}} \right) = 3.\dfrac{1}{{16}},f\left( 0 \right) = 4,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 0,f\left( 2 \right) = 4\)
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ { – \dfrac{1}{2};2} \right]\) lần lượt là 4 và 0.

Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} y = {x^4} + 2{x^2} – 1\\ \Rightarrow y’ = 4{x^3} + 2x = 2x(2{x^2} + 1)\\ y’ = 0 \Rightarrow x = 0 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} y(0) = – 1\\ y( – 1) = 2\\ y(2) = 23 \end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;2] là -1.

Hướng dẫn
TXĐ: \(D = \left[ { – 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 } \right]\)
\(\begin{array}{l} y’ = 1 – \dfrac{x}{{\sqrt {18 – {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {18 – {x^2}} \\ – 3\sqrt 2 < x < 3\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ {x^2} = 18 – {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3. \end{array}\)

Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} y’ = 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\\ y( – 2) = – 19;\,y(0) = 1;\,y(2) = – 3;\,y(4) = 17\\ \Rightarrow M = 17;\,m = – 19 \Rightarrow M + m = – 2 \end{array}\)

Hướng dẫn
TXĐ: \(D = \left[ { – 2;2} \right]\)
Xét hàm số \(f(x) = (1 – {x^2})\sqrt {4 – {x^2}} ,x \in \left[ { – 2;2} \right]\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = – 2x\sqrt {4 – {x^2}} – (1 – {x^2}).\dfrac{x}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}\\ = – \dfrac{{2x(4 – {x^2}) + x(1 – {x^2})}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }} = \dfrac{{3{x^2} – 9x}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\\ f( – 2) = f(2) = 0\\ f( – \sqrt 3 ) = f(\sqrt 3 ) = – 2\\ f(0) = 0\\ \Rightarrow \min f(x) = – 2;\,\max f(x) = 2 \end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(- 2 \le m \le 2.\)

Hướng dẫn
Với m=1 ta có y=1, nên GTLN của hàm số trên [2;3] bằng 1.
Ta có: \(y’ = \dfrac{{{m^3} – 1}}{{{{(x + {m^2})}^2}}}\)
Với m>1 ta có hàm ta có hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=3.
Ta có: \(\dfrac{{3m + 1}}{{3 + {m^2}}} = \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} – 18m + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3 > 1\\ m = \dfrac{3}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy m=3 thỏa yêu cầu bài toán.
Với m<1 ta có hàm ta có hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=2.
Ta có: \(\dfrac{{2m + 1}}{{2 + {m^2}}} = \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} – 12m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 > 1\\ m = \dfrac{2}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy\(m = \dfrac{2}{5}\) thỏa yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn
TXĐ : \(D = \left[ { – \infty ;\dfrac{5}{4}} \right]\) nên hàm số liên tục và xác định trên [-1;1].
Đạo hàm : \(y’ = – \dfrac{2}{{\sqrt {5 – 4x} }} < 0,\forall x \in \left( { – \infty ;\dfrac{5}{4}} \right)\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( { – \infty ;\dfrac{5}{4}} \right)\) nên nghịch biến trên [-1;1].
Vậy: \(M = y\left( { – 1} \right) = 3.\)

Hướng dẫn
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow t \in \left( { – 1;1} \right)\)
\(t = {\sin ^3}x – \cos 2x + \sin x + 2 = {\sin ^3}x – \left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin x + 2 = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\)
Do \(t \in \left( { – 1;1} \right) \Rightarrow y’ = 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = – \dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow Miny = y\left( {\dfrac{{ – 1}}{3}} \right) = \dfrac{{23}}{{27}}\)

Hướng dẫn
Điều kiện \(x \in \left[ { – 3;3} \right]\)
\(y’ = 2 – \dfrac{{3{\rm{x}}}}{{\sqrt {9 – {x^2}} }} = 0 \Rightarrow 4\left( {9 – {x^2}} \right) = 9{{\rm{x}}^2} \Rightarrow x = \pm \sqrt 2\)
\(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 + 3\sqrt 7 ;y\left( { – \sqrt 2 } \right) = – 2\sqrt 2 + 3\sqrt 7 ;y\left( { – 3} \right) = – 6;y\left( 3 \right) = 6\)
Vậy m=-6.

Hướng dẫn
Đặt \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = t;t \in \left[ { – 1;1} \right]\).
Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = {t^4} – {t^3}\) trên \(\left[ { – 1;1} \right].\)
Khi đó \(y’ = f’\left( t \right) = 4{t^3} – 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \dfrac{3}{4} \end{array} \right.\)
Ta có \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = Max\left\{ {f\left( { – 1} \right);f\left( 1 \right);f\left( 0 \right);f\left( {\dfrac{3}{4}} \right)} \right\} = f\left( { – 1} \right) = 2\).

