Hàm số đơn điệu trên tập con của R

$y = \dfrac{{mx + 4}}{{x + m}}$ luôn nghịch biến khoảng ( – ∞; 1) .

• Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( – ∞;1)
• Ta có $y’ = \dfrac{{{m^2} – 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}},x \ne – m$

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( – ∞; 1) khi và chỉ khi $\left\{ \begin{gathered} y’ < 0,\,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right) \hfill \\ – m \notin \left( { – \infty ;1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} – 4 < 0\\ – m \notin \left( { – \infty ;1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2 < m < 2\\ – m \ge 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2 < m < 2\\ m \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow – 2 \le m \le – 1$
Vậy : với −2 < m ≤ −1 thì thoả yêu cầu bài toán

• Hàm số đã cho xác định trên khoảng (−1;1) .
• Ta có: y ‘ = 3x$^2$ + 6x + m + 1
• $y = \dfrac{{mx + 4}}{{x + m}}$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( -1;1) khi và chỉ khi y ‘ ≤ 0, ∀x ∈ (-1;1) hay.
Xét hàm số g (x) = -(3x$^2$ + 6x + 1), ∀x ∈ (-1;1)
=> g ‘(x) = -6x – 6 < 0, ∀x ∈ (-1;1) => g (x) nghịch biến trên khoảng (-1;1) và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} g\left( x \right) = – 2,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} g\left( x \right) = – 12,$

• Bảng biến thiên

Vậy m ≤ – 10 thoả yêu cầu bài toán .

• Hàm số đã cho xác định trên khoảng (1; + ∞)
• Ta có : y ‘ = 6x$^2$ – 4x + m

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; + ∞) khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀x ∈ (1; + ∞) < = >g (x) = 6x$^2$ – 4x ≥-m, x > 1
Xét hàm số g (x) = 6x$^2$ – 4x liên tục trên khoảng (1; + ∞), ta có g’ (x) = 12x – 4 > 0, ∀x > 1<=> g (x) đồng biến trên khoảng (1; + ∞) và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {6{x^2} – 4x} \right) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = + \infty $

• Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2 > -m<=> m > -2

• Hàm số đã cho xác định trên khoảng (-3;0) .
• Ta có : y ‘ = 3mx$^2$ – 2x + 3

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-3;0) khi và chỉ khi y ‘ ≥ 0, ∀x ∈ (—3; 0) hay 3mx$^2$ – 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (- 3; 0) $m \ge \dfrac{{2x – 3}}{{3{x^2}}},\forall x \in \left( { – 3;0} \right)$

Xét hàm số $g\left( x \right) = \dfrac{{2x – 3}}{{3{x^2}}}$ liên tục trên khoảng (—3; 0), ta có $g’\left( x \right) = \dfrac{{ – 6{x^2} + 18x}}{{9{x^4}}} < 0,\forall x \in \left( { – 3;0} \right) \Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng (- 3; 0) và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = – \dfrac{4}{{27}},\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) = – \infty $

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra $m \ge – \dfrac{4}{{27}}$

Hàm số đã cho xác định trên khoảng(2;+∞) .

Ta có: y’ = mx$^2$ + 4(m-1)x + m – 1

Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞) khi và chỉ khi y ‘ ≥ 0,∀x ∈ (2;+∞) ⇔ mx$^2$+ 4(m – 1)x + m − 1 ≥ 0,∀x ∈ (2;+∞) $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 4x + 1} \right)m \ge 4x + 1,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{4x + 1}}{{{x^2} + 4x + 1}},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$

Xét hàm số $g\left( x \right) = \dfrac{{4x + 1}}{{{x^2} + 4x + 1}},x \in \left( {2; + \infty } \right)$
$ \Rightarrow g’\left( x \right) = \dfrac{{ – 2x\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4x + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow $ ⇒ g(x) nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g\left( x \right) = \dfrac{9}{{13}};\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0$

Bảng biến thiên

Vậy $m \ge \dfrac{9}{{13}}$ thảo mãn yêu cầu bài toán