Hướng dẫn
\(\\ y’ = 3{x^2} + 6x – 9,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\ x = – 3 \notin \left[ {0;3} \right] \end{array} \right. \\ \\ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = 1,f\left( 1 \right) = – 4,f\left( 3 \right) = 28\\ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 28,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = – 4 \end{array}\)

Hướng dẫn
\(f’\left( x \right) = \cos x + \sqrt 3 \sin x,f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in } \right)\)
Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(x \in \left( {0;\pi } \right)\)

Vậy, Hàm số đạt giá trị lớn nhất của hàm số là \(f\left( {\dfrac{{5\pi }}{6}} \right) = 2.\)

Hướng dẫn
\(\\ y’ = – 3{x^2} – 6x \\ \\ y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \in \left[ { – 1;1} \right]\\ x = – 2 \notin \left[ { – 1;1} \right] \end{array} \right. \\ \\ x = 0 \Rightarrow y = m \\ \\ x = 1 \Rightarrow y = m – 4 \\ \\ x = -1 \Rightarrow y = m – 2\)
Từ đó dễ thấy y = m – 4 là GTNN cần tìm.
Vậy: \(m – 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4.\)

Hướng dẫn
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { – 1;3} \right]\) là -2.

Hướng dẫn
TXĐ: D = R
\(\begin{array}{l} y’ = {e^x}(x – 1) + {e^x} – 2x = ({e^x} – 2)x\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \ln 2 \Rightarrow y(\ln 2) = 2(\ln 2 – 1) – {\ln ^2}2\\ x = 0 \Rightarrow y(0) = 1 \end{array} \right.\\ y(2) = {e^2} – 4 \end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l} \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f(x) = f(2) = {e^2} – 4 = M\\ \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f(x) = f(ln2) = 2(\ln 2 – 1) – {\ln ^2}2 = m\\ \Rightarrow M + m = {e^2} – {\ln ^2}2 + \ln 4 – 6 \end{array}\)

Hướng dẫn
TXĐ: \(D = \left[ { – 1;1} \right]\)
\(y’ = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {1 – {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {1 – {x^2}} + x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 – {x^2}} = – x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ x = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Ta có
\(y\left( { – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = – \sqrt 2 ;\,\,y( – 1) = – 1\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là -1.

Hướng dẫn
Ta có \(y’ = 3{x^2} – 6x – 9;y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = – 1}\\ {x = 3} \end{array}} \right.\)
Ta có \(y\left( { – 4} \right) = – 41;y\left( { – 1} \right) = 40;y\left( 3 \right) = 8;y\left( 4 \right) = 15\)
Do đó ta có \(M = 40;m = – 41\)

Hướng dẫn
Ta có: \(y = {\cos ^2}x + \sin x + 3 = – {\sin ^2}x + \sin x + 4\)
Đặt \(t = \sin x,t \in \left[ { – 1;1} \right]\) Ta có hàm số: \(g(t) = – {t^2} + t + 4\)
Xét hàm số g(t) trên \([-1;1]\) ta có:
\(\begin{array}{l} g'(t) = – 2t + 1\\ g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} g( – 1) = 2\\ g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{{17}}{4}\\ g(1) = 4 \end{array}\)
Vậy \(M=\dfrac{17}{4}\)

Hướng dẫn
\(f'(x) = 3 – \dfrac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 3\\ x = – 1 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số không có gí trị lớn nhất trong khoảng \(D=(-2;1]\)

Hướng dẫn
Ta có \(f’\left( x \right) = 2\cos 2x – 2cox = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} cos = 1\\ \cos = – \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( {k2\pi } \right) = 0\\ f\left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = – \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\\ f\left( { – \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \Rightarrow Max{\rm{ }}f\left( x \right) = f\left( { – \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}.\)

Hướng dẫn
Hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {1 – x} – 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}}.\)
Tập xác định: D =[0; 1]
Do \(0 \le x \le 1\) nên \(y = \dfrac{{\sqrt {1 – x} – 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}} \le \dfrac{{\sqrt {1 – x} }}{{\sqrt x + 1}} \le \dfrac{{\sqrt 1 }}{{\sqrt 1 }} = 1.\)
Dấu bằng xảy ra khi x=0, khi đó y=1.
Mặt khác \(0 \le x \le 1\) với thì \(y = \dfrac{{\sqrt {1 – x} – 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}} \ge \dfrac{{\sqrt {1 – x} – {{2.1}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = – 1.\)
Dấu bằng xảy ra khi x=1, khi đó y=-1.
Vậy M=1, m=-1 suy ra M-m=2.

Hướng dẫn
\(y’ = 2 – \dfrac{2}{{1 – 2x}};\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( { – 1} \right) = – 2 + \ln 3\)
Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 0] là \(m = y\left( { – 1} \right) = – 2 + \ln 3.\)

Hướng dẫn
\({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} \Rightarrow m = \dfrac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \ge 0\)
Xét hàm số \(y = \dfrac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\) liên tục trên đoaạn [0;1].
\(\begin{array}{l} y’ = \dfrac{{ – {x^4} – 2{x^3} + 2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}} = \dfrac{{ – (x – 1){{(x + 1)}^3}}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\,\, \in \left[ {0;1} \right]\\ x = – 1\,\, \notin \left[ {0;1} \right] \end{array} \right.. \end{array}\)
Ta có: \(f(0) = 1;\,\,f(1) = \dfrac{3}{4}.\)
Kết luận: Để phương trình có nghiệm thuộc [0;1] thì \(0\leq m \leq \dfrac{3}{4}\)

Hướng dẫn
Tập xác định của hàm số \(y = {2^{2{{\log }_3}x – \log _3^2x}}\) là \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} y’ = {\left( {{2^{2{{\log }_3}x – \log _3^2x}}} \right)^\prime } = \left( {\dfrac{2}{{x\ln 3}} – \dfrac{{2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x – \log _3^2x}}.\ln 2\\ = \left( {\dfrac{{2 – 2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x – \log _3^2x}}.\ln 2 \end{array}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left( {\dfrac{2}{{x\ln 3}} – \dfrac{{2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x – \log _3^2x}}.\ln 3 = 0 \Leftrightarrow {\log _3}x = 1 \Leftrightarrow x = 3.\)
Bảng biến thiên:

Dựa và bảng biến thiên ta có hàm số \(y = {2^{2{{\log }_3}x – \log _3^2x}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng 2 tại x=3.

Hướng dẫn
Ta có \(y’ = 6{x^2} + 6x – 12\); \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left[ { – 1;3} \right]\\ x = – 2 \notin \left[ { – 1;3} \right] \end{array} \right..\)
Mà \(y(1) = – 6;y(3) = 46;y( – 1) = 14\) nên \(M = 46;m = – 6 \Rightarrow M + m = 40 \in \left( {39;42} \right).\)

Hướng dẫn
Ta có \(y’ = \dfrac{{1 – {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}};\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)
Ta có \(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2};\,\,y\left( 2 \right) = \dfrac{2}{5}\)
Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = 0;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \dfrac{1}{2}.\)

Hướng dẫn
\(y = \cos 2x + 4\cos x + 1 = 2{\cos ^2}x + 4\cos x\)
Đặt \(t = \cos x,\,\,1 – \le t \le 1\)
Khi đó ta có hàm số: \(f(t) = 2{t^2} + 4t,\, – 1 \le t \le t\)
\(\begin{array}{l} f'(t) = 4t + 4\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = – 1 \end{array}\)
Ta có: \(f(1) = 6;\,\,f( – 1) = – 2\)
Suy ra hàm số có giá trị lớn nhất là M=6.

Hướng dẫn
Xét hàm số \(y = – {x^3} – 2{x^2} + 7x – 1\) trên đoạn \([-3;2]\)
ta có \(y’ = 7 – 4x – 3{x^2};y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = – \dfrac{7}{3} \end{array} \right.\)
Tính các giá trị \(y( – 3) = – 13,y(1) = 3,y\left( { – \dfrac{7}{3}} \right) = – \dfrac{{419}}{{27}},y(2) = – 3\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3.

Hướng dẫn
Đặt \(t = \cos x \in [ – 1;1],\) khi đó \(f(t) = t + \sqrt {1 – {t^2}} \Rightarrow f'(t) = 1 – \dfrac{t}{{\sqrt {1 – {t^2}} }};f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Tính các giá trị \(f( – 1) = – 1,f(1) = 1,f\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 .\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} M = \sqrt 2 \\ m = 0 \end{array} \right. \Rightarrow M + m = \sqrt 2 – 1.\)

Hướng dẫn
Để hàm số liên tục trên [-1;1] thì \(m \notin \left[ { – 1;1} \right]\)
Khi đó: \(y = \dfrac{{{m^3}x + 2}}{{x – m}} \Rightarrow y’ = – \dfrac{{{m^4} + 2}}{{{{(x – m)}^2}}} < 0;\forall x \ne m\) suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên [-1;1]
Mặt khác hàm số liên tục trên đoạn [-1;1] nên:
\(\mathop {\min }\limits_{[ – 1;1]} y = y(1) = \dfrac{{{m^3} + 2}}{{1 – m}} = 2 \Leftrightarrow {m^3} + 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0 \in \left[ { – 1;1} \right].\)
Vậy không có giá trị m nào thỏa yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn
Hàm số đã xác định và liên tục trên đoạn [0;3]
\(y’ = \dfrac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) – {x^2} – x – 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2x – 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} x \in \left( {0;3} \right)\\ y’ = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow x = 1.\)
Ta có \(f(0) = 4;f(1) = 3;f(3) = 4.\)
Do đó \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 3;{\rm{ }}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 4 \Rightarrow \dfrac{M}{m} = \dfrac{4}{3}.\)

Hướng dẫn
Xét hàm số \(f(x) = 2{x^2} – 3x – 1\) trên \(\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right].\) Ta có \(f'(x) = 4x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}\)
Lại có: \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = – 2;f\left( {\dfrac{3}{4}} \right) = \dfrac{{ – 17}}{8};f(1) = – 2\)
\(\Rightarrow f(x) \in \left[ {\dfrac{{ – 17}}{8}; – 2} \right] \Rightarrow \left| {f(x)} \right| \in \left[ {2;\dfrac{{17}}{8}} \right]\)
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y = \dfrac{{17}}{8}.\)

Hướng dẫn
Ta có: \(y’ = 3{x^2} + 5 > 0;\forall x \in \left[ { – 5;\;0} \right]\)
\(y( – 5) = – 143;y(0) = 7\)\(\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 5;\;0} \right]} y = y\left( 0 \right) = 7\)

Hướng dẫn
Tập xác định: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ m \right\}\).
Để hàm số có giá trị lớn nhất trên [1;2] thì \(m \notin \left[ {1;\;2} \right]\).
\(f’\left( x \right) = \dfrac{{ – {m^2} – 1}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}} < 0;\forall x \ne m\)
\(\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \dfrac{{m + 1}}{{1 – m}}\)
Theo đề bài: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = – 2 \Leftrightarrow \dfrac{{m + 1}}{{1 – m}} = – 2 \Leftrightarrow m + 1 = 2m – 2 \Leftrightarrow m = 3.\)

Hướng dẫn
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
\(y’ = \dfrac{{2{x^2} – 2}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}};\) \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = – 1 \end{array} \right.\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 1\)
Bảng biến thiên:

Vậy \(M = 3;m = \dfrac{1}{3} \Rightarrow m.M = 1\).

Hướng dẫn
\(y’ = 3{x^2} – 6x – 9\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\,\, \in \left[ { – 4;4} \right]\\ x = 3\,\,\,\,\, \in \left[ { – 4;4} \right] \end{array} \right.\)
\(y\left( { – 1} \right) = 40;\)\(y\left( 3 \right) = 8\); \(y(4)=15; y(-4)=-41.\)
Vậy: \(M = 40;m = – 41 \Rightarrow m + M = – 1.\)

Hướng dẫn
Ta có: \(y’ = {\left[ {\dfrac{{\sqrt {{x^2} – 1} }}{{x – 2}}} \right]^\prime } = \dfrac{{1 – 2x}}{{\sqrt {{x^2} – 1} {{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \notin D\).
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0\); \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right) = – \sqrt 5\).

Hướng dẫn
Hàm số xác định khi và chỉ khi:\(2 – {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow – \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \Rightarrow D = \left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)
Khi đó:\(y’ = \left( {\sqrt {2 – {x^2}} – x} \right)’ = – \dfrac{{x + \sqrt {2 – {x^2}} }}{{\sqrt {2 – {x^2}} }} \Rightarrow y’ = 0 \Rightarrow x + \sqrt {2 – {x^2}} = 0\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 0}\\ {{x^2} = 2 – {x^2}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 0}\\ {{x^2} = 1} \end{array} \Rightarrow x = – 1} \right.} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{\left( { – \sqrt 2 } \right)}} = \sqrt 2 }\\ {{y_{\left( { – 1} \right)}} = 2} \end{array}}\\ {{y_{\left( {\sqrt 2 } \right)}} = – \sqrt 2 } \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\max y = {y_{\left( { – 1} \right)}} = 2}\\ {\min y = {y_{\left( {\sqrt 2 } \right)}} = – \sqrt 2 } \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \max y + \min y = 2 – \sqrt 2 . \end{array}\)

Hướng dẫn
Điều kiện đối với \(x\in \left [ -1;5 \right ]\)
Đặt \(t = \sqrt {5 + 4x – {x^2}} \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\)
Khi đó phương trình trở thành \(m=2t+t^2\).
Tìm GTLN – GTNN của hàm \(g\left( t \right) = {t^2} + 2t,t \in \left[ {0;3} \right] \Rightarrow 0 \le g\left( t \right) \le 15.\)
Vậy để phương trình có nghiệm thì \(0 \le m \le 15.\)

Hướng dẫn
Ta có: \(y’ = 2x – 4 – \dfrac{{54}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\left[ {{{\left( {x – 2} \right)}^3} – 27} \right]}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\) .
\(y’ = 0 \Rightarrow x – 2 = 3 \Rightarrow x = 5;\,y\left( 5 \right) = 23.\)
Bảng biến thiên:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = y\left( 5 \right) = 23\).

Hướng dẫn
Ta có
\(y = \dfrac{{{x^2} – 3}}{{x – 2}} \Rightarrow y’ = \dfrac{{2x\left( {x – 2} \right) – \left( {{x^2} – 3} \right)}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} – 4x + 3}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}};y’ = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 3 \notin \left[ { – 1;\dfrac{3}{2}} \right]} \end{array}} \right.\)
Tính giá trị \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( { – 1} \right) = – \dfrac{2}{3}}\\ {f\left( {\dfrac{3}{2}} \right) = \dfrac{3}{2}}\\ {y\left( 3 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = – \dfrac{2}{3}}\\ {M = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow M + m = \dfrac{{16}}{3}.\)

Hướng dẫn
Ta có \(x + y = 2\left( {\sqrt {x – 3} + \sqrt {y + 3} } \right)\) \(\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 4\left( {x + y} \right) + 8\sqrt {x – 3} .\sqrt {y + 3} \ge 4\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y \ge 4}\\ {x + y \le 0} \end{array}} \right.\)
Mặt khác \(x + y = 2\left( {\sqrt {x – 3} + \sqrt {y + 3} } \right) \le 2\sqrt {2\left( {x + y} \right)} \Leftrightarrow x + y \le 8 \Rightarrow x + y \in \left[ {4;8} \right]\)
Xét biểu thức \(P = 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 15xy = 4{\left( {x + y} \right)^2} + 7xy\)
Đặt \(t = x + y \in \left[ {4;8} \right] \Rightarrow P = 4{t^2} + 7xy\).
Lại có:
\(\begin{array}{l} \left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge – 3\left( {x + y} \right) – 9\\ \Rightarrow P \ge 4{\left( {x + y} \right)^2} – 21\left( {x + y} \right) – 63 = 4{t^2} – 21t – 63 \end{array}$\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} – 21t – 63\) trên đoạn [4;8] suy ra \({P_{\min }} = f\left( 7 \right) = – 83\)

Hướng dẫn
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{{{\ln }^2}x}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;{e^3}} \right]\), ta có \(f’\left( x \right) = \dfrac{{2\ln x.\dfrac{1}{x}.x – {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}};\forall x \in \left[ {1;{e^3}} \right]\)
Phương trình \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln x = 0}\\ {\ln x = 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = {e^2}} \end{array}} \right.\).
Tính giá trị \(f\left( 1 \right) = 0;f\left( {{e^2}} \right) = \dfrac{4}{{{e^2}}};f\left( {{e^3}} \right) = \dfrac{9}{{{e^3}}}\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right]} = \dfrac{4}{{{e^2}}}\).

Hướng dẫn
Ta có \(y’ = \left( {{x^2} – 1} \right)’ = 2x \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( { – 3} \right) = 8}\\ {y\left( 0 \right) = – 1} \end{array}}\\ {y\left( 2 \right) = 3} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;2} \right]} y = – 1.\)

Hướng dẫn
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x – 1 \ge 0}\\ {5 – x \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 5 \Rightarrow D = \left[ {1;5} \right]\)
Khi đó \(y’ = \left( {3\sqrt {x – 1} + 4\sqrt {5 – x} } \right)’ = \dfrac{3}{{2\sqrt {x – 1} }} – \dfrac{2}{{\sqrt {5 – x} }}\)
\(\Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2\sqrt {x – 1} }} – \dfrac{2}{{\sqrt {5 – x} }} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{61}}{{25}}\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 1 \right) = 8}\\ {y\left( {\dfrac{{61}}{{25}}} \right) = 10}\\ {y\left( 5 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {M = \max y = y\left( {\dfrac{{61}}{{25}}} \right) = 10}\\ {m = Miny = y\left( 5 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow M + m = 16.\)

Hướng dẫn
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} – 3x}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0;3] ta có: \(f'(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}; \forall x\in [0;3]\)
Phương trình \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 3\\ {x^2} + 2x – 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\)
Tính giá trị \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f\left( 1 \right) = – 1,\,\,f\left( 3 \right) = 0.\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;3] là 0.

Hướng dẫn
Ta có: \(y = \dfrac{{{x^2} – 3x + 3}}{{x – 1}} = \dfrac{{{x^2} – x – 2x + 2 + 1}}{{x – 1}} = x – 2 + \dfrac{1}{{x – 1}}\)
\(\Rightarrow y’ = 1 – \dfrac{1}{{{{(x – 1)}^2}}}\)
\(y’=0\Leftrightarrow x=0\)
Tính \(y( – 2) = \dfrac{{ – 13}}{3};y(0,5) = \dfrac{{ – 7}}{2};y(0) = – 3\)
Vậy giá trị lớn nhất sẽ là M=-3.

Hướng dẫn
Gọi SA=x, ta có: BS=4-x.
Suy ra:\(SC = \sqrt {B{S^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{(4 – x)}^2} + {1^2}}\)
Số tiền cần để mắc là:\(5.\sqrt {{{(4 – x)}^2} + 1} + 3x\) (nghìn USD)
Xét hàm số: \(f(x) = 5.\sqrt {{{(4 – x)}^2} + 1} + 3x,0 < x < 4\)
Ta có: \(f'(x) = 5.\dfrac{{\left[ {{{\left( {4 – x} \right)}^2} + 1} \right]’}}{{2\sqrt {{{(4 – x)}^2} + 1} }} + 3 = \dfrac{{5(x – 4)}}{{\sqrt {{{(4 – x)}^2} + 1} }} + 3\)
\(f'(x) = \dfrac{{5(x – 4) + 3\sqrt {{{(4 – x)}^2} + 1} }}{{\sqrt {{{(4 – x)}^2} + 1} }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{13}}{4}\)
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \dfrac{{13}}{4}\)

Hướng dẫn
Ta có \(f\left( x \right) = {3^{2{{\sin }^2}x}} + {3^{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} = {3^{2{{\sin }^2}x}} + {3^{1 – {{\sin }^2}x}} = 3 = {({3^{{{\sin }^2}x}})^2} + \dfrac{3}{{{3^{{{\sin }^2}x}}}}\)
Đặt \(t = {3^{{{\sin }^2}x}}\) do \(0 \le {\sin ^2}x \le 1 \Rightarrow 1 \le {3^{{{\sin }^2}x}} \le 3 \Rightarrow t \in \left( {1;3} \right)\) khi đó \({({3^{{{\sin }^2}x}})^2} + \dfrac{3}{{{3^{{{\sin }^2}x}}}} = {t^2} + \dfrac{3}{t}\)
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} + \dfrac{3}{t}\) với \(t \in \left( {1;3} \right).\)
Ta có \(g’\left( t \right) = 2t – \dfrac{3}{{{t^2}}};g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt(3){{\dfrac{3}{2}}}\)
Ta có \(f\left( 1 \right) = 4;f\left( 3 \right) = 10;f\left( {\sqrt(3){{\dfrac{3}{2}}}} \right) = \sqrt(3){{\dfrac{{243}}{4}}} \Rightarrow M = 10;m = \sqrt(3){{\dfrac{{243}}{4}}} \Rightarrow P = \dfrac{{32}}{3}.\)

Hướng dẫn
Ta có \(y = {\left( {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2} + \dfrac{{1 – \cos 2x}}{2} + \dfrac{1}{4}\sin 2x\)
\( = \dfrac{{1 + 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x}}{4} + \dfrac{{1 – \cos 2x}}{2} + \dfrac{1}{4}\sin 2x\)
\( = \dfrac{3}{4} + \dfrac{{{{\cos }^2}2x + \sin 2x}}{4} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{{1 – {{\sin }^2}2x + \sin 2x}}{4}\)
Xét hàm số \(f(x) = 1 – {\sin ^2}2x + \sin 2x\)
Đặt \(t = \sin 2x,\) ta có hàm số: \(g(t) = 1 – {t^2} + t,t \in \left( { – 1;1} \right)\)
\(\begin{array}{l}g'(t) = – 2t + 1\\g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Ta có: \(g( – 1) = – 1;g(1) = 1;g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{5}{4}\)
Vậy \(\max g(t) = \max f(x) = \dfrac{5}{4}\)
Suy ra: \(\max y = \dfrac{3}{4} + \dfrac{{\dfrac{5}{4}}}{4} = \dfrac{{17}}{{16}}.\)

Hướng dẫn
\(P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\dfrac{8}{2} = \log _2^4x + 12\log _2^2x.\left( {3 – {{\log }_2}x} \right)\)
\( = \log _2^4x – 12\log _2^3x + 36\log _2^2x\)
Đặt \(t = {\log _2}x\)
Do \(1 < x < 64 \Rightarrow 0 < t < 6\)
Xét hàm số \(P = {t^4} – 12{t^3} + 36{t^2}\) trên \(\left( {0;6} \right)\)
\(P’\left( t \right) = 4{t^3} – 36{t^2} + 72t;P’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = 6}\\{t = 3 \in \left( {0;6} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} P = P\left( 3 \right) = 81.\)

Hướng dẫn
\(y’ = \dfrac{{{x^2} – 2x – 3}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}};y’ = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1}\\{x = 3 \in \left[ {2;4} \right]}\end{array}} \right.\)
\(y\left( 2 \right) = 7;y\left( 3 \right) = 6;y\left( 4 \right) = \dfrac{{19}}{3} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = y\left( 2 \right) = 7\)

Hướng dẫn
\(y = f\left( x \right) = \dfrac{{{{\ln }^2}x}}{x} \Rightarrow {f^’}\left( x \right) = \dfrac{{2\ln {\rm{x}} – {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}} \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln {\rm{x}} = 0\\\ln {\rm{x}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = {e^2}\end{array} \right.\)
Ta có: \(f\left( 1 \right) = 0,\,\,f\left( {{e^2}} \right) = \dfrac{4}{{{e^2}}},f\left( {{e^3}} \right) = \dfrac{9}{{{e^3}}} \Rightarrow \dfrac{4}{{{e^2}}} = \dfrac{m}{{{e^n}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = {m^2} + 2{n^3} = 32.\)\({a^2} + {b^2}.\)

Hướng dẫn
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đồng biến trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Hướng dẫn
Tập xác định: \(D = \left[ { – 2;2} \right].\)
Ta có \(y’ = 1 – \dfrac{x}{{\sqrt {4 – {x^2}} }};y’ = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 .\)
Ta có \(y\left( { – 2} \right) = – 2;y\left( 2 \right) = 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \);
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M = 2\sqrt 2 ;\,m = – 2\\ \Rightarrow M – m = 2\sqrt 2 + 2\end{array}\).

Hướng dẫn
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\)
Ta có \(y’ = \dfrac{{2x – 2}}{{{x^2} – 2x + 1}} – 1;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {2;4} \right)}\\{y’ = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {2;4} \right)}\\{{x^2} – 2x + 1 = 2x – 2}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow x = 3\)
Mà \(y\left( 2 \right) = – 2;y\left( 4 \right) = \ln 9 – 4;y\left( 3 \right) = \ln 4 – 3 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = – 2.\)

Hướng dẫn
Với y=0 ta có \(x = \pm 2 \Rightarrow P = 4.\)
Với \(y \ne 0,\) ta có: \(\dfrac{P}{4} = \dfrac{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2xy + 3{y^2}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} – 2\dfrac{x}{y} + 1}}{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + 2\dfrac{x}{y} + 3}}\)
Đặt \(t = \dfrac{x}{y},\) ta có: \(\dfrac{P}{4} = \dfrac{{{t^2} – 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\)
Xét hàm số \(f(t) = \dfrac{{{t^2} – 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\)
\(f'(t) = \dfrac{{4({t^2} + t – 2)}}{{{{({t^2} + 2t + 3)}^2}}};f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = – 2\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy \(\max f(t) = 3 \Rightarrow \max P = 12.\)

Hướng dẫn
Ta có \(y’ = 2x – \dfrac{2}{{{x^2}}} = \dfrac{{2{x^3} – 2}}{{{x^2}}} \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Bảng biến thiên

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = 3\).

Hướng dẫn
Ta có: \(y’ = \left( {{e^x}\cos x} \right)’ = {e^x}\left( {\cos x – \sin x} \right) \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {\sin x – \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4}.\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( 0 \right) = 1\\y\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\dfrac{\pi }{4}}}\\y\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} y = y\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\dfrac{\pi }{4}}}.\)

Hướng dẫn
\(y = \dfrac{{{x^2} – 4x}}{{2x + 1}} \Rightarrow y’ = \dfrac{{{x^2} + x – 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}};y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \in \left[ {0;3} \right]}\\{x = – 2 \in \left[ {0;3} \right]}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 0;y\left( 1 \right) = – 1;y\left( 3 \right) = \dfrac{1}{7} \Rightarrow Miny = – 1\)

Hướng dẫn
Kiểm tra 4 phương án ta có:
Hàm số \(y = – {x^2} + 2\) có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất
Hàm số \(y = {x^3} – 9{x^2} + 16\) và \(y = \dfrac{{x – 9}}{{2x + 1}}\) không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất
Hàm số \(y = \dfrac{1}{4}{x^4} – 3{x^2} + 1\) có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn
Ta có: \(y’ = {\left( {\dfrac{{5mx}}{{{x^2} + 1}}} \right)’} = \dfrac{{5m\left( {1 – {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{5m\left( {1 – {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{1 – {x^2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{x = \pm 1}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( { – 2} \right) = – 2m}\\{y\left( { – 1} \right) = – \dfrac{5}{2}m}\\{y\left( 1 \right) = \dfrac{5}{2}m}\\{y\left( 2 \right) = 2m}\end{array}} \right.\) .
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) trên đoạn \(\left[ { – 2;2} \right]\) khi và chỉ khi \(m > 0.\)

Hướng dẫn
\(f\left( x \right) = 2{\cos ^3}x – \cos 2x = 2{\cos ^3}x – 2{\cos ^2}x + 1\)
Đặt \(t = \cos x,t \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]\) ta có:
\(\begin{array}{l}g(t) = 2{t^3} – 2{t^2} + 1 \Rightarrow g'(t) = 6{t^2} – 4t.\\g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Trên đoạn \(\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right],\) ta có: \(g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4};\,g(1) = 1;\,g\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{{19}}{{27}}.\)
Vậy: \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x) = \max g(t) = 1;\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x) = \min g(t) = \dfrac{{19}}{{27}}.\)

Hướng dẫn
Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ { – 2;4} \right]\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) trên [-2;4] như hình vẽ:

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;4} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( { – 1} \right) = 3.\)

Hướng dẫn
Vận tốc của vật được tính theo công thức \(v\left( t \right) = 10 + {t^2} – 7t\left( {m/s} \right)\)
Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức \(S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \dfrac{{{t^3}}}{3} – \dfrac{7}{2}{t^2} + 10t\left( m \right)\)
Ta có \(S’\left( t \right) = {t^2} – 7t + 10 \Rightarrow S’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} – 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t = 5}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S\left( 0 \right) = 0}\\{S\left( 2 \right) = \dfrac{{26}}{3}}\\{S\left( 5 \right) = \dfrac{{25}}{6}}\\{S\left( 6 \right) = 6}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;6} \right]} S\left( t \right) = S\left( 2 \right) = \dfrac{{26}}{3}\)

Hướng dẫn
\(y = {\sin ^3}x – \cos 2x + \sin x + 2 = {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x – 1 + \sin x + 2 = {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x + \sin x + 1.\)
Đặt \(t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) khi đó hàm số trở thành \(y = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\) xác định và liên tục trên \(\left[ { – 1;1} \right].\)
Ta có: \(y’ = 3{t^2} + 4t + 1\) và \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\\t = – \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)
Ta có: \(y\left( { – 1} \right) = 1;\,\,y\left( 1 \right) = 5;\,\,y\left( { – \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{23}}{{27}} \Rightarrow \,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = \dfrac{{23}}{{27}}.\)

Hướng dẫn
Ta có \(y = \left| {{x^3} – 3{x^2} + 2} \right| \ge 0,\forall x \in \left[ { – 2;2} \right]\)
Mặt khác \(y = \left| {{x^3} – 3{x^2} + 2} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 1 – \sqrt 3 }\\{x = 1 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\) mà \(\left\{ {1;1 – \sqrt 3 } \right\} \in \left[ { – 2;2} \right]\)
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = y\left( {1 – \sqrt 3 } \right) = 0\)

Hướng dẫn
Xét hàm số \(y = – x + 3 – \dfrac{1}{{x + 2}}\)
\(\begin{array}{l}y’ = – 1 + \dfrac{1}{{{{(x + 2)}^2}}}\\y’ = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ – {{(x + 2)}^2} + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ – {x^2} – 4x – 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = – 3\end{array} \right.\end{array}\)
Bảng biến thiên: